专题3-4 平行四边形（考题猜想特殊四边形的性质在折叠问题中的巧用）原卷版-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲（人教版）

专题3-4平行四边形（考题猜想，特殊四边形的性质在折叠问题中的巧用）技巧1：巧用平行四边形的性质解决折叠问题【例题1】（22-23八年级下·河南信阳·期中）如图，在中，，现将沿折叠，使点与点A重合，点与点落在点处，则的度数是（

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A． B． C． D．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及折叠变换，关键是找准折叠后些角是对应相等的【变式1】（22-23八年级下·福建泉州·期中）如图，将平行四边形纸片折叠，使顶点恰好落在边上的点处，折痕为，下列结论不一定正确的是（）

A． B． C． D．【变式2】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点落到处，交于点，折痕为，若，，则的度数为．

【变式3】（22-23八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，点A、D分别落在，处，且经过点B，交BC于点G，连接，若平分，，，则的度数是．

【变式4】．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，求平行四边形的面积．【变式5】．（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，把平行四边形纸片沿折叠，点落在点处，与相交于点，连接.求证：(1)；(2).【变式6】．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）【教材呈现】人教八年级下册数学教材第59页的部分内容．如图1，把一张矩形纸片按如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？(1)【问题解决】如图1，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在上．求证：四边形是正方形．（请完成以下填空）证明：四边形是矩形，，折叠，，四边形是矩形（）．折叠，，四边形是正方形（）(2)【问题拓展】如图2，已知平行四边形纸片，将平行四边形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上，点的对应点为，折痕为，点在边上．①求证：四边形是菱形．②连结，若，，求菱形的面积．【变式7】．（23-24八年级下·重庆铜梁·阶段练习）综合与实践问题情境：在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为．分析探究：（1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为．问题解决：（2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由．（3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长．【变式8】．（21-22八年级下·江苏苏州·期中）【理解概念】定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．（1）下列四边形是三等角四边形的是_________．（填序号）①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．【巩固新知】（2）如图，折叠平行四边形DEBF，使得顶点E、F分别落在边BE、BF上的点A、C处，折痕为DG、DH．求证：四边形ABCD为三等角四边形．【拓展提高】（3）如图，在三等角四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，若AB＝5，，DC＝7，则BC的长度为_________．技巧2：巧用菱形的性质解决折叠问题【例题2】（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点落在（为中点）所在的直线上，得到经过点的折痕．则的大小为（

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A． B． C． D．【变式1】．（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，已知菱形的边长为6，且，点分别在边上，将菱形沿折叠，使点B正好落在边上的点G处．若，则的长为．【变式2】．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，菱形纸片，将该菱形纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕与边、分别交于点．则的长为．【变式3】．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在菱形纸片中，，是边的中点，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是．【变式4】．（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，．（1）．（2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为．【变式5】．（23-24八年级下·河北保定·期中）菱形是矩形纸片按如图所示的方式折叠而成，若菱形的面积为，则长为．【变式6】（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为，则点E、F分别为边、的中点．若，，则．

【变式7】．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，在菱形中，，折叠该菱形，使点落在边上的点处，折痕分别与边、交于点、当点与点重合时，的长为；当点的位置变化时，长的最大值为．

【变式8】．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，菱形中，，，点是上一点，将菱形沿着折叠，使点落在点处，与交于点，点是的中点，，则的长为．技巧3：巧用矩形的性质解决折叠问题【例题3】（22-23八年级下·四川南充·期末）如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为，与交于点E，若，则的长为（）

A．6.25 B．6.35 C．6.45 D．6.55【变式1】（22-23八年级下·湖北黄冈·期末）如图，矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为．【变式2】（22-23八年级下·山东德州·期中）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处(1)求证：是等腰三角形；(2)如图2，过点D作，交于点G，①判断四边形的形状，并说明理由；②若，求的长为_________．【变式3】（22-23八年级下·河南商丘·期中）如图所示，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，，求的长．【变式4】（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，，点E是上一点.将沿折叠后，得到.点F在矩形内部，延长交于点G.

(1)如图①，当点E是中点时，求的长；(2)如图②，在（1）的条件下，当矩形变化为平行四边形时，求证：；(3)如图③，在矩形中，当点F落在矩形对角线上时，的长是【变式5】（22-23八年级下·海南海口·期末）【证明推断】（1）如图1，在矩形中，，点P是的中点，将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交于点E，连接．求证：①；②；③若，求的长；

【类比探究】（2）如图2，将（1）中“矩形”改为“平行四边形”，其他条件不变，（1）中的①②结论是否仍然成立？请说明理由；【拓展运用】（3）如图3，在平行四边形中，，点P是的中点，将沿直线折叠得到，点落在的内部，延长交于点E，连接．连接与交于点M，与交于点N．求证：四边形是矩形．【变式6】（22-23八年级下·江苏连云港·阶段练习）将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，，分别在x轴，y轴的正半轴上，点B坐标为．

(Ⅰ)如图①，将矩形纸片折叠，使点B落在y轴上的点D处，折痕为线段，求点D坐标；(Ⅱ)如图②，点E，F分别在，边上．将矩形纸片沿线段折叠，使得点B与点重合，若反比例函数经过点C的对应点G，求k的值；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若点P是坐标系内任意一点，点Q在y轴上，使以点D，F，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出满足条件的点P的坐标．【变式7】（22-23八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，，将沿直线折叠，点A落在点D处，交边于点E．

(1)求证：四边形为矩形；(2)求的长．(3)点F在y轴上，在坐标平面内找一点G，使得以O、E、F、G为顶点的四边形是以OE为边的菱形?请直接写出点G的坐标．技巧4：巧用正方形的性质解决折叠问题【例题4】（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，现有一张边长为4的正方形纸片，将正方形纸片折叠，使得B点落在边上点P处（P不与A，D重合）折痕为，C点落在G点处，交于H，连接．下列结论：①；②；③的周长为8；④若，则．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1】（22-23八年级下·河南南阳·期末）如图，四边形是边长为4的正方形，F为边上一点且，E为边上一点，把沿着折叠，得到，若为直角三角形，则的长为．

【变式2】（22-23八年级下·河北保定·期中）如图，在正方形中，E是边上一点（不与B、C重合），将正方形沿折叠，使点B落在点F处，延长交于点G，连接．

(1)求证：；(2)若．①求的周长：②若点E是的中点，是的平分线，求的长【变式3】（22-23八年级下·山东菏泽·期末）如图，正方形中，是边的中点，将沿折叠，得到，延长交边于点．(1)求证：；(2)若，求的长．【变式4】．（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）【模型建立】如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE⊥BF，AE与BF相交于点P．AE，BF有什么数量关系

【迁移应用】如图2，请仅用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不用证明）（1）以AB为边画正方形ABCD；（2）取CD中点E，连接AE：（3）在AD上找点G，连接BG，使BG=

【拓展提升】如图3，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，将正方形沿EF折叠，点A，D的对应点分别为A'，D'，使得点A'始终落在边BC上，A'D（1）若AB=5，BA'（2）点E，F在边AB，CD上运动时，连接AG，则∠A

【变式5】．（2023春·江苏南京·九年级校联考期中）点E．F分别为正方形ABCD边AD．AB上的点，连接CE，DF交于点P．(1)如图1，若DE=AF，则线段DF与CE具有怎样的数量和位置关系？说明理由．(2)如图2，若E为AD中点，F为AB中点，求证BP=BC．(3)若将正方形ABCD折叠，使得A点的对应点A'落在BC边上，折痕MN分别交AB，CD于M，N．若正方形的的边长为6，线段A'B=2，则DN的长为．【变式6】．（2023春·广东江门·九年级统考期末）综合与实践：如图1，已知正方形纸片ABCD．实践操作