专题3-2 平行四边形（考题猜想构造中位线解题的五种方法）解析版-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲（人教版）

专题3-2平行四边形（考题猜想，构造中位线解题的五种方法）方法1：连接两点构造三角形的中位线【例题1】（2023下·广西桂林·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，CE平分∠BCD交AB于点E，点F，G分别是CD，CE

A．5 B．102 C．13 D．【答案】D【分析】CE平分∠BCD可得∠DCE=∠BCE，根据矩形ABCD可得△BCE是等腰直角三角形，所以BC=AD=BE【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥∴∠BEC∵CE平分∠BCD∴∠DCE∴∠BCE∴BC=∵AB=∴AE=连接DE，如图，

∴DE=∵点F、G分别为CD、∴FG=故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形中位线定理，勾股定理等知识点，熟记性质与定理是解题关键．【变式1】.（2023下·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD交CD于点E，点F在AD上，连接CF交AE于点G，且CG=GF=AF，若【答案】2【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理．连接AC交BD于点O，连接OG，令BD与CF交于点M，根据矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，对顶角相等和余角的性质可得∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，设OG=GM=【详解】解：连接AC交BD于点O，连接OG，令BD与CF交于点M，∵GF=∴∠FAG∵四边形ABCD为矩形，∴BD=AC=4∵CG=∴OG为△CAF∴AF=2OG，∴∠FDM∵AE⊥∴∠FGA+∠GMO∴∠GMO∴∠GMO∴OG=设OG=GM=∴FD=∴CF=4在Rt△CD=在Rt△DC即15x解得x=2∴CD=故答案为：215【变式2】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形中，对角线交于点，点分别是的中点，交于点，下列4个结论中说法正确的有（

）（1）（2）（3）；（4）A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）【答案】D【分析】根据平行四边形的性质和，可以确定为等腰三角形，再应用等腰三角形三线合一的性质可判断（1）正确；根据直角三角形的性质确定，根据三角形的中位线的性质确定，再结合平行四边形的性质可判断（2）正确；根据三角形的中位线和平行四边形的性质可以确定，且，进而得到平行四边形，再应用其对角线互相平分的性质确定（3）正确；根据可得确定（4）正确．【详解】解：①∵四边形是平行四边形，∴．∵，∴．∵E为中点，∴．故（1）正确．②∵，G是中点，∴．∵E、F分别是中点，∴．∵四边形是平行四边形，∴．∴．故（2）正确．如下图所示，连结．如图所示：

∵四边形是平行四边形，∴，．∵E、F分别是中点，∴．∴，即．∵，，∴．∴四边形是平行四边形．∴．故（3）正确．④∵四边形是平行四边形，∴，∵E为中点，∴∴，故（4）正确；综上可知，正确的有（1）（2）（3）（4），故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线和直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定定理以及三角形面积与底和高之间的关系，综合应用这些知识点是解题关键【变式2】．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，在中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．求证：AF与DE互相平分．

【答案】见解析【详解】证明：如图，连接DF，EF．，，分别是AB，AC，BC的中点，，，四边形是平行四边形，与DE互相平分．

【变式3】如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．(1)求证：PM＝PN；(2)求∠MPN的度数．【答案】（1）证明见解析；(2)∠MPN＝120°.【详解】试题分析：（1）连接CD、AE,由△ABD和△BCE是等边三角形得AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，易证△ABE≌△DBC，得AE＝DC，再由三角形中位线的性质可证PM＝PN；（2）如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H，易证四边形PFHG为平行四边形，故∠MPN＝120°.试题解析：(1)如图，连接CD，AE.由三角形中位线定理可得PM=CD，PN=AE，∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC.∴△ABE≌△DBC，∴AE＝DC.∴PM＝PN.(2)如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H.由(1)知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.∴∠AHD＝∠ABD＝60°，∴∠FHG＝120°.易证四边形PFHG为平行四边形，∴∠MPN＝120°.方法2：已知角平分线及垂直构造中位线【例题2】（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，在中，，点E是的中点，若平分，线段的长为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长度的一半．延长交于，证明，则，，，可证是的中位线，根据，计算求解即可．【详解】解：如图，延长交于，由题意知，，，在和中，∵，∴，∴，，∴是的中点，，又∵是的中点，∴是的中位线，∴，∴的长为．故选：B【变式1】（20-21八年级下·重庆·期中）如图，在中，是对角线，，E是的中点，平分，连接，．若，，，则的长为．【答案】/3.5【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长，交于点H，由“”可证，可得，，由三角形中位线定理可求解．【详解】解：如图，延长，交于点H，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，∵平分，∴，在和中，∴，∴，，∴，∵E是的中点，∴．故答案为：【变式2】（22-23八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，中，AD平分，E是中点，，，，求的长．【答案】【分析】延长交于点F，先证明，得到，D是的中点，再由中位线的性质解答即可．【详解】解：延长交于点F，如图AD平分，，，，，，D是的中点，E是中点，．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、中位线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键【变式3】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，正方形的对角线相交于O，平分，于点F，交于点G，求证：

(1)；(2)；(3)若M为得中点，，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理：（1）先由正方形的性质得到，再证明，即可证明，推出；（2）由正方形的性质得到，再证明，即可证明；（3）由角平分线的定义得到，进而得到，证明，得到，，由勾股定理得，则，证明是的中位线，则．【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）证明：∵四边形是正方形，∴，由（1）得，∴，∴；（3）解：∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，由勾股定理得，∴，∵点M为的中点，∴是的中位线，∴方法3：倍长法构造三角形中位线【例题3】（22-23八年级下·辽宁营口·期末）如图，中，平分，过点作于点，点是的中点，连接，若，，求的长．

【答案】的长为．【分析】先添加辅助线，构造全等三角形，利用性质求出，最后用中位线定理即可求解．【详解】解：如图，延长，交于点，

∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵点为中点，点为中点，∴为的中位线，∴，答：的长为．【点睛】此题考查了等腰三角形和全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是延长交延长线于，证明是的中位线【变式1】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰直角和等腰直角，，M为的中点，连接，过B作的延长线于点S．(1)求证：；(2)若，，，则四边形的面积为______．（直接写出结果）【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）延长至点D，使，连接．由三角形中位线定理可得，．再根据等腰直角三角形的性质可得出，，从而可证，，进而得出，即证明，得出结论；（2）在（1）的基础上过点F作于点G，交于点H．延长交于点I．易证，，再结合可证，得出，，根据勾股定理可求出，即可求出．由为中位线，可得出．又根据四边形为矩形，即得出，从而可求出．根据三角形全等的判定和性质可得出，即可由求出最后结果．【详解】（1）证明：如图，延长至点D，使，连接．∵M为的中点，∴，．∵和都为等腰直角三角形，∴，，∴，∴，，∴，即，∴，∴；（2）如图，在（1）的基础上过点F作于点G，交于点H．延长交于点I．∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴．又∵，∴，∴，，∴，∴．∵为中位线，∴点H为中点，∴．由所作辅助线可知四边形为矩形，∴，∴．由（1）可知，∴，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查三角形中位线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质等知识．正确作出辅助线是解题关键【变式2】（22-23八年级下·广东深圳·期中）（1）如图1，在中，，，点、、分别为、、的中点，求证：；（2）如图2，在中，，，点为的中点，，那么是否成立？证明你的猜想；（3）如图3，边长为4的等边外有一点，，，、分别是边、的点，满足，求的周长．【答案】（1）见详解（2）不成立，理由见详解（3）8【分析】（1）根据三角形的中位线性质可得，再进行边的等量代换，即可作答．（2）不成立，延长至点M，使，连接，证明，再结合，，得，因为三角形的三边关系，即可作答．（3）把绕点D顺时针旋转至，可使与重合，证出，进而得到，即可得的周长．【详解】解：（1）∵点、、分别为、、的中点，∴∵，∴（2）不成立，理由如下：延长至点M，使，连接，如图所示．∵是的中点∴∵∴，∴，∵，，∴，在中，由三角形的三边关系得：，∴；（3）∵是边长为4的等边三角形，∴，∵，∴，∵，把绕点D顺时针旋转至，可使与重合，由旋转得：，，∴点在同一条直线上，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的周长．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，做辅助线“倍长中线法”，中位线的判定与性质、等边三角形的性质，旋转性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【变式3】（2023上·福建漳州·八年级校联考期中）【知识探究】探究得到定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【定理证明】请你利用矩形的性质，证明该定理.已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，（1）求证：OB=（2）【灵活运用】如图2，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，E，F分别是AC，CD的中点，连接BE，EF，【答案】（1）见解析，（2）见解析【分析】（1）延长BO至点D，使OD=OB，连接AD、CD，先证四边形ABCD是平行四边形，再证平行四边形ABCD是矩形，得（2）由直角三角形斜边上的中线性质得BE=12AC，再由三角形中位线定理得EF=【详解】解：证明：如图1，延长BO至点D，使OD=OB，连接AD、∵O是AC∴OA∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC∴平行四边形ABCD是矩形，∴AC∴OB故答案为：OB=（2）证明：如图2，∵∠ABC=90°，E是∴BE∵F是CD∴EF是△∴EF∵AC∴BE∴∠1=∠2．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和三角形中位线定理，证出OB=方法4：已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线【例题4】（21-22八年级下·广东广州·期中）如图，在中，，，E，F分别为CA，CB上的点，，M，N分别为AF，BE的中点，若，则MN＝．【答案】【分析】取AB的中点D，连接MD、ND，如图，先判断DM为△ABF的中位线，DN为△ABE的中位线得到DM=BF=2，DM∥BF，DN=AE=2，再证明AE⊥BF，则DM⊥DN，然后根据△DMN为等腰直角三角形确定MN的长．【详解】解：取AB的中点D，连接MD、ND，如图，AE=1，∵CA=CB，CE=CF，∴BF=AE=1，∵点M、N分别为AF、BE的中点，∴DM为△ABF的中位线，DN为△ABE的中位线，∴DM=BF=，DM∥BF，DN=AE=，DN∥AE，∵AE⊥BF，∴DM⊥DN，∴△DMN为等腰直角三角形，∴MN=DM=．故答案为．【点睛】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．也考查了等腰直角三角形的性质【变式1】（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点．若AB=10，CD=8求【答案】1<【详解】解：如图，连接BD，取BD的中点P，连接PM，PN．∵M是AD的中点，∴PM是△ABD同理可得PN=在△PMN中，∵PM-【变式2】（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G．若AB=CD=2，【答案】EF【详解】解：如图，连接BD，取BD的中点H，连接EH和FH．∵E，F分别是AD，BC的中点，∴EH=12∴∠HFE∵AB=CD=2，∴∠EHF∴EF【变式3】（23-24八年级上·吉林·期中）如图，在等边中，点D是的中点，P是上的动点，E是的中点，则的最小值为cm．【答案】10【分析】本题考查了等边三角形的性质和对称轴，线段和最小，根据等边三角形的对称性计算即可．【详解】∵是等边三角形，点D是的中点，∴直线为的一条对称轴，，取的中点F，连接，，∵E是的中点，点D是的中点，∴，,,，∴，，∴直线为线段的垂直平分线，∴直线为线段的对称轴，连接，交于点G，故当点P与点G重合时，取得最小值，此时，∵，∴，∵，∴，故的最小值为，故答案为：10方法5：已知一边中点，推理得出另一边中点，再取第三边中点构造三角形的中位线【例题5】（2023上·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=3,AC=4，平面上有一点P，连接AP，CP，且CP=2，取AP

A．10 B．655 C．13-【答案】C【分析】令AC中点为点N，连接MN,BN，则AN=12AC=2，根据勾股定理求出BN=13，由中位线定理得出MN=1【详解】解：令AC中点为点N，连接MN,∵点N为AC中点，∴AN=根据勾股定理可得：BN=∵点M为AP中点，点N为AC中点，CP=2∴MN=∴在△BMN中，BM>BN当点B、M、N在同一直线上时，BM=此时BM取最小值13-故选：C．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，中位线定理，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方；三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【变式1】（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连CE，设CE的最大值为

【答案】6【分析】取AB的中点F，利用直角三角形斜边中线的性质求出AB=2BC=6，利用三角形中位线定理推出EF=1【详解】解：由旋转的性质可得出BD=如图，取AB的中点F，连接EF、∵∠BAC∴AB=2BC=6