第1-2章 三角形的证明和一元一次不等式（考点压轴压轴必刷15种题型40题）（解析版）-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲（北师大版）

第1-2章三角形的证明和一元一次不等式（压轴必刷15种题型40题）一．解一元一次不等式（共1小题）1．已知方程组：的解x，y满足2x+y≥0，则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥ C．m≥1 D．﹣≤m≤1【答案】A【解答】解：，②﹣①×2得，7x＝﹣m+1，解得x＝﹣﹣﹣③；把③代入①得，y＝﹣﹣﹣④；∵2x+y≥0，∴×2+≥0，解得m≥﹣．故选：A．二．一元一次不等式的整数解（共1小题）2．关于x的不等式3x﹣a≤0，只有两个正整数解，则a的取值范围是6≤a＜9．【答案】见试题解答内容【解答】解：原不等式解得x≤，∵解集中只有两个正整数解，则这两个正整数解是1，2，∴2≤＜3，解得6≤a＜9．故答案为：6≤a＜9．三．一元一次不等式的应用（共1小题）3．某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产此两种型号挖掘机，所生产的此两种型号挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：型号AB成本（万元/台）200240售价（万元/台）250300（1）该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？（2）该厂如何生产能获得最大利润？（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m＞0），该厂应该如何生产获得最大利润？（注：利润＝售价﹣成本）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机（100﹣x）台，由题意得22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，解得37.5≤x≤40．∵x取非负整数，∴x为38，39，40．∴有三种生产方案①A型38台，B型62台；②A型39台，B型61台；③A型40台，B型60台．答：有三种生产方案，分别是A型38台，B型62台；A型39台，B型61台；A型40台，B型60台．（2）设获得利润W（万元），由题意得W＝50x+60（100﹣x）＝6000﹣10x，∴当x＝38时，W最大＝5620（万元），答：生产A型38台，B型62台时，获得最大利润．（3）由题意得W＝（50+m）x+60（100﹣x）＝6000+（m﹣10）x当0＜m＜10，则x＝38时，W最大，即生产A型38台，B型62台；当m＝10时，m﹣10＝0则三种生产方案获得利润相等；当m＞10，则x＝40时，W最大，即生产A型40台，B型60台．答：当0＜m＜10时，生产A型38台，B型62台获利最大；当m＝10时，3种方案获利一样；当m＞10时，生产A型40台，B型60台获利最大．四．解一元一次不等式组（共1小题）4．若不等式组有解，则a的取值范围是（）A．a≤3 B．a＜3 C．a＜2 D．a≤2【答案】B【解答】解：，由①得，x＞a﹣1；由②得，x≤2，∵此不等式组有解，∴a﹣1＜2，解得a＜3．故选：B．五．一元一次不等式组的整数解（共3小题）5．关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣5≤a≤﹣ B．﹣5≤a＜﹣ C．﹣5＜a≤﹣ D．﹣5＜a＜﹣【答案】C【解答】解：不等式组的解集是2﹣3a＜x＜21，因为不等式组只有4个整数解，则这4个解是20，19，18，17．所以可以得到16≤2﹣3a＜17，解得﹣5＜a≤﹣．故选：C．6．我们定义＝ad﹣bc，例如＝2×5﹣3×4＝10﹣12＝﹣2，若x，y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值是±3．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，1＜1×4﹣xy＜3，即1＜4﹣xy＜3，∴，∵x、y均为整数，∴xy为整数，∴xy＝2，∴x＝±1时，y＝±2；x＝±2时，y＝±1；∴x+y＝2+1＝3或x+y＝﹣2﹣1＝﹣3．故答案为：±37．关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3．【答案】见试题解答内容【解答】解：由①得x＞﹣5；由②得x＜m；故原不等式组的解集为﹣5＜x＜m．又因为不等式组的所有整数解的和是﹣7，所以当m＜0时，这两个负整数解一定是﹣4和﹣3，由此可以得到﹣3＜m≤﹣2；当m＞0时，则2＜m≤3．故m的取值范围是﹣3＜m≤﹣2或2＜m≤3．六．一元一次不等式组的应用（共8小题）8．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生（）A．4人 B．5人 C．6人 D．5人或6人【答案】C【解答】解：假设共有学生x人，根据题意得出：5（x﹣1）+3＞3x+8≥5（x﹣1），解得：5＜x≤6.5．故选：C．9．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（）A．P＞R＞S＞Q B．Q＞S＞P＞R C．S＞P＞Q＞R D．S＞P＞R＞Q【答案】D【解答】解：由三个图分别可以得到，由①式可得Q+S＞Q+P，代入③式得到P+R＞Q+P，所以R＞Q．所以它们的大小关系为S＞P＞R＞Q．故选：D．10．按下面程序计算，若开始输入x的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有x的值是131或26或5或．【答案】见试题解答内容【解答】解：我们用逆向思维来做：第一个数就是直接输出其结果的：5x+1＝656，解得：x＝131；第二个数是（5x+1）×5+1＝656，解得：x＝26；同理：可求出第三个数是5；第四个数是，∴满足条件所有x的值是131或26或5或．故答案为：131或26或5或．11．某商场用2500元购进A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示．类型价格A型B型进价（元/盏）4065标价（元/盏）60100（1）这两种台灯各购进多少盏？（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场计划销售这批台灯的总利润至少为1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设A型台灯购进x盏，B型台灯购进y盏，根据题意，得，解得：；（2）设购进B种台灯m盏，根据题意，得利润（100﹣65）•m+（60﹣40）•（50﹣m）≥1400，解得，m≥，∵m是整数，∴m≥27，答：A型台灯购进30盏，B型台灯购进20盏；要使销售这批台灯的总利润不少于1400元，至少需购进B种台灯27盏．12．某文化用品商店计划同时购进一批A、B两种型号的计算器，若购进A型计算器10只和B型计算器8只，共需要资金880元；若购进A型计算器2只和B型计算器5只，共需要资金380元．（1）求A、B两种型号的计算器每只进价各是多少元？（2）该经销商计划购进这两种型号的计算器共50只，而可用于购买这两种型号的计算器的资金不超过2520元．根据市场行情，销售一只A型计算器可获利10元，销售一只B型计算器可获利15元．该经销商希望销售完这两种型号的计算器，所获利润不少于620元．则该经销商有哪几种进货方案？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设A型计算器进价是x元，B型计算器进价是y元，得解得答：每只A型计算器进价是40元，每只B型计算器进价是60元．（2）设购进A型计算器为z只，则购进B型计算器为（50﹣z）只，得：解得24≤z≤26，因为z是正整数，所以z＝24，25，26．答：该经销商有3种进货方案：①进24只A型计算器，26只B型计算器；②进25只A型计算器，25只B型计算器；③进26只A型计算器，24只B型计算器．13．为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派生活委员小亮到文具店为获奖同学购买奖品．小亮发现，如果买1个笔记本和3支钢笔，则需要18元；如果买2个笔记本和5支钢笔，则需要31元．（1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？（2）班主任给小亮的班费是100元，需要奖励的同学是24名（每人奖励一件奖品），若购买的钢笔数不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设每个笔记本x元，每支钢笔y元依题意得：解得：答：设每个笔记本3元，每支钢笔5元．（2）设购买笔记本m个，则购买钢笔（24﹣m）个依题意得：解得：12≥m≥10∵m取正整数∴m＝10或11或12∴有三种购买方案：①购买笔记本10个，则购买钢笔14个．②购买笔记本11个，则购买钢笔13个．③购买笔记本12个，则购买钢笔12个．14．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒（1）现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个．①根据题意，完成以下表格：纸盒纸板竖式纸盒（个）横式纸盒（个）x100﹣x正方形纸板（张）2（100﹣x）长方形纸板（张）4x②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？（2）若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290＜a＜306．求a的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①如表：纸盒纸板竖式纸盒（个）横式纸盒（个）x100﹣x正方形纸板（张）x2（100﹣x）长方形纸板（张）4x3（100﹣x）②由题意得，，解得38≤x≤40．又∵x是整数，∴x＝38，39，40．答：有三种方案：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个；（2）如果设x个竖式需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可得方程组，于是我们可得出y＝，因为已知了a的取值范围是290＜a＜306，所以68.4＜y＜71.6，由y取正整数，则，当取y＝70，则a＝298；当取y＝69时，a＝303；当取y＝71时，a＝293．293或298或303（写出其中一个即可）．15．为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县．根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍．其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220200200运往E县的费用（元/吨）250220210为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设这批赈灾物资运往D县的数量为a吨，运往E县的数量为b吨．（1分）由题意，得（2分）解得（3分）答：这批赈灾物资运往D县的数量为180吨，运往E县的数量为100吨．（4分）（2）由题意，得（5分）解得即40＜x≤45．∵x为整数，∴x的取值为41，42，43，44，45．（6分）则这批赈灾物资的运送方案有五种．具体的运送方案是：方案一：A地的赈灾物资运往D县41吨，运往E县59吨；B地的赈灾物资运往D县79吨，运往E县21吨．方案二：A地的赈灾物资运往D县42吨，运往E县58吨；B地的赈灾物资运往D县78吨，运往E县22吨．方案三：A地的赈灾物资运往D县43吨，运往E县57吨；B地的赈灾物资运往D县77吨，运往E县23吨．方案四：A地的赈灾物资运往D县44吨，运往E县56吨；B地的赈灾物资运往D县76吨，运往E县24吨．方案五：A地的赈灾物资运往D县45吨，运往E县55吨；B地的赈灾物资运往D县75吨，运往E县25吨．（7分）（3）设运送这批赈灾物资的总费用为w元．由题意，得w＝220x+250（100﹣x）+200（120﹣x）+220（x﹣20）+200×60+210×20＝﹣10x+60800．（9分）因为w随x的增大而减小，且40＜x≤45，x为整数．所以，当x＝41时，w有最大值．则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为：w＝60390（元）．（10分）七．一次函数与一元一次不等式（共2小题）16．若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜5 D．x＞5【答案】C【解答】解：解法1，：∵一次函数y＝kx﹣b经过点（2，0），∴2k﹣b＝0，b＝2k．函数值y随x的增大而减小，则k＜0；解关于k（x﹣3）﹣b＞0，移项得：kx＞3k+b，即kx＞5k；两边同时除以k，因为k＜0，因而解集是x＜5．解法2：∵函数y＝kx﹣b的图象与x轴的交点坐标为（2，0），∴函数y＝k（x﹣3）﹣b的图象与x轴的交点坐标为（5，0），则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为x＜5．故选：C．17．如图，直线y1＝kx+b过点A（0，2），且与直线y2＝mx交于点P（1，m），则不等式组mx＞kx+b＞mx﹣2的解集是（）A．1＜x＜2 B．0＜x＜2 C．0＜x＜1 D．1＜x【答案】A【解答】解：由于直线y1＝kx+b过点A（0，2），P（1，m），则有：，解得．∴直线y1＝（m﹣2）x+2．故所求不等式组可化为：mx＞（m﹣2）x+2＞mx﹣2，不等号两边同时减去mx得，0＞﹣2x+2＞﹣2，解得：1＜x＜2，故选：A．八．角平分线的性质（共2小题）18．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正确的是（）A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④【答案】D【解答】解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，∠A＝90°，不符合题意，∴①不正确；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD∠FAD，在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE2+DF2＝AF2+DE2，∴④正确；在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（SAS），∴EO＝FO，又∵AE＝AF，∴AO是EF的中垂线，∴AD⊥EF，∴②正确；∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，∴四边形AEDF是矩形，又∵DE＝DF，∴四边形AEDF是正方形，∴③正确．综上，可得正确的是：②③④．故选：D．19．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：①PC平分∠ACF；②∠ABC+∠APC＝180°；③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC；④∠BAC＝2∠BPC．其中正确的是（）A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③【答案】B【解答】解：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为M、N、D，①∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），故本小题正确；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，很明显∠MPN≠∠APC，∴∠ABC+∠APC＝180°错误，故本小题错误；③在Rt△APM与Rt△APD中，，∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），∴AD＝AM，同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN，∴CD＝CN，∴AM+CN＝AD+CD＝AC，故本小题正确；④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN＝∠ACF＝∠BPC+∠ABC，∴∠BAC＝2∠BPC，故本小题正确．综上所述，①③④正确．故选：B．九．等腰三角形的性质（共5小题）20．等腰三角形ABC的面积为10，AB＝AC＝5，那么BC＝4或2．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于D，设BC＝2x，则BD＝CD＝BC＝x，在Rt△ABD中，AD＝＝，S△ABC＝BC•AD＝×2x＝10，整理得，x4﹣25x2+100＝0，解得x2＝20或x2＝5，所以，x＝2或，BC＝4或2．故答案为：4；2．21．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n＝9．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…，∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝18°，∠A2A1C＝27°，∠A3A2B＝36°，∠A4A3C＝45°，…，∴9°n＜90°，解得n＜10．由于n为整数，故n＝9．故答案为：9．22．如图，在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，按此做法进行下去，第n个等腰三角形的底角的度数为．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝＝＝80°，∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1＝＝＝40°；同理可得，∠DA3A2＝20°，∠EA4A3＝10°，∴第n个等腰三角形的底角的度数＝．故答案为：．23．如图，△ABC中AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，过P点作PF∥AC交BC于F，∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP＝CQ，∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PFB，∴BP＝PF，∴PF＝CQ，又∠PDF＝∠QDC，∴证得△PFD≌△QCD，∴DF＝CD＝CF，又因P是AB的中点，PF∥AQ，∴F是BC的中点，即FC＝BC＝3，∴CD＝CF＝；（2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段，如图，如果点P在线段AB上，过点P作PF∥AC交BC于F，∵△PBF为等腰三角形，∴PB＝PF，BE＝EF，∴PF＝CQ，∴FD＝DC，∴ED＝EF+FD＝BE+DC＝BC＝3，∴ED为定值，同理，如图，若P在BA的延长线上，作PM∥AC的延长线于M，∴∠PMC＝∠ACB，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PMC，∴PM＝PB，根据三线合一得BE＝EM，同理可得△PMD≌△QCD，所以CD＝DM，∵BE＝EM，CD＝DM，∴ED＝EM﹣DM＝﹣DM＝+﹣DM＝3+DM﹣DM＝3，综上所述，线段ED的长度保持不变．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高．（1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由．【答案】（1）CG＝DE+DF．理由见解答；（2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论不成立．①当点D在BC延长线上时，DE﹣DF＝CG；②当D点在CB的延长线上时，DF﹣DE＝CG．【解答】解：（1）DE+DF＝CG．证明：连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即AB•CG＝AB•DE+AC•DF，∵AB＝AC，∴CG＝DE+DF；（2）当点D在底边的延长线上时，（1）中的结论不成立．分两种情况：①当点D在BC延长线上时，有DE﹣DF＝CG．理由：连接AD，则S△ABD＝S△ABC+S△ACD，即AB•DE＝AB•CG+AC•DF∵AB＝AC，∴DE＝CG+DF，即DE﹣DF＝CG．②当D点在CB的延长线上时，有DF﹣DE＝CG，说明方法同上．一十．等边三角形的性质（共9小题）25．如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（）A．6 B．12 C．32 D．64【答案】D【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：A7B7＝64B1A2＝64．故选：D．26．附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．A．30 B．40 C．50 D．60【答案】D【解答】解：设AB＝x，∴等边三角形的边长依次为x，x，x，2，x+2，x+2，x+2×2，x+2×2，x+3×2，∴六边形周长是2x+2（x+2）+2（x+2×2）+（x+3×2）＝7x+18，∵AF＝2AB，即x+6＝2x，∴x＝6cm，∴周长为7x+18＝60cm．故选：D．27．如图，图1是一块边长为1，面积记为S1的正三角形纸板，沿图1的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图2，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图3，图4，…，记第n（n≥3）块纸板的面积为Sn，则Sn＝﹣[1﹣（）n﹣1]．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的，∴三角形的边长分别为：，，…即相邻三角形相似比为：1：2，∴即相邻三角形面积比为：1：4，∴剪去一块的正三角形纸板面积分别为：，，…第n个纸板的面积为：﹣﹣﹣﹣•••﹣＝﹣×＝﹣[1﹣（）n﹣1]，故答案为：﹣[1﹣（）n﹣1]．28．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表，则an＝3n+1（用含n的代数式表示）．所剪次数1234…n正三角形个数471013…an【答案】见试题解答内容【解答】解：由图可知没剪的时候，有一个三角形，以后每剪一次就多出三个，所以总的个数3n+1．故答案为：3n+1．29．如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE长为1．【答案】见试题解答内容【解答】解：过P做BC的平行线至AC于F，∴∠Q＝∠FPD，∵等边△ABC，∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF，AP＝CQ，∵AP＝CQ，∴PF＝CQ，∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，∴AE＝EF，∴AE+DC＝EF+FD，∴ED＝AC，∵AC＝2，∴DE＝1．故答案为1．30．已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形ABn∁n的面积为（）n．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，∴BB1＝1，AB＝2，根据勾股定理得：AB1＝，∴第一个等边三角形AB1C1的面积为×（）2＝（）1；∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，∴B1B2＝，AB1＝，根据勾股定理得：AB2＝，∴第二个等边三角形AB2C2的面积为×（）2＝（）2；依此类推，第n个等边三角形ABn∁n的面积为（）n．故答案为：（）n．31．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是①②③④．①P在∠A的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵PR＝PS，PR⊥AB，PS⊥AC，∴P在∠A的平分线上，在Rt△ARP和Rt△ASP中，∵，∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），∴AS＝AR，∠QAP＝∠PAR，∵AQ＝PQ，∴∠PAR＝∠QPA，∴∠QPA＝∠QAR∴QP∥AR，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠BAC＝60°，∴∠PAR＝∠QPA＝30°，∴∠PQS＝60°，在△BRP和△QSP中，∵，∴△BRP≌△QSP（AAS），∴①②③④项四个结论都正确，故答案为①②③④．32．如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，以AB＝1为边长画正三角形，记为第1个正三角形；以BC＝2为边长画正三角形，记为第2个正三角形；以CD＝4为边长画正三角形，记为第3个正三角形；以DE＝8为边长画正三角形，记为第4个正三角形，…按此规律，继续画正三角形，则第n个正三角形的面积为×22n﹣4．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵第1个正三角形的边长为1，1＝20，第2个正三角形的边长为2，2＝21，第3个正三角形的边长为4，4＝22，第4个正三角形的边长为8，8＝23，∴第n个正三角形的边长为2n﹣1，∴第n个正三角形的面积为：×2n﹣1×（2n﹣1×）＝×22n﹣4．故答案为×22n﹣4．33．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°，设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，∴QC＝QB+BC＝6+x，∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，∴PC＝QC，即6﹣x＝（6+x），解得x＝2，∴AP＝2；（2）解法一：当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：过P作PF∥QC，∴△AFP是等边三角形，∵P、Q同时出发、速度相同，即BQ＝AP，∴BQ＝PF，∴△DBQ≌△DFP（AAS），∴BD＝DF，而△APF是等边三角形，PE⊥AF，∵AE＝EF，又DE+（BD+AE）＝AB＝6，∴DE+（DF+EF）＝6，即DE+DE＝6∴DE＝3为定值，即DE的长不变．解法二：当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，∵点P、Q速度相同，∴AP＝BQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，∴∠APE＝∠BQF，，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE＝EF，∵EB+AE＝BE+BF＝AB，∴DE＝AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE＝3，∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．一十一．等边三角形的判定（共1小题）34．如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB＝110°．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）解：当α＝150°，即∠BOC＝150°时，△AOD是直角三角形．∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝90°，即△AOD是直角三角形；（3）解：①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO．∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴190°﹣α＝α﹣60°∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO．∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°，∴α﹣60°＝50°∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD．∵190°﹣α＝50°∴α＝140°．综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．一十二．等边三角形的判定与性质（共1小题）35．边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：连接AD、DF、DB．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝∠BAF＝∠AFE，AB＝AF，∠E＝∠C＝120°，EF＝DE＝BC＝CD，∴∠EFD＝∠EDF＝∠CBD＝∠BDC＝30°，∵∠AFE＝∠ABC＝120°，∴∠AFD＝∠ABD＝90°，在Rt△ABD和RtAFD中∴Rt△ABD≌Rt△AFD（HL），∴∠BAD＝∠FAD＝×120°＝60°，∴∠FAD+∠AFE＝60°+120°＝180°，∴AD∥EF，∵G、I分别为AF、DE中点，∴GI∥EF∥AD，∴∠FGI＝∠FAD＝60°，∵六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，∴∠EDM＝60°＝∠M，∴ED＝EM，同理AF＝QF，即AF＝QF＝EF＝EM，∵等边三角形QKM的边长是a，∴第一个正六边形ABCDEF的边长是a，即等边三角形QKM的边长的，过F作FZ⊥GI于Z，过E作EN⊥GI于N，则FZ∥EN，∵EF∥GI，∴四边形FZNE是平行四边形，∴EF＝ZN＝a，∵GF＝AF＝×a＝a，∠FGI＝60°（已证），∴∠GFZ＝30°，∴GZ＝GF＝a，同理IN＝a，∴GI＝a+a+a＝a，即第二个等边三角形的边长是a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是×a；同理第第三个等边三角形的边长是×a，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是××a；同理第四个等边三角形的边长是××a，第四个正六边形的边长是×××a；第五个等边三角形的边长是×××a，第五个正六边形的边长是××××a；第六个等边三角形的边长是××××a，第六个正六边形的边长是×××××a，即第六个正六边形的边长是×a，故选：A．一十三．勾股定理（共2小题）36．如图，OP＝1，过P作PP1⊥OP，得OP1＝；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…依此法继续作下去，得OP2012＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：由勾股定理得：OP4＝＝，∵OP1＝；得OP2＝；OP3＝，依此类推可得OPn＝，∴OP2012＝，故答案为：．37．已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC＝2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．【答案】见试题解答内容【解答】（1）如图1，证明：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAE＝∠BAC+∠CAE，即∠DAC＝∠BAE．在△ACD与△ABE中，，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE；（2）连接BE，∵CD垂直平分AE∴AD＝DE，∵∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴BE⊥DE，DE＝AD＝3，∴BD＝5；（3）如图，过B作BF⊥BD，且BF＝AE，连接DF，则四边形ABFE是平行四边形，∴AB＝EF，设∠AEF＝x，∠AED＝y，则∠FED＝x+y，∠BAE＝180°﹣x，∠EAD＝∠AED＝y，∠BAC＝2∠ADB＝180°﹣2y，∠CA