新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题三数列第一讲等差数列与等比数列-小题备考微专题1等差数列与等比数列的基本量计算

第一讲等差数列与等比数列——小题备考常考常用结论1．等差数列(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)求和公式：Sn＝＝na1＋d；(3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列．2．等比数列(1)通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；(2)求和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝；(3)性质：①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；②an＝am·qn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列．微专题1等差数列与等比数列的基本量计算1.[2024·江西赣州二模]已知等差数列{an}中，Sn是其前n项和，若a3＋S3＝22，a4－S4＝－15，则a5＝()A．7B．10C．11D．132．[2024·安徽合肥二模]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝－1，a1＋a5＝2，则S8的值为()A．－27B．－16C．－11D．－93．[2024·吉林长春三模]已知等比数列{an}的公比为q(q>0且q≠1)，若a6＋8a1＝a4＋8a3，则q的值为()A．B．C．2D．44．[2024·全国甲卷]已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3－4，则S4＝()A．7B．9C．15D．305．[2024·辽宁鞍山二模]天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按依次以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，其次年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新起先，即“甲戌”“乙亥”之后地支回到“子”重新起先，即“丙子”，…，以此类推，2024年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为()A．壬午年B．癸未年C．己亥年D．戊戌年1.(1)[2024·山东济南模拟](多选)已知等差数列{an}，前n项和为Sn，a1>0，<－1，则下列结论正确的是()A．a2024>0B．Sn的最大值为S2024C．|an|的最小值为a2024D．S4044<0(2)[2024·湖南长沙明德中学三模]中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不犯难，次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则此人在第六天行走的路程是________里(用数字作答)．技法领悟1．在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn这五个量知道其中随意三个，就可以求出其他两个．求解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算．2．对于等比数列的前n项和公式，应依据公比q与1的关系分类探讨．一般地，若涉及n较小的等比数列的前n项和问题，为防止遗忘分类探讨，可干脆利用通项公式写出，而不必运用前n项和公式．[巩固训练1](1)[2024·全国乙卷]记Sn为等差数列的前n项和．若2S3＝3S2＋6，则公差d＝________.(2)[2024·河北正定中学模拟]已知等比数列{an}的前三项和为39，a6－6a5＋9a4＝0，则a5＝()A．81B．243C．27D．729微专题1等差数列与等比数列的基本量计算保分题1．解析：设公差为d，则a1＋2d＋3a1＋3d＝22，a1＋3d－4a1－6d＝－15，解得a1＝3，d＝2，故a5＝a1＋4d＝3＋8＝11.故选C.答案：C2．解析：因为{an}是等差数列，设公差为d，因为a4＝－1，a1＋a5＝2，所以，则，因为{an}的前n项和为Sn，所以S8＝8×5＋＝－16，故选B.答案：B3．解析：已知等比数列{an}的公比为q(q>0且q≠1)，若a6＋8a1＝a4＋8a3，则a6－a4＝8a3－8a1，所以＝＝q3＝8，解得q＝2.故选C.答案：C4．解析：由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q>0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.答案：C5．解析：由题意得：天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于100÷10＝10，余数为0，故100年后天干为癸；由于100÷12＝8…4，余数为4，故100年后地支为未；综上：100年后的2123年为癸未年．故选B.答案：B提分题[例1](1)解析：∵数列{an}为等差数列，a1>0，<－1，∴数列{an}为递减的等差数列，∴a2024<0，a2024>0，故A正确；∵数列{an}为递减的等差数列，a2024<0，a2024>0，∴Sn的最大值为S2024，故B错；∵a2024<0，a2024>0，∴由<－1得a2024<－a2024，∴a2024＋a2024<0，∴|a2024|>|a2024|，∴|an|的最小值为|a2024|，即a2024，故C正确；S4044＝＝2024(a2024＋a2024)<0，故D正确．故选ACD.(2)解析：将这个人行走的路程依次排成一列得等比数列{an}，n∈N*，n≤6，其公比q＝，令数列{an}的前n项和为Sn，则S6＝378，而S6＝＝，因此＝378，解得a1＝192，所以此人在第六天行走的路程a6＝a1×＝6(里)．答案：ACD(2)6[巩固训练1](1)解析：方法一设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a1＋d＋a1＋2d)＝3(a1＋a1＋d)＋6，所以6a1＋6d＝6a1＋3d＋6，解得d＝2.方法二设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由2S3＝3S2＋6，可得2×3a2＝3(a1＋a2)＋