高中数学6.3.3空间角的计算同步练习教师版苏教版选择性必修第二册VIP

6.3.3空间角的计算一、单选题1．在正方体ABCD—中，异面直线AD，所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.【解析】如图，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方体边长为1，则，则，设异面直线AD，所成角为，则.故选：D2．若平面的法向量为，直线l的方向向量为，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由线面角的向量求法推断【解析】由题意得，故选：D3．已知在直三棱柱中，，，，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角正弦值.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，则，，，所以，，设平面的法向量为，则，取，可得．又，所以与平面所成角的正弦值为，故选：A.4．已知两平面的法向量分别为，则两平面所成的二面角为（）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】依据法向量坐标求出其夹角，然后依据法向量夹角与二面角的关系，即可得到结果.【解析】，即∴两平面所成二面角为或故选:C.5．已知正三棱柱的棱长均为，是侧棱的中点，则平面与平面的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式结合特别角的三角函数值求解即可．【解析】解：以点为坐标原点，以垂直于的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，因为是各棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点，所以，故，，设平面的法向量为，则，即，令，则，，故，又平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．故选：B．6．如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用基底表示出，结合向量夹角公式求得正确答案.【解析】连接，以为空间一组基底，则，，所以，，设直线与直线所成角为，则,由于异面直线夹角的取值范围是，所以.故选：B7．在三棱锥中，平面，D，E，F分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量可求线面角的正弦值.【解析】因为平面，而平面，故，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设，则且，故，故，，，设平面的法向量为，则：由可得，取，则，设直线与平面所成角为，则.故选：B.8．如图，在正三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，E，F分别是AB，BC的中点，则直线AF与平面PEF所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系利用向量法来求直线与平面所成角的正弦值.【解析】依题意，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为，则，故可设，设直线与平面所成角为，所以.故选：A9．在二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，，则这个二面角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到，由此能求出结果.【解析】设这个二面角的度数为，由题意得，，，解得，∴，∴这个二面角的度数为，故选：C.【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积探讨面面角.10．如图，等边三角形的边长为3，分别交AB，AC于D，E两点，且，将沿DE折起（点A与P重合），使得平面平面BCED，则折叠后的异面直线PB，CE所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别以DB，DE，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求异面直线所成角的余弦值，再得正弦值．【解析】由题意可知DB，DE，DP两两垂直，分别以DB，DE，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，由已知，到直线的距离为，则，，，，从而，.故，因此是钝角，.故选：D．11．在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围，由此求得，即可得解.【解析】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示则，，，，，设，则，设平面的法向量为则，令，得所以，由于，，，，，，由于，所以故选：D12．如图，在正方体ABCD-EFGH中，P在棱BC上，BP=x，平行于BD的直线l在正方形EFGH内，点E到直线l的距离记为d，记二面角为A-l-P为θ，已知初始状态下x=0，d=0，则（

）A．当x增大时，θ先增大后减小 B．当x增大时，θ先减小后增大C．当d增大时，θ先增大后减小 D．当d增大时，θ先减小后增大【答案】C【分析】以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则P(2,x,0)，A(2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，，求得平面AMN的法向量为，平面PMN的法向量，由空间向量的夹角公式表示出，对于A，B选项，令d=0，则，由函数的单调性可推断；对于C，D，当x=0时，则，令，利用导函数探讨函数的单调性可推断.【解析】解：由题意，以F为坐标原点，FB，FG，FE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,设正方体的棱长为2，则P(2,x,0)，A(2,0,2)，设直线l与EF，EH交于点M、N，则，所以，，设平面AMN的法向量为，则，即，令，则，设平面PMN的法向量为，则，即，令，则，，对于A，B选项，令d=0，则，显示函数在是为减函数，即减小，则增大，故选项A，B错误；对于C，D，对于给定的，如图，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，当在下方时，，设，则对于给定的，为定值，此时设二面角为，二面角为，则二面角为，且，故，而，故即，当时，为减函数，故为增函数，当时，为增函数，故为减函数，故先增后减，故D错误.当在上方时，，则对于给定的，为定值，则有二面角为，且，因，故为增函数，故为减函数，综上，对于给定的，随的增大而削减，故选：C.二、多选题13．如图，在三棱锥中，DA，DB，DC两两垂直，且长度均为1，E为BC中点，则下列结论不正确的是（

）A． B．为与平面所成的角C．为点D到平面的距离 D．为二面角的平面角【答案】ABC【分析】利用空间中点、线、面的位置关系，结合线、面垂直、平行的性质和判定依次对四个选项进行推理论证即可.【解析】在三棱锥中，DA，DB，DC两两垂直，且长度均为1，E为BC中点，面，面，面.对A，在中，由得：，，故A选项错误；对B，面，与面不垂直（过同一点D不行能有两条直线同时与面垂直），不是在面内的射影，故不是与平面所成的角，因此B选项不正确；对C，若为点D到平面的距离，则平面，则在中，与冲突，因此C选项不正确；对D，E为BC中点，由题意知，，依据二面角的平面角的定义知，为二面角的平面角，故D选项正确.故选：ABC.14．（多选）在正方体中，若M是线段上的动点，则下列结论正确的有（

）A．异面直线所成的角为 B．异面直线所成的角可为C．异面直线所成的角为 D．异面直线所成的角可为【答案】ABC【分析】利用空间向量的数量积逐一推断即可.【解析】设正方体的棱长为1，且，则，∴A正确；∵，∴，∴异面直线所成角的余弦值为，又有解，∴B正确；，∴C正确；∵，∴与所成的角等于与所成的角，该角小于，∴D不正确．故选：ABC．【点睛】本题考查了空间向量的数量积的应用，利用空间向量的数量积求异面直线所成的角，考查了基本运算实力，属于基础题.15．已知正方体中，平面，平面，，记直线与平面所成角为，则的值可能为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】连接空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法求出，由的取值范围，求出的取值范围，即可推断.【解析】解：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，，则，，，，设平面的法向量为，因为平面，平面，所以，，即，令，则，又，所以，因为，所以，所以，所以.即，故符合题意的有B、C；故选：BC16．如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（

）A．几何体的外接球半径B．平面C．异面直线与所成角的正弦值的取值范围为D．面与底面所成角正弦值的取值范围为【答案】BCD【分析】对于A，几何体的外接球与正方体的外接球相同，可求得半径；对于B，利用面面平行的性质定理即可推断；对于C，找到异面直线与所成角，结合线面垂直的性质，列出正弦值的等式，再结合的取值范围，即可求解；对于D，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式，结合三角函数的学问可进行求解.【解析】对于A，因为几何体关于正方体的中心对称，其外接球与正方体的外接球相同，半径为，故A错误；对于B，在正方体中，且，故为平行四边形，所以，而平面，平面，故平面，同理可证平面，又因为，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，故B正确；对于C，由平面，平面，可得，即，由于，则异面直线与所成的角为，其正弦值为，在中，易得，所以，所以异面直线与所成角的正弦值的取值范围为，故C正确；对于D，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，则有，，设，则，所以，设平面的法向量，则，即，令，则，故，由题意知，取平面的一个法向量，则，则面与底面所成角正弦值为，由于，故当时取最小值，则取到最小值，当或时取最大值12，则取到最大值，所以面与底面所成角正弦值的取值范围为，故D正确，故选：BCD.三、填空题17．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，且，若，，则二面角A-PB-C的余弦值为______．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，结合二面角的空间向量的坐标计算公式即可求出结果.【解析】在平面内作，垂足为，因为，得AB⊥AP，CD⊥PD，由于AB//CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD，故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.所以，，，.所以，，，.设是平面的法向量，则即可取.设是平面的法向量，则即可取.则，由图可知二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.故答案为：.18．已知直四棱柱中，，且，若的中点为，则直线与平面所成的角的正弦值为______.【答案】【分析】以为坐标原点，，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，1，，用向量法可求线面角的正弦值．【解析】解：直四棱柱中，所以，，又，以为坐标原点，，，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，1，，，，1，，，2，，，0，所以，，，，0，，，2，设平面的一个法向量为，，，则，即，令，则，，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，，所以直线与平面所成的角的正弦值为．故答案为：19．已知，空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．经过点且方向向量为的直线方程为．用以上学问解决下面问题：已知平面的方程为，直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为_________．【答案】【分析】由已知定义可确定平面的法向量和直线的方向向量，由线面角的向量求法可求得结果.【解析】由题意知：平面的一个法向量，直线的一个方向向量，，即直线与平面所成角的正弦值为.故答案为：.20．如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点，下列四个结论：①存在点M，使得直线AM与直线夹角为30°；②存在点M，使得与平面夹角的正弦值为；③存在点M，使得三棱锥的体积为；④存在点M，使得，其中为二面角的大小，为直线与直线AB所成的角．则上述结论正确的有______．（填上正确结论的序号）【答案】②③【分析】对①：由连接，，由平面，即可推断；对③：设到平面的距离为，则，所以即可推断；对④：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用向量法求出与，比较大小即可推断；对②：设与平面夹角为，利用向量法求出，即可求解推断.【解析】解：对①：连接，，在正方体中，由平面，可得，又，，所以平面，所以，故①错误；对③：设到平面的距离为，则，所以，故③正确；对④：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，0，，，0，，，，，，，，所以，，，，，，设平面的法向量为，，，则，即，取，，，又，1，是平面的一个法向量，又二面角为锐二面角或直角，所以，，，又，，，故④错误．对②：由④的解析知，，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，设与平面夹角为，令，即，又，解得或，故②正确.故答案为：②③.四、解答题21．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，(1)求与所成的角(2)平面与平面所成的锐二面角余弦值【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式求出异面直线的夹角；（2）在第一问的基础上，求出两平面的法向量，从而得到锐二面角的余弦值.【解析】（1）由，可得⊥，又平面，故以分别为轴建立空间直角坐标系.则，由，则，所以，所以与所成的角是；（2）由题意为平面的一个法向量，设为平面的一个法向量，，由，令，则，故，所以，所以平面与平面所成的锐二面角余弦值是.22．如图，在三棱锥中，平面为的中点，.(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得的方向向量以及平面的法向量，即可利用向量法求得结果；（2）依据（1）中所求，再求得的法向量，即可利用向量法求得二面角的余弦值.【解析】（1）因为，所以.因为平面，又面，故，故过点作的平行线为轴，以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：则，所以.设平面的法向量为，则，故可得，取，则，则因为，所以，故直线与平面所成角的正弦值为.（2）不妨取平面的一个法向量为，所以.因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.23．如图，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，，平面平面.(1)证明：平面；(2)若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明过程见解析(2)【分析】（1）作出帮助线，由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，得到BD⊥，再证明出AB⊥，从而得到平面；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面角的余弦值.【解析】（1）取AB的中点N，AC的中点D，连接BD，，CN，因为底面是边长为2的正三角形，，所以，BD⊥AC，CN⊥AB，因为平面平面，交线为AC，平面，因为BD⊥AC，所以BD⊥平面，因为平面，所以BD⊥，因为，平面，所以AB⊥平面，因为平面，所以AB⊥，因为，平面ABC，所以平面ABC；（2）过点C作CFAB，以C为坐标原点，CN所在直线为x轴，CF所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，设平面的法向量为，则，解得：，设，则，故，故，因为，解得：，故设平面的法向量为，则，设，则，则，设平面与平面夹角的余弦值为，则，故平面与平面夹角的余弦值为.24．如图，已知是边长为的正三角形，，，分别是，，边的中点，将沿折起，使点到达如图所示的点的位置，为边的中点．(1)证明：平面．(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，，设与交于点，连接，证明为平行四边形，再依据线面平行的判定证明即可；（2）取的中点，连接，，则，再以为原点，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，再依据空间向量求解面面角即可.【解析】（1）证明：连接，，设与交于点，连接．因为，，分别是，，边的中点，所以且，则四边形为平行四边形，所以为的中点，因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以平面．（2）取的中点，连接，，则，因为平面平面，平面平面，所以平面，，，两两垂直．如图所示，以为原点，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的法向量为，则，即令，得．易知为平面的一个法向量，由，得平面与平面夹角的余弦值为．25．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，与平面所成角为30°，为上一点且．(1)证明：；(2)设平面与平面的交线为，在上取点使，为线段上一动点，求平面与平面夹角的正弦值的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）依据线面垂直的判定定理和性质定理证明；（1）依据与平面所成角为30°分析可得，建系，利用空间向量处理面面夹角问题.【解析】（1）∵四边形为矩形，则，又∵平面，平面，∴，，平面，∴平面，平面，则，∵，且，平面，∴平面，平面，则．（2）∵平面，则为与平面所成角，∴，又∵，则，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，∵，且，∴，令，则，∴，，设是平面的一个法向量，则，取，则，即，平面的一个法向量为，∴，∵，则当时，的最大值为，即平面与平面夹角的余弦值的最大值为，∴平面与平面夹角的正弦值的最小值为.26．如图，分别是矩形上的点，，，把四边形沿折叠，使其与平面垂直，如图所示，连接，得到几何体．(1)当点在棱上移动时，证明：；(2)在棱上是否存在点，使二面角的平面角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，.【分析】（1）利用题设条件及面面垂直的性质定理证得两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得，由此可证得；（2）利用（1）中结论，求出平面与平面的法向量，从而利用空间向量夹角余弦的坐标公式得到关于的方程，解之即可