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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.正四棱锥的五个顶点在同一个球面上,它的底面边长为,侧棱长为,则它的外接球的表面积为()A. B. C. D.2.如图,将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形,将平行四边形沿对角线折起,使平面平面,则直线与所成角余弦值为()A. B. C. D.3.某设备使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)的统计数据分别为,,,,由最小二乘法得到回归直线方程为,若计划维修费用超过15万元将该设备报废,则该设备的使用年限为()A.8年 B.9年 C.10年 D.11年4.已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到次结束为止.某考生一次发球成功的概率为,发球次数为,若的数学期望,则的取值范围为()A. B. C. D.5.若的展开式中的系数为150,则()A.20 B.15 C.10 D.256.执行如图所示的程序框图,若输出的值为8,则框图中①处可以填().A. B. C. D.7.复数在复平面内对应的点为则()A. B. C. D.8.设是虚数单位,,,则()A. B. C.1 D.29.已知复数,则对应的点在复平面内位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10.函数的图象大致是()A. B.C. D.11.已知全集,集合,,则阴影部分表示的集合是()A. B. C. D.12.把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将图象向右平移个单位,那么所得图象的一个对称中心为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知集合,,则________.14.已知函数,对于任意都有,则的值为______________.15.在平面直角坐标系xOy中,直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上,其中A(0,1)为直角顶点.若该三角形的面积的最大值为,则实数a的值为_____.16.在正方体中,已知点在直线上运动,则下列四个命题中:①三棱锥的体积不变;②;③当为中点时,二面角的余弦值为;④若正方体的棱长为2,则的最小值为;其中说法正确的是____________(写出所有说法正确的编号)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,点为圆:上一动点,过点分别作轴,轴的垂线,垂足分别为,,连接延长至点,使得,点的轨迹记为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若点,分别位于轴与轴的正半轴上,直线与曲线相交于,两点,且,试问在曲线上是否存在点,使得四边形为平行四边形,若存在,求出直线方程;若不存在,说明理由.18.(12分)已知为坐标原点,点,,,动点满足,点为线段的中点,抛物线:上点的纵坐标为,.(1)求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程;(2)若抛物线的准线上一点满足,试判断是否为定值,若是,求这个定值;若不是,请说明理由.19.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,为实数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线交于,两点,线段的中点为.(1)求线段长的最小值;(2)求点的轨迹方程.20.(12分)已知矩阵,且二阶矩阵M满足AMB,求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.21.(12分)如图,三棱锥中,,,,,.(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.22.(10分)若养殖场每个月生猪的死亡率不超过,则该养殖场考核为合格,该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示:月份1月2月3月4月5月6月7月8月月养殖量/千只33456791012月利润/十万元3.64.14.45.26.27.57.99.1生猪死亡数/只293749537798126145(1)从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月,求恰好有2个月考核获得合格的概率;(2)根据1月到8月的数据,求出月利润y(十万元)关于月养殖量x(千只)的线性回归方程(精确到0.001).(3)预计在今后的养殖中,月利润与月养殖量仍然服从(2)中的关系,若9月份的养殖量为1.5万只,试估计:该月利润约为多少万元?附:线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下:,参考数据:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
如图所示,在平面的投影为正方形的中心,故球心在上,计算长度,设球半径为,则,解得,得到答案.【详解】如图所示:在平面的投影为正方形的中心,故球心在上,,故,,设球半径为,则,解得,故.故选:.【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.2、C【解析】
利用建系,假设长度,表示向量与,利用向量的夹角公式,可得结果.【详解】由平面平面,平面平面,平面所以平面,又平面所以,又所以作轴//,建立空间直角坐标系如图设,所以则所以所以故选:C【点睛】本题考查异面直线所成成角的余弦值,一般采用这两种方法:(1)将两条异面直线作辅助线放到同一个平面,然后利用解三角形知识求解;(2)建系,利用空间向量,属基础题.3、D【解析】
根据样本中心点在回归直线上,求出,求解,即可求出答案.【详解】依题意在回归直线上,,由,估计第年维修费用超过15万元.故选:D.【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用,属于基础题.4、A【解析】
根据题意,分别求出再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可【详解】由题可知,,,则解得,由可得,答案选A【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解,易错点为第三次发球分为两种情况:三次都不成功、第三次成功5、C【解析】
通过二项式展开式的通项分析得到,即得解.【详解】由已知得,故当时,,于是有,则.故选:C【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6、C【解析】
根据程序框图写出几次循环的结果,直到输出结果是8时.【详解】第一次循环:第二次循环:第三次循环:第四次循环:第五次循环:第六次循环:第七次循环:第八次循环:所以框图中①处填时,满足输出的值为8.故选:C【点睛】此题考查算法程序框图,根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决,属于简单题目.7、B【解析】
求得复数,结合复数除法运算,求得的值.【详解】易知,则.故选:B【点睛】本小题主要考查复数及其坐标的对应,考查复数的除法运算,属于基础题.8、C【解析】
由,可得,通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出的值.【详解】解:,,解得:.故选:C.【点睛】本题考查了复数的运算,考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题,易错点是把当成进行运算.9、A【解析】
利用复数除法运算化简,由此求得对应点所在象限.【详解】依题意,对应点为,在第一象限.故选A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算,考查复数对应点的坐标所在象限,属于基础题.10、B【解析】
根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设,,则的定义域为.,当,,单增,当,,单减,则.则在上单增,上单减,.选B.【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.11、D【解析】
先求出集合N的补集,再求出集合M与的交集,即为所求阴影部分表示的集合.【详解】由,,可得或,又所以.故选:D.【点睛】本题考查了韦恩图表示集合,集合的交集和补集的运算,属于基础题.12、D【解析】
试题分析:把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的倍(纵坐标不变),可得的图象;再将图象向右平移个单位,可得的图象,那么所得图象的一个对称中心为,故选D.考点:三角函数的图象与性质.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
利用交集定义直接求解.【详解】解:集合奇数,偶数,.故答案为:.【点睛】本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.14、【解析】
由条件得到函数的对称性,从而得到结果【详解】∵f=f,∴x=是函数f(x)=2sin(ωx+φ)的一条对称轴.∴f=±2.【点睛】本题考查了正弦型三角函数的对称性,注意对称轴必过最高点或最低点,属于基础题.15、3【解析】
设直线AB的方程为y=kx+1,则直线AC的方程可设为yx+1,(k≠0),联立方程得到B(,),故S,令t,得S,利用均值不等式得到答案.【详解】设直线AB的方程为y=kx+1,则直线AC的方程可设为yx+1,(k≠0)由消去y,得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,所以x=0或x∵A的坐标(0,1),∴B的坐标为(,k•1),即B(,),因此AB•,同理可得:AC•.∴Rt△ABC的面积为SAB•AC•令t,得S.∵t2,∴S△ABC.当且仅当,即t时,△ABC的面积S有最大值为.解之得a=3或a.∵a时,t2不符合题意,∴a=3.故答案为:3.【点睛】本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.16、①②④【解析】
①∵,∴平面
,得出上任意一点到平面的距离相等,所以判断命题①;②由已知得出点P在面上的射影在上,根据线面垂直的判定和性质或三垂线定理,可判断命题②;③当为中点时,以点D为坐标原点,建立空间直角系,如下图所示,运用二面角的空间向量求解方法可求得二面角的余弦值,可判断命题③;④过作平面交于点,做点关于面对称的点,使得点在平面内,根据对称性和两点之间线段最短,可求得当点在点时,在一条直线上,取得最小值.可判断命题④.【详解】①∵,∴平面
,所以上任意一点到平面的距离相等,所以三棱锥的体积不变,所以①正确;
②在直线上运动时,点P在面上的射影在上,所以DP在面上的射影在上,又,所以,所以②正确;③当为中点时,以点D为坐标原点,建立空间直角系,如下图所示,设正方体的棱长为2.则:,,所以,设面的法向量为,则,即,令,则,设面的法向量为,,即,,由图示可知,二面角是锐二面角,所以二面角的余弦值为,所以③不正确;④过作平面交于点,做点关于面对称的点,使得点在平面内,则,所以,当点在点时,在一条直线上,取得最小值.因为正方体的棱长为2,所以设点的坐标为,,,所以,所以,又所以,所以,,,故④正确.
故答案为:①②④.【点睛】本题考查空间里的线线,线面,面面关系,几何体的体积,在求解空间里的两线段的和的最小值,仍可以运用对称的思想,两点之间线段最短进行求解,属于难度题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)不存在;详见解析【解析】
(1)设,,,通过,即为的中点,转化求解,点的轨迹的方程.(2)设直线的方程为,先根据,可得,①,再根据韦达定理,点在椭圆上可得,②,将①代入②可得,该方程无解,问题得以解决【详解】(1)设,,则,,由题意知,所以为中点,由中点坐标公式得,即,又点在圆:上,故满足,得.曲线的方程.(2)由题意知直线的斜率存在且不为零,设直线的方程为,因为,故,即①,联立,消去得:,设,,,,,因为四边形为平行四边形,故,点在椭圆上,故,整理得②,将①代入②,得,该方程无解,故这样的直线不存在.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法、满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法,考查数学转化思想方法,是中档题.18、(1)曲线的标准方程为.抛物线的标准方程为.(2)见解析【解析】
(1)由题知|PF1|+|PF2|2|F1F2|,判断动点P的轨迹W是椭圆,写出椭圆的标准方程,根据平面向量数量积运算和点A在抛物线上求出抛物线C的标准方程;(2)设出点P的坐标,再表示出点N和Q的坐标,根据题意求出的值,即可判断结果是否成立.【详解】(1)由题知,,所以,因此动点的轨迹是以,为焦点的椭圆,又知,,所以曲线的标准方程为.又由题知,所以,所以,又因为点在抛物线上,所以,所以抛物线的标准方程为.(2)设,,由题知,所以,即,所以,又因为,,所以,所以为定值,且定值为1.【点睛】本题考查了圆锥曲线的定义与性质的应用问题,考查抛物线的几何性质及点在曲线上的代换,也考查了推理与运算能力,是中档题.19、(1)(2)【解析】
(1)将曲线的方程化成直角坐标方程为,当时,线段取得最小值,利用几何法求弦长即可.(2)当点与点不重合时,设,由利用向量的数量积等于可求解,最后验证当点与点重合时也满足.【详解】解曲线的方程化成直角坐标方程为即圆心,半径,曲线为过定点的直线,易知在圆内,当时,线段长最小为当点与点不重合时,设,化简得当点与点重合时,也满足上式,故点的轨迹方程为【点睛】本题考查了极坐标与普通方程的互化、直线与圆的位置关系、列方程求动点的轨迹方程,属于基础题.20、特征值为1,特征向量为.【解析】
设出矩阵M结合矩阵运算和矩阵相等的条件可求矩阵M,然后利用可求特征值的另一个特征向量.【详解】设矩阵M=,则AM=,所以,解得,所以M=,则矩阵M的特征方程为,解得,即特征值为1,设特征值的特征向量为,则,即,解得x=0,所以属于特征值的
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