2023届江西省宜春市数学高三第一学期期末调研模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知数列中，，()，则等于（）A． B． C． D．23．已知复数满足，则（）A． B． C． D．4．已知集合，集合，若，则（）A． B． C． D．5．过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．46．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入、的值分别为、，则输出的值为（）A． B． C． D．7．设，，则的值为（）A． B．C． D．8．已知双曲线：的焦点为，，且上点满足，，，则双曲线的离心率为A． B． C． D．59．设，则““是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必条件10．已知抛物线的焦点为，对称轴与准线的交点为，为上任意一点，若，则（）A．30° B．45° C．60° D．75°11．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（）A．2 B．5 C． D．12．若数列满足且，则使的的值为()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量、、满足，则实数的值为_______．14．平面向量与的夹角为，，，则__________．15．已知变量x，y满足约束条件x-y≤0x+2y≤34x-y≥-6，则16．四边形中，，，，，则的最小值是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求直线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线距离的最小值和最大值.18．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为4，且椭圆过点，过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆与两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点.（1）求的周长；（2）求面积的最大值.19．（12分）在数列和等比数列中，，，.（1）求数列及的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.20．（12分）已知椭圆E：（）的离心率为，且短轴的一个端点B与两焦点A，C组成的三角形面积为.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若点P为椭圆E上的一点，过点P作椭圆E的切线交圆O：于不同的两点M，N（其中M在N的右侧），求四边形面积的最大值.21．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，.点，，分别为线段，，的中点，点是线段的中点.（1）求证：平面.（2）判断与平面的位置关系，并证明.22．（10分）直线与抛物线相交于，两点，且，若，到轴距离的乘积为．（1）求的方程；（2）设点为抛物线的焦点，当面积最小时，求直线的方程．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.【详解】由成等比数列得，即，已知，解得.故选：.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.2、A【解析】

分别代值计算可得，观察可得数列是以3为周期的周期数列，问题得以解决.【详解】解：∵，()，

，

，

，

，

…，

∴数列是以3为周期的周期数列，

，

，

故选：A.【点睛】本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.3、A【解析】

根据复数的运算法则，可得，然后利用复数模的概念，可得结果.【详解】由题可知：由，所以所以故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.4、A【解析】

根据或，验证交集后求得的值.【详解】因为，所以或.当时，，不符合题意，当时，.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.5、C【解析】

设直线AB的方程为，代入得：，由根与系数的关系得，，从而得到，同理可得，再利用求得的值，当Q，P，M三点共线时，即可得答案.【详解】根据题意，可知抛物线的焦点为，则直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为，代入得：.由根与系数的关系得，，所以.又直线CD的方程为，同理，所以，所以.故.过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得.所以，当Q，P，M三点共线时，等号成立.故选：C.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、焦半径公式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意取最值的条件.6、B【解析】

列出循环的每一步，由此可得出输出的值.【详解】由题意可得：输入，，，；第一次循环，，，，继续循环；第二次循环，，，，继续循环；第三次循环，，，，跳出循环；输出.故选：B.【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题.7、D【解析】

利用倍角公式求得的值，利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数关系式求得的值，进而求得的值，最后利用正切差角公式求得结果.【详解】，，，，，，，，故选：D.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.8、D【解析】

根据双曲线定义可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出离心率.【详解】依题意得，，，因此该双曲线的离心率.【点睛】本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力.9、B【解析】

解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.【详解】由，得，又由，得，因为集合，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.10、C【解析】

如图所示：作垂直于准线交准线于，则，故，得到答案.【详解】如图所示：作垂直于准线交准线于，则，在中，，故，即.故选：.【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.11、D【解析】

根据三视图还原出几何体，找到最大面，再求面积.【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示，将其放在一个长方体中，并记为三棱锥.，，，故最大面的面积为.选D.【点睛】本题主要考查三视图的识别，复杂的三视图还原为几何体时，一般借助长方体来实现.12、C【解析】因为，所以是等差数列，且公差，则，所以由题设可得，则，应选答案C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据图示分析出、、的坐标表示，然后根据坐标形式下向量的数量积为零计算出的取值.【详解】由图可知：，所以，又因为，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查向量的坐标表示以及坐标形式下向量的数量积运算，难度较易.已知，若，则有.14、【解析】

由平面向量模的计算公式，直接计算即可.【详解】因为平面向量与的夹角为，所以，所以;故答案为【点睛】本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型.15、-5【解析】

画出x，y满足的可行域，当目标函数z=x-2y经过点A时，z最小，求解即可。【详解】画出x，y满足的可行域，由x+2y=34x-y=-6解得A-1,2，当目标函数z=x-2y经过点A【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想。需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。16、【解析】

在中利用正弦定理得出，进而可知，当时，取最小值，进而计算出结果.【详解】，如图，在中，由正弦定理可得，即，故当时，取到最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查解三角形，同时也考查了常见的三角函数值，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）最大值；最小值.【解析】

（1）结合极坐标和直角坐标的互化公式可得；（2）利用参数方程，求解点到直线的距离公式，结合三角函数知识求解最值.【详解】解：（1）因为，代入，可得直线的直角坐标方程为.（2）曲线上的点到直线的距离，其中，.故曲线上的点到直线距离的最大值，曲线上的点到直线的距离的最小值.【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及最值问题，椭圆上的点到直线的距离的最值求解优先考虑参数方法，侧重考查数学运算的核心素养.18、（1）12（2）【解析】

（1）根据焦距得焦点坐标，结合椭圆上的点的坐标，根据定义；（2）求出椭圆的标准方程，设，联立直线和椭圆，结合韦达定理表示出面积，即可求解最大值.【详解】（1）设椭园的焦距为，则，故.则椭圆过点，由椭圆定义知:，故，因此，的周长；（2）由（1）知:，椭圆方程为:设，则，，，，，当且仅当在短轴顶点处取等，故面积的最大值为.【点睛】此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值，涉及韦达定理的使用，综合性强，计算量大.19、（1），（2）【解析】

(1)根据与可求得,再根据等比数列的基本量求解即可.(2)由(1)可得,再利用错位相减求和即可.【详解】解：（1）依题意,,设数列的公比为q,由,可知,由,得,又,则,故,又由,得.（2）依题意.,①则,②①-②得,即,故.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】

（Ⅰ）结合已知可得，求出a，b的值，即可得椭圆方程；（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在，设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0可得，联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出，得到，整理后利用基本不等式求最值.【详解】解：（Ⅰ）可得，结合，解得，，，得椭圆方程；（Ⅱ）易知直线的斜率k存在，设：，由，得，由，得，∵，设点O到直线：的距离为d，，，由，得，，，∴∴，∴而，，易知，∴，则，四边形的面积当且仅当，即时取“”.∴四边形面积的最大值为4.【点睛】本题考查了由求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于难题.21、（1）见解析（2）平面.见解析【解析】

（1）要证平面，只需证明，，即可求得答案；（2）连接交于点，连接，根据已知条件求证，即可判断与平面的位置关系，进而求得答案.【详解】（1），为边的中点，，平面平面，平面平面，平面，平面，，在内，，为所在边的中点，，又，，平面.（2）判断可知，平面，证明如下：连接交于点，连接.、、分别为边、、的中点，.又是的重心，，，平面，平面，平面.【点睛】本题主要考查了求证线面垂直和线面平行，解题关键是掌握线面垂直判定定理和线面平行判断定理，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.22、（1）；（2）【解析】

（1）设出两点的坐标，由距离之积为16，可得.利用向量的数量积坐标运算，将转化为.再利用