初中数学《13.2命题与证明》单元作业设计

初中数学《13.2命题与证明》单元作业设计

一、单元信息

学科年级学期教材版本单元名称

基本信息

数学八年级第一学期沪科版《命题与证明》

单元组织方式自然单元

序号课时名称对应教材内容

1命题第13.2(P75-77)

课时信息2演绎推理和几何证明第13.2(P78-80)

3三角形的内角和定理证明第13.2(P80-82)

4外角的性质第13.2(P82-83)

二、单元分析

（-）课标要求

通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义；结合具体实例，会区分命题的

条件和结论；了解原命题及其逆命题的概念；会区别两个互逆的命题，知道原命题成立其

逆命题不一定成立。知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可

以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式。了解反例的作用，知道如何利

用反例判断一个命题是错误的。探索并证明三角形的内角和定理；掌握三角形的内角和定

理的推论。

课标指出：在义务教育阶段，要培养学生抽象能力（包括数感、量感、符号意识）、

几何直观、空间观念与创新意识。本单元要求学生能够根据已知事实或原理，合乎逻辑地

推出结论，构建数学的逻辑体系；经历探索图形特征的过程，建立基本的几何概念；通过

尺规作图（尺规作图是指用无刻度直尺和圆规进行作图）等直观操作的方法，理解平面图

形的性质与关系；掌握基本的几何证明方法；在对图形性质的研究过程中，核心素养的感

悟由感性上升为理性，要求在建立空间观念、几何直观的基础上，逐步形成推理能力。

1

（-）教材分析

1、知识网络

概念对某一事件作出正确或不正确判断的语句（或式子）

一分类:

命题

结构由条4牛与结论两部分构成（如果…那么…）

互逆命题

命15与证明目

依据定义、定理、公理

步骤

证明

推论1：直角三角形两锐角互余

推论2:有两个角互余的三角形是直角三角形

三角形的内角和定理证明

推论3:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和

推论4:三角形的外角大于与它不相邻的任何1一个内角

2、内容分析

《命题与证明》是沪科版八年级上册第13章第2节的内容。它涉及平面几何所要研究

的基本内容之一，是以后图形研究的重要基础，在知识学习的同时，逐步渗透了推理论证

的格式，并介绍了命题的结构和证明的步骤，所以命题与证明也是推理论证的入门阶段，

在整个教材中起着承上启下的作用，为后面学生学习三角形、四边形、多边形、圆等相关

定理证明提供了理论依据与具体做法，是中考考查的热点之一。

本章在中考中常见的考点有：三角形中两边之和大于第三边，三角形内角和定理应

用，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，三角形的高、中线、角平分线应

用，命题的概念及一些几何问题的证明等。

（三）学情分析

从学生的认知规律来看：在七年级（上）已经学习了线段与角等简单的图形和相关的

几何知识，在七年级（下）又学习了“相交线、平行线”一些内容，在上一节（13、1）中

较为系统的学习了三角形及三角形中的边角关系，这些知识的学习与储备都为学习《13、2

命题与证明》打下了一定的基础。

其次是从学生的学习习惯、思维规律来看：八年级（上）的学生已经初步具备了自主

学习能力和独立思考能力，也积累了一定的数学学习的活动经验，大部分同学具有强烈的

学习新知的欲望，在老师的引导下孩子们在内心里也非常渴望自己是一个知识的发现者和

探究者。但是八年级（上）的学生的思维方式与思维习惯还不够成熟与完善，特别是逻辑

思维能力、推理、论证能力尚且不足，因此应加强学生的几何语言训练和几何推理论证方

面的练习，让学生掌握证明的格式及书写过程，提升学生的几何推理与论证能力。

本节课是几何论证真正的开始，它把学生带入一个全新的几何世界，以前的几何知识

学习都是从观摩、欣赏、体会的角度去感知和认识的，并没有真正去论证过，因此对一个

几何命题如何证明、证明的过程如何正确的书写，是本节课学习的重点和难点。

2

三、单元学习目标

知识技能：

1、掌握命题，真命题，假命题，原命题，逆命题，反例，定理的的概念；

2、会判断命题的真假，假命题会写出反例；会区分命题的条件与结论，会将命题改写

成“如果P,那么q”的形式，并能写出它的逆命题。

3、掌握三角形内角和定理及其三个推论，三角形的外角性质，并灵活去运用其解决实

际问题.

数学思考：

1、经历现实情境，探究命题的内涵，培养自主严谨的推理和理论意识，以及对所涉及

概念的理解，感受概念的应用方法。

2、会根据命题的证明需要，画出图形，写出已知、求证，将命题转化为数学语言的能力；

体会数学的严谨性和推理的用途。

3、经历观察、思考、猜想、归纳、推理的活动过程；通过分析问题、解决问题、证明

结论，从而通晓数学知识的发生与形成过程。

问题解决：

1.初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问

题，增强应用意识，提高实践能力。

2.经历推理证明的过程，体验证明的必要性和数学推理的严密性，获得分析问题和解决

问题的一些方法，体验方法的多样性，发展创新意识。

3、通过合作探究提高学生的合作意识和沟通、表达能力；在体验一题多变、一题多解

的过程中发散思维，提高空间想象能力。

情感态度：

1、通过积极参与数学活动,对数学定理、命题的由来产生好奇心和求知欲，认识到数

学与人类生活的密切联系,提高学习数学的积极性.

2、通过积极思考、踊跃发言，养成良好的学习习惯。

3、培养演绎推理的思维方法，感受几何知识的实际应用价值。形成严谨求实的科学态

度。

四、单元作业目标

A组：结合具体实例，会判断哪些是命题，会判断命题的真假，若是假命题会举反例；

会将命题改写成“如果P,那么q”的形式，并区分条件与结论；会写出一个命题的逆命题；

会区分定义、定理和基本事实，知道证明的基本步骤和书写格式，能运用学过的几何知识证

明一些简单的几何问题.熟记三角形内角和定理及其推论并应用其解决简单的问题；熟记外

角的性质并会用其解决简单实际问题。

3

B组：熟练掌握基础知识，训练学生综合运用的能力，发展空间观念、推理能力和表达

能力，进一步让学生感到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理的表达和思考，培养其

学习兴趣。

C组：在B组目标的基础上，学会用几何的思维方法解决实际问题。力求变换思维角

度，多方位思考，对于每个知识点挖掘其深邃的内涵，拓展其广阔的外延，从而有利于培

养学生创造性的思维能力。

五、单元作业设计思路

作业设计以教学目标为导向，围绕着本校学生学情，设置题型形式活泼多样，并采用

了分层作业，让不同层次的学生得到发展。选题注重了贴近社会与生活，体现了数学教学

的价值，发展学生的核心素养。对作业进行了精选精炼，最大限度的拓展学生的减负空间，

让学生愿意完成作业，在作业中体验成功。

具体设计体系如下：常规作业

揄出性作业整合运用

思维拓展

作业设计体系

探究性作业

实践性作业

发展性作业

个性化作业

跨学科作业

六、单元作业评价设计

1、每题作业的评价标准

等级

评价指标评价标准

ABC

A等：答案正确、过程正确

B等：答案正确、过程有问题

答题的准确性

C等：答案不正确、有过程不完整；答案不准确，过

程错误、或无过程

A等：过程规范，答案正确

答题的规范性B等：过程不规范、完整，答案正确

C等：过程不规范或无过程，答案错误

A等：解法有新意和独到之处，答案正确

解法的创新性B等：解法思路有创新，答案不完整或错误

C等：常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程

AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综合评价

综合评价等级

为B等；其余情况综合评价为C等。

4

2、每课时作业总评标准附每课时作业内容后

3、优秀作业奖励办法

累计10次综合评价为“A”者兑现一次奖励：抽取“刮刮乐”卡一张•Luckydrew*

奖励内容：①笔记本一本②与老师合影留念一张③免写数学作业一次

④奶茶一杯⑤布置数学作业权利一次⑥任意卡（自选一项奖励）

七、课时作业

第一课时

第一部分基础性作业（必做题）（15分钟内）

作业内容作业分析与设计意图

1、下列语句是命题的是（）

①钝角大于90°；本题考查学生对命题概

②两点之间，线段最短；念的理解，从概念出发判断

③希望明天下雨；哪些是判断性的语句，明确

④作ADJ_BC；祈使句和感叹句不是命题。

A.①②③B.①③④

C.①②D.①④

考查学生对命题真假的

2、下列命题中真命题是（）判断，解题的关键是了解对

A.若a2=b2,贝lja=b顶角的性质、平方根的性质、

B.4的平方根是±2锐角和钝角的定义.

C.两个锐角之和一定是钝角

D.相等的两个角是对顶角3,4两题考查学生对命

题结构的掌握，找出命题的

3、把命题“等角的补角相等”改写成“如果……那条件与结论是本节课的难

么……”的形式是点。一般命题在叙述时要求

通顺和简练，因此把命题中

4、判断下列各命题的条件和结论,并写出它们的逆命题。的关联词省略了，在改写时

①两直线平行，内错角相等注意要把省略的词或句子添

②平行于同一条直线的两条直线平行加上去。

反例是本课的难点，也

5、判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举是学生必须掌握的知识点之

一个反例。-O若命题是假命题则需举

①如果m|=|n|,那么m=n;反例。举反例时，只要找出满

②同位角相等。足条件，不满足结论的例子

即可。

通过思维导图设计，有

6利于帮助学生提高学习效

本课知识■率、整理思路、加强记忆、

思维导图巩固知识点，培养学生及时

总结的习惯。

5

A等：8A,7A1B,

综合评价

B等：6A2B,7A1C

（A组）

C等：其余

第二部分能力提升（B组）（5分钟内）

作业内容设计意图和说明

7、下列命题正确的是（）本题涉及到平行线的性

A.一对同旁内角的平分线互相垂直质，角平分线的定义，垂线

B.垂直于同一条直线的两条直线互相垂直的性质，邻补角等知识。考

c.邻补角的平分线互相垂直查学生对所学定理、概念的

D.过一点至少有一条直线与已知直线垂直理解，加深学生对命题的认

识。

8、命题：若a>b,则,<[

通过举反例，正确掌握

ah证明命题真假的说理方法，

（1）请判断这个命题的真假，若是真命题，请说明；若是培养逻辑思维能力，为下节

假命题，请举一个反例；课的证明打好基础。第2小

（2）请你适当修改命题的条件使其成为一个真命题。题则考查学生思维的严密性

及灵活解题能力。

A等：10A,9A1B,8A2B,9A1C

综合评价B凄：8A1B1C,8A2C,7A3B,7A2B1C

（B组）

C等：其余

第三部分拓展应用（C组）（5分钟内）

作业内容设计意图和说明

9、（1）如图所示，请在①AB〃CD,②NA=30°,③NCDA=30°本题是命题到证明之

三项中选择两个作为条件，一个作为结论，写一个命题：如间的过渡，通过不同的组

果________且________那么_______.（填序号）合形成不同的命题，判断

命题的真假需要一定的推

（2）请说明你写的命题是真命题.理，有一定的难度，为下一

2节学习证明做好铺垫。有

利于拓展学生的思维，提

高分析问题解决问题的能

力。

A等：11A,10A1B,9A2B,9A1B1C,10A1C

综合评价BJ：9A2C,8A3B,8A2B1C

（C组）

C等：其余

6

第二课时

第一部分基础过关(必做题)(15分钟内)

作业内容作业分析与设计意图

1、在证明过程中可以作为推理根据的是()本题考查命题与定理

A.命题、定义、公理、基本事实等概念的差异性；深化对定

B.定理、定义、公理、题设义的理解，明确：定义、基

C.命题本事实、定理、题设(已知

D.真命题条件)都可以作为逻辑推理

的依据。

2、下列命题可以作为定理的有()考查定理是经过证明

①2与6的平均值是8;②能被3整除的数也能被6整除；的正确的真命题；要求能对

③5是方程3x+7=-2(x-1)的根;④三角形的内角和是180°;简单的代数几何命题判断

⑤等式两边加上同一个数仍是等式.真假，确定是否定理，积累

A.2个B.3个C.4个D.5个对定理的结构的领会，了解

定理的丰富性和常见性。

3、如图，下面推理正确的是()AC

A.VZ1=Z2,Z.AB//CDE—&aF此题引导学生建立从

B.VZ1+Z2=180°,/.AB//CD条件到结论之间的逻辑桥

C.VZ3=Z4,AAB//CD/j梁。

D.VZ1+Z4=180°,.*.AB//CDR学会证明必备的思辨

性、把握从未知到目标进行

的探讨、筛选、抉择。

4、在下列推理过程中的括号里填上推理的依据。

如图，ZE=Z1,Z3+ZABC=180°,BE是NABC的角平分线.

求证:DF/AB本题指导学生逻辑有

证明：因为BE是NABC的角平分线穴C序地思考和探索；逐渐整理

所以N1=N2()/\/证明的逻辑成因，教师提供

又因为NE=N1(已知).卜、二/严格清晰的证明示例，有利

D

所以NE=/2()!于深化学生的思维，建立证

所以AE〃BC()L_________%明问题的思维雏形，提高分

B

所以NA+NABC=180°()/析问题解决问题的能力

又因为N3+NABC=180°

所以N3=NA()

所以DF〃AB()

本题考查学生对证明

5、如图，直线CD,EF被直线0A,OB所截,4+2=180°.求的理解，明确是一种推理过

证：N3=N4.c程，是借助一定条件施行逻

辑演算的数学方法。证明有

章法，表达数学化。

F

7

通过思维导图设计，有

6利于帮助学生提高学习效

*率、整理思路、加强记忆、

本课知识7।

思维导图巩固知识点。同时培养学生

及时总结的习惯。

A等：6A,5A1B,

综合评价

B等：5A1C,4A2B

（A组）

C等：其余

第二部分能力提升（B组）（5分钟内）

作业内容设计意图和说明

7、有三位同学对校队与市队足球赛进行估计，A说：校队至此题考查证明的基本

少进3个球，B说：校队进球数不到5个，C说：校队至少逻辑推理思路；可以先假设

进1个球.比赛后，知道3个人中，只有1个人的估计是对其中的一个人的估计是正

的，你能知道校队踢进球的个数是（）确的，然后根据3个人中，

A.4个B.3个C.1个D.0个只有1个人的估计是对的，

进行分析.

g4p八A等：7A,6A1B,

一示口叩1B4：6A1C,5A2B

小组）C等：其余

第三部分拓展应用（C组）（8分钟内）

作业内容设计意图和说明

8、如图，从下列三个条件①N1=N2②NC=ND③NA=NF本题是命题到证明

中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题。之间的过渡，通过不同的

（1）写出组成的所有命题，并判断真假；组合形成不同的命题，判

（2）选择其中的一个真命题，说明理由。Vy—/断命题的真假需要一定

K的推理，有一定的难度，

为下一节学习证明做好

铺垫。有利于拓展学生的

思维，提高分析问题解决

问题的能力。

A等：8A,7A1B,

综合评价

B等：7A1C,6A2B,6A1B1C

（C组）

C等：其余

8

第三课时

第一部分基础过关（必做题）（15分钟内）

作业内容作业分析与设计意图

1.一付三角板，如图叠放，则图中的Na（）.本题考查三角板

的知识，以及三角形

内角和为180。.关键

在于对几何图形的识

别能力。

本题考查的是三

2.一个三角形三个内角的度数之比是3:4:5,则这个三角形一定角形的内角和定理，

是（）.三角形的分类，掌握

A.锐角三角形B.直角三角形以上知识是解题的关

C.钝角三角形D.不能确定键.

本题考查的是平

3.如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,行线的性质，三角形

Z130。,N250°,则/的度数等于（的外角的性质，掌握

两直线平行，内错角

A.20°B.30°相等是解题关键.

C.50°D.80°

4.如图，将纸片口45。沿DE折叠，点A落在点尸处，已知本题考查的是翻

Z1Z2100。，则4的度数等于（折的性质及三角形内

角和定理，熟知三角

A.40°B.50°C.60°D.70°形内角和是180°是

解答此题的关键.

5、如图，在AABC中,AD是BC边上的高线,CE是一条角平分线,它本题考查三角形

们交于点P,NBAD=50°已知NBCE=24°求NBAC的度数.内角和定理及其推

论，这是本节课的重

点，通过做题，深刻理

解其内涵.

通过思维导图设

计，有利于帮助学生

6

提高学习效率、整理

本课知识

思路、加强记忆、巩

思维导图

固知识点。培养学生

及时总结的习惯。

9

A等：6A,5A1B,

综合评价

B等：5A1C,4A2B

（A组）

C等：其余

第二部分能力提升（B组）（5分钟内）

作业内容设计意图和说明

7.如图，在△ABC中，ZA=30°,ZB=62°,CE平分NA(3B.

（1）求/ACE；本题考查了三

（2）若CD」_AB于点D,NCDF=74°,证明：ACFD是直角3三角角形内角和与垂线

形.C的性质，直角三角形

L的性质及判定。有助

于提高学生的解题

能力.

八ED

A等：7A,6A1B,

综合评价B喜：6A1C,5A2B

（B组）

c等：其余

第三部分拓展应用（C组）（10分钟内）

作业内容设计意图和说明

8、已知AABC中，ZBAC=100°.

（1）若NABC和NACB的角平分线交于点0,如图1所示，试求/本题考查了三

B0C的大小；角形的内角和定理、

（2）若NABC和NACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的和角平分线的定义

射线）相交于0,0„如图2所示，试求NB0C的大小；的综合应用，发散学

（3）如此类推，若NABC和NACB的n等分线自下而上依次相交于生思维，渗透了整体

0,0„02-,如图3所示，试探求NB0C的大小与n的关系，并判思想，培养学生解题

断当NB0C=170。时，是几等分线的交线所成的角.能力

A.A

图1CB图2CB图3C

A等：10A,9A1B,9A1C,8A2B

综合评价

B等：8A1B1C,8A2C,7A3B7A2B1C

（C组）

C等：其余

10

第四课时

第一部分基础过关（必做题）（15分钟内）

作业内容作业分析与设计意图

1、如图，下列各角是AABC的外角的是（进一步让学生理解三

A.Z1B.Z2C.Z3D.N4角形外角概念

2、如图，NBEC是哪个三角形的外角？NAEC是哪个三角形清楚哪个角是哪个三

外角？NEFD是哪个三角形外角？角形的外角，有利于三角

形证明过程中外角的应

用。

让学生大胆猜想，自

3、如图，点D,E分别在AC,AB上,且NB=NC,BD与CE相主探索三角形内角与外角

交于点0o的关系，再通过测量、验证

求证：⑴ZAEC=ZADB;等方式确定三角形外角等

（2）ZBEOZB于它不相邻的两个内角

和。既培养学生的观察能

力和归纳概括能力，也培

养了学生探索能力与创新

精神。

4、已知，如图NB=30°,ZA=80°,

NC=27°,求/BDC的度数。本题需要添加辅助线，构

建三角形，本题有多种方

法可证，考察学生学习知

识，应用知识的能力。

5、如图，在AABC中，NB=NC,D为BC边上一点，点E在三角形外角与三角形

AC边上，ZADE=ZAED,若/BAD=24°,求/CDE的度数。内角和知识点的结合应

用。考察学生知识的灵活

应用。感知外角在证明中

的应用，培养学生发散思

维，进一步激发学生学习

数学的热情。

通过思维导图设计，

有利于帮助学生提高学习

本课知识效率、整理思路、加强记

思维导图忆、巩固知识点。培养学生

及时总结的习惯。

11

A等6A,5A1B,

综合评价B等5A1C,4A2B

（A组）

C等其余

第二部分能力提升（（B组））（5分钟内）

作业内容设计意图和说明

7、如图，CA平分NDCE,且与BE的延长线交于点A.本题考查了三角形外

（1）若NA=35。，NB=30。，则NBEC=_角与角平分线知识的相结

（2）同学们经过改变/A,ZB的度数进行多次探究，得到合，前面学习的知识往往

ZA,ZB,NBEC三角之间的数量关系，请你用一个等式表是后面进一步学习的基

示出这个关系，并进行证明。/础，要培养学生学会对知

识的迁移，对学生思维进

行训练。

CD

A等：7A,6A1B,

综合评价B等：6A1C,5A2B

（B组）

C等：其余

第三部分拓展应用（C组）（10分钟内）

作业内容设计意图和说明

8、已知在AABC,ZA=a,本题考查三角形内角

（1）如图①，若P点是NABC和NACB的角平分线的交点，求角平分线与外角角平分线

NP的大小综合性应用，考查学生灵

（2）如图②，若P点是NABC和外角NACE的角平分线的交活应用知识的能力。本题

点，ZP的大小采用由简入繁的形式，层

（3）如图③，若P点是外角NCBF和NBCE的角平分线的交层推进，真正培养学生的

点，求NP的大小A综合应用能力。学生在可

见的情境中，运用所学的

知识解决问题，进而达到

知识的理解与掌握，使学

生真正参与到知识开展形

P成的过程中来。

①②③

A等：10A.9A1B,9A1C,8A2B

综合评价B凄：8A1B1C,8A2C,7A3B7A2B1C

（C组）

C等：其余

12

单元质量检测作业

（-）单元质量检测作业内容

一、选