湖南省株洲市醴陵一中2025届高一下数学期末学业水平测试模拟试题含解析

湖南省株洲市醴陵一中2025届高一下数学期末学业水平测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若向量，，则在方向上的投影为（）A．-2 B．2 C． D．2．已知向量，，，且，则实数的值为A． B． C． D．3．已知数列，其前n项和为，且，则的值是（）A．4 B．8 C．2 D．94．设，若，则数列是（）A．递增数列 B．递减数列C．奇数项递增，偶数项递减的数列 D．偶数项递增，奇数项递减的数列5．在等差数列中，若，则（）A．8 B．12 C．14 D．106．用数学归纳法证明这一不等式时，应注意必须为（）A． B．， C．， D．，7．已知函数的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）A． B．C． D．8．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（）A． B．C． D．9．对于不同的直线l、、及平面，下列命题中错误的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则10．若，则函数的最小值是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若过点作圆的切线，则直线的方程为_______________.12．在平行六面体中，为与的交点，若存在实数，使向量，则__________．13．函数的定义域记作集合，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数，，，），记骰子向上的点数为，则事件“”的概率为________.14．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．15．若数列满足，，，则______.16．求374与238的最大公约数结果用5进制表示为_________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知点，求的边上的中线所在的直线方程．18．设函数，定义域为．（1）求函数的最小正周期，并求出其单调递减区间；（2）求关于的方程的解集．19．（1）证明：；（2）证明：对任何正整数n，存在多项式函数，使得对所有实数x均成立，其中均为整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，；（3）利用（2）的结论判断是否为有理数？20．在四棱锥中，，．（1）若点为的中点，求证：平面；（2）当平面平面时，求二面角的余弦值．21．已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式;（2）设，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】向量，，所以，||=5，所以在方向上的投影为=-2故选A2、A【解析】

求出的坐标，由得，得到关于的方程.【详解】，，因为，所以，故选A.【点睛】本题考查向量减法和数量积的坐标运算，考查运算求解能力.3、A【解析】

根据求解.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查数列和的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4、C【解析】

根据题意，由三角函数的性质分析可得，进而可得函数为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案。【详解】根据题意，，则，指数函数为减函数即即即即，数列是奇数项递增，偶数项递减的数列，故选：C.【点睛】本题涉及数列的函数特性，利用函数单调性，通过函数的大小，反推变量的大小，是一道中档题目。5、C【解析】

将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，，得解得，，所以．故选C．【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式.6、D【解析】

根据题意验证，，时，不等式不成立，当时，不等式成立，即可得出答案.【详解】解：当，，时，显然不等式不成立，当时，不等式成立，故用数学归纳法证明这一不等式时，应注意必须为，故选：.【点睛】本题考查数学归纳法的应用，属于基础题．7、B【解析】

由图象可知,所以,又因为,所以所求函数的解析式为.8、C【解析】

试题分析：可采用排除法，令和，验证选项，只有，使得，故选C．考点：数列的通项公式．9、C【解析】

由平面的基本性质及其推论得：对于选项C，可能l∥n或l与n相交或l与n异面，即选项C错误，得解．【详解】由平行公理4可得选项A正确，由线面垂直的性质可得选项B正确，由异面直线所成角的定义可得选项D正确，对于选项C，若l∥α，n∥α，则l∥n或l与n相交或l与n异面，即选项C错误，故选C．【点睛】本题考查了平面中线线、线面的关系及性质定理与推论的应用，属简单题．10、B【解析】

直接用均值不等式求最小值.【详解】当且仅当,即时，取等号.故选：B【点睛】本题考查利用均值不等式求函数最小值,属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、或【解析】

讨论斜率不存在时是否有切线，当斜率存在时，运用点到直线距离等于半径求出斜率【详解】圆即①当斜率不存在时，为圆的切线②当斜率存在时，设切线方程为即，解得此时切线方程为，即综上所述，则直线的方程为或【点睛】本题主要考查了过圆外一点求切线方程，在求解过程中先讨论斜率不存在的情况，然后讨论斜率存在的情况，利用点到直线距离公式求出结果，较为基础。12、【解析】

在平行六面体中把向量用用表示，再利用待定系数法，求得.再求解。【详解】如图所示：因为，又因为，所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了空间向量的基本定理，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13、【解析】要使函数有意义，则且，即且，即，随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子，记骰子向上的点数为，则，则事件“”的概率为.14、【解析】以A,B,C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC交出三个扇形,当P落在其内时符合要求,∴P==.15、【解析】

由，化简得，则为等差数列，结合已知条件得.【详解】由，化简得，且，，得，所以是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即故答案为：【点睛】本题考查了数列的递推式，考查了判断数列是等差数列的方法，属于中档题.16、【解析】

根据最大公约数的公式可求得两个数的最大公约数，再由除取余法即可将进制进行转换.【详解】374与238的最大公约数求法如下：，，，，所以两个数的最大公约数为34.由除取余法可得：所以将34化为5进制后为，故答案为：.【点睛】本题考查了最大公约数的求法，除取余法进行进制转化的应用，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】

设边的中点,则由中点公式可得：,即点坐标为所以边上的中线先的斜率则由直线的斜截式方程可得：这就是所求的边上的中线所在的直线方程.18、（1）最小正周期为，单调递减区间为；（2）.【解析】

（1）利用两角差的余弦公式、二倍角降幂公式以及辅助角公式将函数的解析式化简为，由周期公式可得出函数的最小正周期，由，解出的范围得出函数的单调递减区间；（2）由，得出，解出该方程可得出结果.【详解】（1），所以，函数的最小正周期为，由，得，因此，函数的单调递减区间为；（2）令，得，或，解得或，因此，关于的方程的解集为.【点睛】本题考查三角函数基本性质的求解，解题时要将三角函数解析式利用三角恒等变换思想进行化简，然后再利用相应公式或图象进行求解，考查分析问题和运算求解能力，属于中等题.19、（1）见解析；（2）见解析；（3）不是【解析】

（1），利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对分奇偶，即和两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案.【详解】（1）所以原式得证.（2）为奇数时，时，，其中，成立时，，其中，成立时，，其中，成立，则当时，所以得到因为均为整数，所以也均为整数，故原式成立；为偶数时，时，，其中，时，，其中，成立，时，，其中，成立，则当时，所以得到其中，因为均为整数，所以也均为整数，故原式成立；综上可得：对任何正整数，存在多项式函数，使得对所有实数均成立，其中，均为整数，当为奇数时，，当为偶数时，；（3）由（2）可得其中均为有理数，因为为无理数，所以均为无理数，故为无理数，所以不是有理数.【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.20、（1）见解析；（2）.【解析】

(I)结合平面与平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD和平面PDB的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可.【详解】(Ⅰ)取的中点为，连结，.由已知得，为等边三角形，.∵，，∴，∴，∴.又∵平面，平面，∴∥平面.∵为的中点，为的中点，∴∥.又∵平面，平面，∴∥平面.∵，∴平面∥平面.∵平面，∴∥平面.(Ⅱ)连结，交于点，连结，由对称性知，为的中点，且，.∵平面平面，，∴平面，，.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.则(0，，0)，(3，0，0)，(0，0，1).易知平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则，，∴，∵，，∴.令，得，∴，∴.设二面角的大小为，则.【点睛】本道题考查了平面与平面平行判定和性质,考查了空间向量数量积公式,关键建立空间坐标系,难度偏难.21、（1）；（2）.【解析】

（1）由递推公式，再递推一步，得，两式相减化简得，可以判断数列是等差数列，进而可以求出等差数列的通项公式;（2）根据（1）和对数的运算性质，用裂项相消法可以求出数列的前项和.【详解】解：（1）由知