人教版八年级数学下册基础知识专题17.9 勾股定理的逆定理（分层练习）（提升练）

专题17.9勾股定理的逆定理（分层练习）（提升练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2021下·黑龙江绥化·六年级期末）有3cm，4cm，5cm和9cm的小棒各一根，从中选出三根恰好可以围成一个直角三角形，这个直角三角形的面积是（

）A．6 B．10 C．7.5 D．13.52．（2019下·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．8个3．（2023上·贵州贵阳·八年级校考阶段练习）如图是由6个边长相等的正方形组成的网格，则（）

A． B．C． D．4．（2022上·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中）如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是（）A．B．C． D．5．（2023上·上海徐汇·八年级校联考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，且，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论是（

）A．② B．①② C．①④ D．①③④6．（2023上·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则的面积为（

）A． B． C． D．7．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）如图，点在内部，点与点关于对称，点与点关于对称．甲、乙两位同学各给出了自己的说法：甲：若，则是等边三角形；乙：若，则．对于两位同学的说法，下列判定正确的是（

）

A．甲正确 B．乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误8．（2022下·辽宁营口·八年级统考期中）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮沿着北偏东的方向航行，后到达小岛，乙客轮到达小岛．若，两岛的直线距离为，则乙客轮离开港口时航行的方向是（

）A．北偏西 B．南偏西C．南偏东或北偏西 D．南偏东或北偏西9．（2018上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝1，AD＝3，∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积为（）A． B．4 C．1 D．210．（2019上·河南洛阳·八年级偃师市实验中学校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．在直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5B．三角形为直角三角形，三角形的三边长为a，b，c，则满足a2-b2＝c2C．以任意三个连续自然数为三边长都能构成直角三角形D．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC为直角三角形填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023上·四川达州·八年级校考期末）在中，，，，则．12．（2023上·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）若a、b、c是的三边，且，则最大边上的高是．13．（2023上·江苏淮安·八年级统考期中）如图，在的网格中，．14．（2023上·江苏连云港·八年级校考期中）如图，中，，，．将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上一个动点，当周长最小时，的长为．15．（2023下·浙江宁波·八年级校考期末）如图，正方形的面积是169平方厘米，正方形面积是144平方厘米，正方形的面积是25平方厘米，则阴影四边形的面积是平方厘米．

16．（2023下·黑龙江大庆·八年级校考期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．则原路线千米．17．（2022上·山东青岛·七年级统考期中）海面上有两个疑似漂浮目标．A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西方向航行；同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东一定角度的航向行驶，如图所示，离开港口5小时后两船相距100海里，则B舰艇的航行方向是．18．（2019下·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期中）如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为为直角三角形．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2024上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图，在中，已知，D是边上的一点，，，.（1）求证：是直角三角形；（2）求的面积.20．（8分）（2023上·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，已知点是等边内一点，连结，，，D为外一点，且，连接，，．（1）求证：．（2）若，，，求的度数．21．（10分）（2024上·重庆万州·八年级统考期末）如图，在一条笔直的东西方向的公路上有A、B两地，相距500米，且离公路不远处有一块山地C需要开发，已知C与A地的距离为300米，与B地的距离为400米，在施工过程中需要实施爆破，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入．（1）山地C距离公路的垂直距离为多少米？（2）在进行爆破时，A、B两地之间的公路是否有危险需要暂时封锁？若需要封锁，请求出需要封锁的公路长．22．（10分）（2020上·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0）点，B（0，b），且a、b满足a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0，点P在直线AB的左侧，且∠APB＝45°．（1）求a、b的值；（2）若点P在x轴上，求点P的坐标；（3）若为直角三角形，求点P的坐标．

23．（10分）（2023上·广东广州·九年级统考期末）如图1，在中，，，点为内任意一动点，（1）当时，求的度数；（2）当点满足时，①求的度数；②如图2，取的中点，连接，试求，，之间的数量关系并说明理由．24．（12分）（2023上·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考期中）【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：

（1）与的位置关系为______．（2）填空：______（用含c的代数式表示）．（3）请尝试利用此图形证明勾股定理．【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形．请你利用以上信息解决以下问题：已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）

【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题：已知中，，，，则的面积______．参考答案：1．A【分析】根据三角形的三边关系，得到3cm，4cm，5cm三根小棒可以组成三角形，再根据勾股定理逆定理可知该三角形为直角三角形，即可求得答案；解：∵9=4+5∴9cm的小棒不能组成三角形∵∴此三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm和4cm∴故选A【点拨】本题考查了三角形的性质，涉及了勾股定理的逆定理，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．2．C【分析】当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个．解：∵点A，B的纵坐标相等，∴AB∥x轴，∵点C到AB距离为5，AB=10，∴点C在平行于AB的两条直线上，∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上），∴满足条件的C点共，6个．故选C．【点拨】用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．3．C【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理逆定理得到，再由三角形内角和定理进行计算即可．解：如图，设小正方形的边长为1，

则，，，，，，，故选：C．【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．4．A【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．解：A、三边长分别为，∵，∴不是直角三角形，故本选项符合题意；B、三边长分别为，，∴是直角三角形，故本选项不符合题意；C、三边长分别为，∵，∴是直角三角形，故本选项不符合题意；D、三边长分别为，∵，∴是直角三角形，故本选项不符合题意．故选A．【点拨】本题考查勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键．5．B【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，四边形内角和定理，先根据勾股定理得到，进而证明，推出是直角三角形，且，由四边形内角和定理得到，再由得到，据此可判断①②④；根据现有条件无法得到，即可判断③．解：如图所示，连接，∵在中，，，，∴，∵，，∴，∴，∴是直角三角形，且，故①正确；∴，故②正确；，故④错误；根据现有条件无法得到，故③错误；故选B．6．B【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，即可求出，从而可得出，即证明为直角三角形，且a，b为直角边，最后根据三角形面积公式求解即可．解：∵，∴，∴，解得：．∵，∴，∴为直角三角形，且a，b为直角边，∴的面积为．故选B．【点拨】本题考查非负数的性质，勾股定理逆定理．熟练掌握非负数的性质和勾股定理逆定理是解题关键．7．C【分析】连接，根据对称的性质以及垂直平分线的判定和性质可得，，，，推得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得；若，求得，根据等边三角形的判定即可证明甲同学的说法正确；若，根据勾股定理的逆定理可推得，即可证明乙同学的说法正确．解：连接，如图：

∵点与点关于对称，点与点关于对称，即是的垂直平分线，是的垂直平分线，∴，，，，∴，又∵，∴，在等腰三角形中，，在等腰三角形中，，则；若，则，又∵，∴为等边三角形，故甲同学的说法正确；若，∵，即，则，，满足，∴为直角三角形，∴，则，故乙同学的说法正确；故选：C．【点拨】本题考查了对称的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，勾股定理的逆定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．8．C【分析】根据题意可得OA=30海里，OB=40海里，再利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，从而求出∠AOB=90°，然后分两种情况，画出图形，进行计算即可解答．解：由题意得，海里，海里，OA2+OB2=302+402=2500，AB2=502=2500，OA2+OB2=AB2，∠AOB=90°，分两种情况：如图1，=180°-30°-90°=60°，乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东60°，如图2，∠BON=∠AOB-∠AON=90°-30°=60°，乙客轮离开港口时航行的方向是：北偏西60°，综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东60或北偏西60°，故选：C．【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，根据题目的已知条件画出图形进行分析是解题的关键．9．D【分析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACD＝90°，根据三角形的面积公式分别求出△ABC和△ACD的面积，即可得出答案．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝，∵CD＝1，AD＝3，AC＝2，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴四边形ABCD的面积：S＝S△ABC+S△ACD＝AB•BC+AC•CD＝×2×2+×1×2＝2+，故选D．【点拨】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出△ACD是直角三角形是解此题的关键．10．D【分析】根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案．解：A、应为“直角三角形中，已知两直角边的边长为3和4，则斜边的边长为5”，故不符合题意；B、应为“三角形是直角三角形，三角形的直角边分别为b，c，斜边为a，则满足a2=b2+c2，即a2-b2=c2”，故不符合题意；C、比如：边长分别为3，4，5，有32+42=25=52，能构成直角三角形，故不符合题意；D、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为15°，75°，90°，因而是直角三角形，故符合题意．故选：D．【点拨】本题考查了直角三角形的性质和判定，注意在叙述命题时要叙述准确．11．【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．解决问题的关键在于判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．解：∵，，∴，又∵，∴，∴是直角三角形，∴．故答案为：．12．【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等面积法求三角形的高．熟练掌握勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解题的关键．由勾股定理的逆定理可求是直角三角形，，设最大边上的高为，依题意得，，即，计算求解即可．解：∵，∴，∴是直角三角形，，设最大边上的高为，依题意得，，即，解得，，故答案为：．13．45【分析】连接，根据网格判定为等腰直角三角形，得出，根据平行线的性质得出，，根据即可求出结果．解：连接，如图所示：∵，，，∴，，∴为等腰直角三角形，∴，∵，，∴，，∴．故答案为：45．【点拨】本题主要考查了网格与勾股定理，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，证明为等腰直角三角形．14．【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，轴对称的性质，掌握相关性质是解答本题的关键．根据翻折的性质和勾股定理的逆定理，得到为直角三角形，设，则，再利用勾股定理得到答案．解：由题意得：，两点关于射线对称，，为定值，要使周长最小，即最小，如图，当点为与射线的交点时，周长最小，，，，，，，为直角三角形，，，，设，则，在中，，即，解得：，，故答案为：．15．【分析】根据正方形的面积、正方形面积、正方形的面积可以计算，，，进而判定为直角三角形，即可求证、、三点共线，且阴影部分的面积为，即可解题．解：根据正方形的面积、正方形面积、正方形的面积可得厘米，厘米，厘米，且满足，为直角三角形，，、、三点共线，、、三点共线，为直角三角形，（厘米），（厘米），∴（平方厘米）（平方厘米）∴（平方厘米）．∵（平方厘米）∴阴影四边形的面积（平方厘米）．故答案为．【点拨】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，勾股定理的逆定理判定直角三角形，正方形各边长相等、各内角为直角的性质，三角形面积的计算，本题中求阴影部分的面积为是解题的关键．16．/【分析】先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设千米，则千米，最后在运用勾股定理即可解答．解：∵在中，，∴，∴是直角三角形且；设千米，则千米，在中，由已知得，由勾股定理得：，∴，解得x=．故答案为．【点拨】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键．17．北偏东【分析】根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，求出的度数即可．解：由题意得，（海里），（海里），又∵海里，∵，即∴，∵，∴，则B舰艇的航行方向是北偏东，故答案为：北偏东．【点拨】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，根据题意判断出是直角三角形是解决问题的关键．18．3或2或．【分析】作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．解：作BF⊥AD于F，则四边形DEBF为矩形，∴BF=DE=4，DF=BE=1，∴AF=AD-DF=3，由勾股定理得，

当△ABC为直角三角形时，即解得，CD=3，如图2，作BH⊥AD于H，仿照上述作法，当∠ACB=90°时，由勾股定理得，

由得：解得：同理可得：当∠ABC=90°时，综上：的长为：3或2或．故答案为：3或2或．【点拨】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么19．（1）见分析；（2）【分析】本题主要考查了勾股定理和其逆定理以及等腰三角形的性质，解题关键是利用勾股定理构造方程求出腰长．（1）根据勾股定理的逆定理证明即可；（2）设，则，利用勾股定理列方程求得，从而求得，再利用三角形的面积公式求解即可．解：（1）证明：∵，，，∴在中，，即，∴是直角三角形；（2）解：设，则，在中，，解得：，∴，∴．20．（1）见分析；（2）【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．（1）根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到，，推出是等边三角形，得到，，根据勾股定理的逆定理得到，于是得到结论．解：（1）证明：∵是等边三角形，∴，，∵，，∴是等边三角形，∴，∴，在与中，∴（SAS）；（2）解：∵，∴，，∵，∵，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∴．21．（1）；（2）需要，【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用；（1）过作，因为，由勾股定理的逆定理得是直角三角形，通过三角形的面积转化，即可求解；（2）以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，由等腰三，比较与的大小即可判断，由勾股定理得，即可求解．掌握勾股定理及其逆定理，能作出适当的辅助线，将实际问题转化为勾股定理及其逆定理是解题的关键．（1）解：由题意得，，，如图，过作，，，是直角三角形，且，，，解得：，答：山地C距离公路的垂直距离为；（2）解：公路有危险需要暂时封锁，理由如下：如图，以点为圆心，为半径画弧，交于点E、F，连接，，则，，，由（1）可知，，，有危险需要暂时封锁，在中，，，即需要封锁的公路长为．22．（1）a＝2，b＝4；（2）P（﹣4，0）；（3）P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）【分析】（1）a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0整理得（a﹣2）2+|2a+b|＝0，再根据非负数的性质求得a，b的值即可；（2）点P在直线AB的左侧，且在x轴上，∠APB＝45°，得到OP＝OB＝4，即可得到P点坐标；（3）由题意可知△ABP是直角三角形，且∠APB＝45°，则分∠ABP＝90°或∠BAP＝90°两种情况进行讨论即可.解：（1）∵a2﹣4a+4+|2a+b|＝0，∴（a﹣2）2+|2a+b|＝0，∴a＝2，b＝4．（2）由（1）知，b＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，∵点P在直线AB的左侧，且在x轴上，∠APB＝45°，∴OP＝OB＝4，∴P（﹣4，0）；（3）由（1）知a＝﹣2，b＝4，∴A（2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∵△ABP是直角三角形，且∠APB＝45°，∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，如图，

①当∠ABP＝90°时，∵∠BAP＝45°，∴∠APB＝∠BAP＝45°，∴AB＝PB，过点P作PC⊥OB于C，∴∠BPC+∠CBP＝90°，∵∠CBP+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，在△AOB和△BCP中，∠AOB＝∠BCP＝90°，∠ABO＝∠BPC，AB＝PB，∴△AOB≌△BCP（AAS），∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，∴OC＝OB﹣BC＝2，∴P（﹣4，2）；②当∠BAP＝90°时，过点P'作P'D⊥OA于D，同①的方法得，△ADP'