备战高考数学一轮复习讲义第54讲　正态分布

第54讲正态分布参考数据：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.9973.一、单项选择题(选对方法，事半功倍)1.已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ≥2)＝a，P(0<ξ≤1)＝1－3a，则P(ξ≤0)等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)2.某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩ξ近似服从正态分布N(95，σ2)，且P(91<ξ≤95)＝0.25.若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为()A.100 B.125C.150 D.1753.(2022·沈阳质检)已知随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,a－x)(0<x<a)的最小值为()A.9 B.eq\f(9,2)C.4 D.64.(2022·深圳模拟)已知随机变量ξ～N(μ，σ2)，有下列四个命题：甲：P(ξ<a－1)>P(ξ>a＋2)；乙：P(ξ>a)＝0.5；丙：P(ξ≤a)＝0.5；丁：P(a<ξ<a＋1)<P(a＋1<ξ<a＋2)．如果只有一个假命题，则该命题为()A.甲 B.乙C.丙 D.丁二、多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的)5.阳山水蜜桃迄今已有近七十年的栽培历史，产于中国著名桃乡江苏无锡阳山镇．水蜜桃果形大、色泽美，皮韧易剥、香气浓郁，汁多味甜，入口即化，有“水做骨肉”的美誉．阳山水蜜桃早桃品种5月底开始上市，7月15日前后，甜度最高的湖景桃也将大量上市．已知甲、乙两个品种的阳山水蜜桃的质量(单位：kg)分别服从正态分布N1(μ1，σeq\o\al(2,1))，N2(μ2，σeq\o\al(2,2))，其正态密度曲线如图所示，则下列说法正确的是()(第5题)A.乙品种水蜜桃的平均质量μ2＝0.8B.甲品种水蜜桃的质量比乙品种水蜜桃的质量更集中于平均值左右C.甲品种水蜜桃的平均质量比乙品种水蜜桃的平均质量小D.乙品种水蜜桃的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.996.“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其正态密度函数φ(x)＝eq\f(1,10\r(,2π))e－eq\f(x－1002,200)，x∈(－∞，＋∞)，则()A.该地杂交水稻的平均株高为100cmB.该地杂交水稻株高的方差为10C.该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多D.随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)的概率一样大三、填空题(精准计算，整洁表达)7.若随机变量X～N(0,1)，且P(－1<X<1)＝a，则P(X>1)＝________.8.(2022·豫南联考)设X～N(1，σ2)，且P(X≥3)＝0.15865，在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋y2＝σ2上有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．9.(2022·沈阳调研)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布N(100,17.52)．已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为________(结果精确到小数点后两位)；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．四、解答题(让规范成为一种习惯)10.(2022·广州模拟)某工厂为A公司生产某种零件．现准备交付一批(1000个)刚出厂的该零件，质检员从中抽取了100个，测量并记录了它们的尺寸(单位：mm)，统计结果如下表.零件的尺寸(2,2.03](2.03,2.06]零件的个数436零件的尺寸(2.06,2.09]2.09以上零件的个数564(1)将频率视为概率，设该批零件的尺寸不大于2.06mm的零件数为随机变量X，求X的均值；(2)假设该厂生产的该零件的尺寸Y～N(2.069,0.012)．根据A公司长期的使用经验，该厂提供的每批该零件中，Y>m的零件为不合格品，约占整批零件的10%，其余尺寸的零件均为合格品，请估计m的值(结果保留三位小数)．附：若Y～N(μ，σ2)，令Z＝eq\f(Y－μ,σ)，则Z～N(0,1)，且P(Z≤1.28)≈0.9.11.某县工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图．(第11题)(1)试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；(2)设该公路上机动车的行车速度v服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取自该调查样本中机动车