2024届上海长宁区高三一模数学试卷和答案

高中PAGE1高中2023-2024学年上海长宁区第一学期教学质量调研试卷高三数学考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知集合，，则.2.复数满足（为虚数单位），则.3.不等式的解集为.4.设向量，，若，则.5.将4个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则共有种不同排法.6.物体位移和时间满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为.7．现利用随机数表法从编号为00，01，02，，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为.9522600049840128661751683968292743772366270966239258095643890890064828345974145829778149646089258.在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值（单位：）定义为.其中为声场中某点的声强度，其单位为，为基准值.若，则其相应的声强级为.9.若向量，，则在方向上的投影向量为_______．10．若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围．11.若函数在上是严格单调函数，则实数的取值范围为.12.设，记函数在区间上的最大值为，若对任意，都有，则实数的最大值为.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列函数中既是奇函数又是增函数的是（）.A.；B.；C.；D..14．“”是“事件与事件互相独立”（）.A．充分不必要条件；B．必要不充分条件；C．充要条件；D．既不充分也不必要条件.15.设点是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置出发，沿单位圆按逆时针方向转动角后到达点，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角到达.若点的横坐标为，则点的纵坐标（）.A．；B．；C．；D．.16.豆腐发酵后表面长出一层白绒绒的长毛就成了毛豆腐.将三角形豆腐悬空挂在发酵空间内，记发酵后毛豆腐所构成的几何体为.若忽略三角形豆腐的厚度，设，,，点在△内部.假设对于任意点，满足的点都在内，且对于内任意一点，都存在点，满足，则的体积为（）.A.；B.；C.；D..三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知等差数列的前项和为，公差.（1）若，求的通项公式；（2）从集合中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）求证：；（2）若，，，求异面直线与所成的角的大小．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图1，某汽车四轮中心分别为A、B、C、D，向左转向，左前轮转向角为，右前轮转向角为，转向中心为O.设该汽车左右轮距AB为米，前后轴距AD为米.（1）试用、和表示；（2）如图2，有一直角弯道，M为内直角顶点，EF为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A、D与路边FS相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：=1\*GB3①转向过程中，左前轮转向角的值始终为；=2\*GB3②设转向中心O到路边EF的距离为，若且，则汽车可以通过，否则不能通过；=3\*GB3③，.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？图1图220．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.已知椭圆，、为的左、右焦点，点在上，直线与圆相切.（1）求△的周长；（2）若直线经过的右顶点，求直线的方程；（3）设点在直线上，为原点，若，求证：直线与圆相切.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”.（1）若，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，，求实数的取值范围；（3）若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数.参考答案和评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.；2.；3.；4.2；5.12；6.80；7．14；8.130；9.；10．；11.；12..11解：，因为，所以在上是严格减函数，当时，恒成立，所以在上恒成立，因为我是，所以12解：设，因为，所以所以得二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.A；14.C；15.D；16.B16解：该几何体由一下几部分组成：一个底面与平行高为2的三棱柱；底面为半径为1的半圆，高分别3、4、5的三个圆柱；一个半径为1的球.所以该几何体的体积为三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.已知等差数列的前项和为，公差.（1）若，求的通项公式；（2）从集合中任取3个元素，记这3个元素能成等差数列为事件，求事件发生的概率.解：（1）因为，所以，……..2分得，…….4分所以.…….6分（2）随机实验样本空间中样本点的个数为，……..3分事件所含样本点分两类，公差为的有4个，公差为的有2个，……..6分所以事件发生的概率.…….8分18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．（1）求证：；（2）若，，，求异面直线与所成的角的大小．（1）证明：因为，为的中点，所以，…….2分因为平面平面，所以平面，…….4分因为平面，所以.…….6分（2）由（1）知平面，作，因为，所以，进而可以、、分别为轴、轴和轴正方向，建立坐标系，…..3分因为，，所以可设，，，，…..6分因为，设异面直线与所成的角为，则，所以……8分19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）.汽车转弯时遵循阿克曼转向几何原理，即转向时所有车轮中垂线交于一点，该点称为转向中心.如图，某汽车四轮中心分别为A、B、C、D，向左转向，左前轮转向角为，前右轮转向角为，转向中心为O.设该汽车左右轮距AB为米，前后轴距AD为米.（1）试用、和表示；（2）如图2，有一直角弯道，M为内直角顶点，EF为上路边，路宽均为3.5米，汽车行驶其中，左轮A、D与路边FS相距2米.试依据如下假设，对问题*做出判断，并说明理由.假设：=1\*GB3①转向过程中，左前轮转向角的值始终为；=2\*GB3②设转向中心O到路边EF的距离为，若且，则汽车可以通过，否则不能通过；=3\*GB3③，.问题*：可否选择恰当转向位置，使得汽车通过这一弯道？解：（1）由已知，，…….2分所以，，……..4分进而.……..6分（2）以EF和FS分别为轴和轴建立坐标系，则.，，……..2分设，，，，……..4分由，得，进而，由，得，…….6分所以当时，且，此时汽车可以通过弯道.答：选择恰当转向位置，汽车可以通过弯道.…….8分20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.已知椭圆，、为的左、右焦点，点在上，直线与圆相切.（1）求△的周长；（2）若直线经过的右顶点，求直线的方程；（3）设点在直线上，为原点，若，求证：直线与圆相切.解：（1）设椭圆的聚焦为，长轴长为，短轴长为，则，，所以，……..2分所以，得△的周长为.……..4分（2）椭圆的右顶点为，所以可设直线的方程为，……..2分因为圆与直线相切，所以，……..4分解得，直线的方程为.…….6分（3）设，，因为，所以，…….2分当时，，由，得，，直线方程为，与圆相切，…….4分当时，直线的方程为则原点到直线的距离为，…….6分因为，，所以．此时直线与圆相切．……8分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）.若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”.（1）若，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，，求实数的取值范围；（3）若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数.证明：（1）函数为偶函数.……2分因为对任意，都有，所以，得，所以为偶函数.………4分（2）解：设因为是上的严格增函数，所以，进而，所以，，设，，则与均为上的严格增函数，…….3分，恒成立因为，，所以，得，当时，恒成立，所以.