2024届上海宝山区高三一模数学试卷和答案

高中PAGE1高中上海宝山区2023-2024学年第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷考生注意：1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1.函数的定义域是2.已知向量，，若，则实数3.已知等差数列的前项和为，若则4.设,则方程的解集为5.在一次为期天的博览会上，主办方统计了每天的参观人数（单位：千人），得到样本的茎叶图（如右图），则该样本的第百分位数是6.设为常数，若，则函数的图像必定不经过第象限设函数，若，则实数的值为若对于任意实数，都有，则的值为如图，在圆锥中，为底面圆的直径，,点在底面圆周上，且.若为线段上的动点，则的周长最小值为随着我国国民教育水平的提高，越来越多的有志青年报考研究生.现阶段，我国研究生入学考试科目为思政、外语和专业课三门，录取工作将这样进行：在每门课均及格（分）的考生中，按总分进行排序，择优录取.振华同学刚刚完成报考，尚有11周复习时间，下表是他每门课的复习时间和预计得分.设思政、外语和专业课分配到的周数分别为，则自然数数组时，振华被录取的可能性最大.科目周数012345678910思政2040556572788082838485外语3045535862656870727475专业课5070859093959696969696已知函数，正项等比数列满足，则设点在直线上，点在曲线上，线段的中点为，为坐标原点，则的最小值为.二、（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）13．“”是“”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14．下列说法中错误的是（）A.一组数据的平均数、中位数可能相同B.一组数据中比中位数大的数和比中位数小的数一样多C.平均数、众数和中位数都是描述一组数据的集中趋势的统计量D.极差、方差、标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）A．B．若，则的最大值为C．若，则复平面内对应的点位于第一象限D．若是关于的方程的一个根，则已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当，或.现有如下两个命题:=1\*GB3①；=2\*GB3②集合.则下列选项中正确的是（）A．=1\*GB3①是真命题，=2\*GB3②是真命题；B．=1\*GB3①是真命题，=2\*GB3②是假命题；C．=1\*GB3①是假命题，=2\*GB3②是真命题；D．=1\*GB3①是假命题，=2\*GB3②是假命题.三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分）一个盒子中装有张卡片，卡片上分别写有数字、、、．现从盒子中随机抽取卡片．（1）若一次抽取张卡片，事件表示“张卡片上数字之和大于”，求；（2）若第一次抽取张卡片，放回后再抽取张卡片，事件表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求；（3）若一次抽取张卡片，事件表示“张卡片上数字之和是的倍数”，事件表示“张卡片上数字之积是的倍数”.验证、是独立的．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在中，角的对边分别为.(1)若求角的大小；(2)若边上的高等于，求的最大值.19．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）如图，在直三棱柱中，，，且分别是的中点.（1）证明：；（2）求三棱锥的体积；（3）求直线与平面所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）以坐标原点为对称中心，焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若点，动点满足，求动点的轨迹所围成的图形的面积；（3）过圆上一点（不在坐标轴上）作椭圆的两条切线.记的斜率分别为,求证：.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题=1\*GB3①满分6分，第2小题=2\*GB3②满分8分）.已知函数，，其中为自然对数的底数.（1）求函数的图像在点处的切线方程；（2）设函数，=1\*GB3①若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围；=2\*GB3②当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.2023-2024学年第一学期期末高三年级数学学科教学质量监测试卷参考答案1.2.3.4.5.6.二7.8.9.10.11.12.14.15.16.17.解：（1）若一次抽取张卡片，共包含、、、共个基本事件.其中事件包含个基本事件2分所以4分若第一次抽取张卡片，放回后再抽取张卡片，共包含个基本事件，其中事件包含3个基本事件6分所以8分一次抽取张卡片,共包含个基本事件，事件，所以9分事件，所以10分当同时发生，即张卡片上数字之和是的倍数同时积是的倍数，只有一种取法，所以12分因为，所以事件与事件是独立的．14分18.解：(1)根据正弦定理得2分所以4分所以6分（2）由三角形面积公式得，即8分又由余弦定理得10分解得从而.12分当即时有最大值即的最大值为.14分19.解：（1）证明：易知由易知直三棱柱知所以从而是在内的投影中，，为中点，则由三垂线定理知.4分等腰中，，从而所以6分由，且所以8分又因为所以三棱锥的体积为.10分(3)由（2）令点到面的距离为，则有中，，,从而.12分所以14分设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的大小为.16分另解（空间向量）相应给分以为坐标原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系.则（1）2分因为所以.4分（2）设平面的一个法向量则有令，则6分又所以点到面的距离8分中，，,从而所以即三棱锥的体积为.10分直线与平面所成角为，由（2）知平面的一个法向量，且则14分所以直线与平面所成角的大小为.16分解：（1）由题设知椭圆中，得由得2分所以椭圆的方程为4分设，由得化简得.6分表示的是以为圆心，为半径的圆，其面积为.8分（3）设，且设过点的直线与椭圆相切，联立化简得10分由得12分点在直线上，得代入上式化简得因为是椭圆的两条切线，所以是上面方程的两根由韦达定理得.13分由得所以14分又所以.16分解：（1）由导函数，得，2分故切线方程为，即.4分（2），导函数，=1\*GB3①当时，，令，得或，6分+—+极大值极小值所以的单调增区间为和，单调减区间为；8分极大值，极小值，又，，结合单调性故函数有三个零点时的取值范围为即；10分=2\*GB3②令得或，或，+—+极大值极小值所以，12分