2023-2024学年江苏省南京市秦淮区高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南京市秦淮区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设i为虚数单位，若复数z满足i3z=1+2A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知α为锐角，且cos(α+π6A.3+110 B.2−3.在△ABC中，已知a=2，b=A.30° B.45° C.45°或1354.已知|a|=5，|b|=4，若a在b上的投影向量为−A.60° B.120° C.135°5.设样本数据x1，x2，⋯，x10的均值和方差分别为1和2，若yi=2xi−1(iA.1 B.3 C.4 D.86.已知α，β是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，若m⊂α，α∩β=l，则“mA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1DA.45

B.910

C.35

8.如图，平行四边形ABCD中，AB=BD=DC=2，∠A=45A.10π B.15π C.20π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知m，n是不同的直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中，真命题有(

)A.若α/​/β，m⊥α，m/​/n，则n⊥β

B.若m/​/α，m//β，α∩10.2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功发射，中国航天再创辉煌.为普及航天知识，弘扬航天精神，某市举办了一次航天知识竞赛.为了解这次竞赛成绩情况，从中随机抽取了50名参赛市民的成绩作为样本进行统计，得到如下的频率分布直方图，则(

)

注：同一组中的数据用该组区间中点值代表．A.图中y的值为0.004

B.估计样本中竞赛成绩的众数为70

C.估计样本中竞赛的平均成绩不超过80分

D.估计样本中竞赛成绩的第75百分位数为76.7511.已知正三棱台A1B1C1−ABCA.正三棱台A1B1C1−ABC体积为2

B.侧棱CC1与底面ABC所成角的余弦值为6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a，b的夹角为5π6，|a|=3，13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边a，b，c满足a2−b2=bc，则AB14.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，P为D

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知：α,β∈(0,π2)，且cosα=516.(本小题15分)

如图，AB是圆O的直径，点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，且PC=AC=2BC=4，点D是PA的中点，点F为PC的中点．

17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c2=BA−⋅BC−23S，其中S为△A18.(本小题17分)

如图，四棱锥P−ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，且平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别为AB，AD的中点，二面角D−PN−19.(本小题17分)

柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn∈R，则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2答案和解析1.【答案】B

【解析】解：由i3z=1+2i，得−iz=1+2i，

∴−i2z2.【答案】D

【解析】解：α为锐角，且cos(α+π6)=35，

则sin(α+π6)=43.【答案】B

【解析】解：由a=2，b=3，得a<b，于是A<B，

由正弦定理得sinA=asinBb=4.【答案】B

【解析】解：设a与b的夹角为θ，θ∈[0,π]，

a在b上的投影向量为−58b，

则|a|cosθ×b|b|=5.【答案】D

【解析】解：由方差的性质可得，D(yi)=D(2x6.【答案】C

【解析】解：m⊂α，α∩β=l，则m⊄α，l⊂β，又m/​/l，则m//β，充分性成立；

m//β，7.【答案】B

【解析】解：如图：连接BC1，A1C1，因为ABCD−A1B1C1D1为正四棱柱，

所以AB/​/C1D1且AB=C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，

所以BC1/​8.【答案】C

【解析】解：如图所示，过点D作DE/​/AB，过点A作AE/​/BD，两直线相交于点E，

因为AB=BD=DC=2，∠A=45°，

所以∠ADB=45°，AB⊥BD，则DE⊥BD，

由于CD⊥BD，故∠CDE即为二面角C−BD−A的平面角，

则∠CDE=120°，

过点C作CF⊥DE于点F，

因为BD⊥DE，BD⊥CD，DE∩CD=D，DE，CD⊂平面CDF，

故BD⊥平面CDF，

因为CF⊂平面CDF，所以BD⊥CF，

又BD∩DE=D，BD，9.【答案】AB【解析】解：由α/​/β，m⊥α，得m⊥β，又m/​/n，∴n⊥β，故A正确；

由m/​/α，得存在过m的平面γ与α相交，令交线为a(不与n重合)，则m/​/a，

由m//β，得存在过m的平面δ与β相交，令交线为b(不与n重合)，则m/​/b，于是a/​/b，

而b⊄α，则b/​/α，而b⊂10.【答案】AC【解析】解：由频率分布直方图得：

图中y的值为y=1−0.16−0.32−0.40−0.0810=0.004，故A正确；

由频率分布直方图可知，最高矩形对应区间的中点为75，∴估计样本中竞赛成绩的众数为75，故B错误；

样本中竞赛成绩超过80分的频率只有0.12，

∴平均成绩不可能超过80分，故C正确；

设样本中竞赛成绩的第75百分位数为x，前2组频率之和为0.16+0.32=0.48<0.75，

前3组频率之和为0.48+0.40=0.88>0.75，故x位于第3组，

∴(x−7011.【答案】BC【解析】解：设△A1B1C1中心为O1，△ABC中心为O，连接O1A1，O1O，OA，

则O1A1//OA，O1O⊥OA1，O1A=23×32×2=233，OA=23×32×4=433，

在四边形O1A1AO中，过A1作A1D⊥AO于D，

则A1D=(2)2−(433−233)2=63，则OO1=63，

取A1A中点N，过点N作NM⊥AA1，交AO于H，交直线O1O于M，

则点M为三棱台A1B1C1−ABC的外接球的球心．

由△A1AD∽△HAN，可得HA=ANAD×AA1=22212.【答案】19【解析】【分析】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．

先由已知条件求出a⋅【解答】

解：由向量a，b的夹角为5π6，|a|=3，|b|=1，

则a13.【答案】2

(1【解析】解：因为a2−b2=bc，

所以由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA=b2+bc，

则c−2bcosA=b，

所以由正弦定理可得sinB=sinC−2sinBcosA

=sin(A+B)−2cosAsinB

=sinAcosB+cosAsinB−2cosAsinB

14.【答案】2【解析】解：如图，过点B作AC的平行线分别与DA，DC的延长线交于G，H，

连接PG，PH，并分别与AA1，CC1交于E，F，

∵AC/​/GH，且AC⊄平面PGH，GH⊂平面PGH，

∴AC/​/平面PGH，∴平面PGH即为平面α，

∵AB=AD=2，AA1=4，∴AE=1，

∵四边形PE15.【答案】解：(1)由α,β∈(0,π2)，则α−β∈(−π2,π2)，

又sin(α−β)=【解析】(1)结合题意可计算出cos(α−β)、sinα16.【答案】解：(1)取AC中点M，连结BM，FM，

因为F，M分别为PC，AC的中点，所以FM//PA，

所以∠BFM(或其补角)为异面直线BF和PA所成角，

因为PC=AC=2BC=4，C为以AB为直径的圆上的点，

所以在直角三角形BCM中，BC=MC=2，∠BCM=90°，得BM=22，

因为点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，所以PO⊥面ABC，

又BC，BA在平面ABC内，所以PC⊥【解析】(1)取AC中点M，连结BM，FM，可证FM//PA，进而可得∠BFM(或其补角)为异面直线BF和PA17.【答案】解：(1)因为c2=BA⋅BC−23S，可得c2=c⋅a⋅cosB−23×12acsinB，即c=acosB−3asinB，

结合正弦定理可得sinC=sinAcosB−3sinAsinB，

在△ABC中，sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A【解析】(1)由题意利用平面向量数量积的运算，三角形的面积公式以及三角函数恒等变换可求tanA=−33，结合A∈(0,π)18.【答案】(1)解：∵△PAD为正三角形，N为AD中点，

∴PN⊥AD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PN⊥平面ABCD，

又NC⊂平面ABCD，

∴PN⊥NC，

∴∠DNC为二面角D−PN−C的平面角，

∴tan∠DNC=2=DCDN，

又DN=1，∴DC=2，

∴底面ABCD为正方形．

又易得PN=3，

∴四棱P−ABCD的体积V=13×2×2×3=433．

(2)证明：由【解析】(1)说明∠DNC为二面角D−PN−C的平面角，然后求解几何体的体积．

(2)