2023-2024学年江苏省南通市海门中学高一（下）学情调研数学试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南通市海门中学高一（下）学情调研数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若实数a，b满足a+bi=iA.2 B.−2 C.2.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，则此样本的容量为(

)A.40 B.80 C.160 D.3203.已知直线l⊥平面α，直线n/​/平面β，则“α/​A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB

=(2,A.(−2,−4) B.(5.已知2sin2αA.−17 B.17 C.−6.设λ∈R，已知向量a与b的夹角为π4，|a|=2，|A.12 B.2 C.2 7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，O是BDA.14 B.13 C.128.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知c=1，b>c，siA.12 B.32 C.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z0，z满足(z0−2)A.z0=3−i B.z0z0−=810.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底(由三个相同的菱形组成)巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，则A.DE=AF−12AD

B.|AC+AE|=3

C.11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1A.直线AP与直线B1Q是异面直线

B.过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面面积为92

C.三棱锥A1−AB1P三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13.以Ox为始边作角α(α∈(0,π2))，角α的终边与单位圆交于点P(x1,y114.近年来，纳米品的多项技术和方法在水软化领域均有重要应用.纳米晶体结构众多，如图是一种纳米晶的结构示意图，其是由正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为n的几何体，则该结构的纳米晶个体的体积为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，E是B1C1的中点，D是BC上一点．

(1)若D是BC16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(2b−c)cosA=ac17.(本小题15分)

已知向量a=(cosπ12,sinπ12)，b=(sinα,cosα)．

(1)18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，平面PAD⊥平面PCD，△PAD是边长为2的正三角形，PC=23，E是PC中点，过点A，B，E19.(本小题17分)

“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．

(1)若cos(A−C)+cosB=t答案和解析1.【答案】A

【解析】解：因为a+bi=i(1−i)=1+i，

所以a=1，b=1，2.【答案】B

【解析】解：根据分层抽样的定义和方法可得22+3+5=16n，解得n=80，

故选3.【答案】A

【解析】解：∵直线l⊥平面α，直线n/​/平面β，

∴由α/​/β可得l⊥β，∴l⊥n，

若l⊥n，则l不一定垂直β，∴α与β不一定平行；

4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查向量运算的三角形法则，向量的坐标运算，属于基础题．

根据三角形法则，可以求出BC，再由减法关系即可求解．

【解答】

解：∵BC=AC−A5.【答案】B

【解析】解：2sin2α+sin2αcos2α=2sin2α+2sinαco6.【答案】C

【解析】解：因为向量a与b的夹角为π4，|a|=2，|b|=2，

所以a⋅b=|a||b|cosπ4=2×7.【答案】D

【解析】解：在棱AA1上存在一点M，且M为AA1的中点，使平面MBD⊥平面OC1D1，此时AMMA1=1．

证明如下：

连接A1C1、MO、C1M、AC，则O是AC中点，

设正方体棱长为1，则AC=A1C1=2，AO=CO=22，

∵O是BD的中点，

∴BO=DO，BC1=DC1，

∴C1O⊥BD，

由MO=1+14−12=32，

C1O=8.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，由正弦定理得，asinA=bsinB=csinC，

又因为asinA−bsinB=2csinB+csinC，

所以a2−b2=2bc+c2，由余弦定理得cos9.【答案】AC【解析】解：对于A，因为(z0−2)i=1+i，所以z0−2=1+ii=(1+i)(−i)i×(−i)=−i−i2−i2=1−i，所以z0=3−i，故A正确；

对于B，因为z010.【答案】AC【解析】解：连接AD、BE、CF，则它们交于同一点O，且O为正六边形的中心，

对于A，DE=OE−OD，

结合OE=AF，OD=12AD，可得DE=AF−12AD，故A项正确；

对于B，连接CE，则△AEC是等边三角形，边长AC=3AB=3，

设AD交CE于G，则AG是等边△AEC的中线，且AG⊥CE，OG=GD，

所以AC+AE=2AG，可得|AC+AE11.【答案】BC【解析】解：选项A，因为P，Q分别是C1D1，DD1的中点，

所以PQ//C1D//AB1，

所以P，Q，A，B1四点共面，

所以直线AP与直线B1Q不可能是异面直线，即选项A错误；

选项B，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面就是四边形PQAB1，

因为PQ//AB1，PB1=AQ，所以四边形PQAB1是等腰梯形，其中上底PQ=2，下底AB1=22，腰AQ=5，

所以等腰梯形PQAB1的高h=(5)2−(22−22)2=322，

其面积为(2+22)×3222=92，即选项B正确；

选项C，因为△AA1B1是直角三角形，

所以三棱锥A1−AB1P的外接球的球心一定在线段AB1的中垂线上，设球心为O，半径为R，

分别取AB1和A1B1的中点E，F，连接O12.【答案】−【解析】【分析】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，属于中档题．【解答】

解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，

∵在△ABC中，B=π4，BC边上的高AD=h13.【答案】(−【解析】解：根据三角函数的定义得y1=sinα，α∈(0,π2)，

由于角α的终边逆时针旋转2π3得到角β，

故β=α+2π3，

所以y2=sinβ14.【答案】23【解析】解：设正四面体ABCD的棱长为a，

如图O为△BCD的中心，则AO⊥平面BCD，

因为BO⊂平面BCD，

所以AO⊥BO，

因为正△BCD的边长为a，

所以BO=23×32a15.【答案】证明：(1)连接DE，

因为三棱柱ABC−A1B1C1是正三棱柱，

所以BC/​/B1C1，BC=B1C1，AA1/​/BB1，AA1=BB1，

因为E是B1C1的中点，D是BC中点，

所以EC1//BD，EC1=BD，B1E/​/BD，B1E=BD，

所以四边形EC1DB，B1EDB均为平行四边形，

所以BE//C1D，BB1/​/DE，BB1=DE，

所以AA1//DE，AA【解析】(1)连接DE，由题意可证得四边形EC1DB，B1EDB均为平行四边形，进而可证得平面AC1D16.【答案】解：(1)因为(2b−c)cosA=acosC，由正弦定理可得：(2sinB−sinC)cosA=sinAcosC，

即2sinBcosA=sin(A+C)，

在△ABC中，可得sin(A+C)=【解析】(1)由题意及正弦定理可得cosB的值，再由角B的范围，可得角B的大小；

(2)由题意可得a=317.【答案】解：(1)a=(cosπ12,sinπ12)，b=(sinα,cosα)，a//b，

则cosπ12cosα−sinπ12sinα=0，

所以tanα=1tanπ12=1tan(π3−π4)=1+tanπ3tanπ【解析】(1)结合向量平行的性质，即可求解；

(2)①结合向量模公式，以及正弦的两角和公式，即可求解；18.【答案】解：(1)证明；∵底面ABCD是菱形，∴AB/​/CD，

∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AB/​/平面PCD，

∵平面PCD∩平面ABEF=EF，AB⊂平面ABEF，

∴AB/​/EF；

(2)证明：由(1)知AB/​/EF，AB/​/CD，∴EF/​/CD，

∵E是PC中点，∴F是PD中点，

∵△PAD是正三角形，∴AF⊥PD，

∵平面PAD⊥平面PCD，

平面PAD∩平面PCD=PD，AF⊂平面PAD，

∴AF⊥平面PCD，

∵EF⊂平面PC【解析】(1)根据底面ABCD是菱形，得出AB/​/CD，利用线面平行性质定理得出AB/​/平面PCD，再利用线面平行的性质定理即可得证；

(219.【答案】解：(1)①因为cos(A−C)+cosB=tanAtanCtanAtanC−1，且A+B+C=π，

所以cos(A−C)−cos(A+C)=tanAt