2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛甘肃赛区预赛试题

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(甘肃赛区预赛)试题(考试时间:2024年6月23日9:00-11:30,满分150分)一、填空题(共10小题，每小题7分，满分70分.请直接将答案写在题中的横线上)1.定义集合A,B的运算:A⊗B=m∣m=y2-x,2.若复数z、z1、z2满足:z1z3.函数fx是定义在R上的偶函数,且hx=fx+e-ωc=x为奇函数4.已知△ABC的外接圆半径为2,且满足2sinAsinC=1,cos25.在小于15的正整数中，不重复地取出(3个数，则它们的和能被3整除的概率为.6.已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0≤φ<π的部分图象如图中实线所示,图中圆G(点G在x轴上)与fx的图象交于M,N两点,点M在y轴上,点N的横坐标为7.某词学计划练习n道数列题n∈N*,设该同学对第k题1≤k≤n,k∈N*的掌握程度与解题耗时分别为ak,bk,已知an,bn都是等差数列,前n8.已知点P、A、B、C是球O的球面上的四个点,PA、PB、PC两两垂直且长度均为18,M是线段AP上的点,且AM=2PM,记过点M与平面ABC9.点P是边长为2的正八边形ABCDEFGH边上的动点，则的最大值为

10.若函数fx在区间a,b上有定义,且对于任意不同的fx1-fx2≤kx1⊕x2>∞则称fx为a,b的“k类函数”.若二、解答题(共7小题,满分80分.要求写出解题过程)11.(11分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a(1)求cosAcosC(2)若角B的平分线BE与边AC相交于点E,且BE=3,求a+12.(11分)已知数列an满足a(1)求an的通项公式(2)设bn=1an+1an2,记bn的前n项和为Sn:若13.(11分)如图(1),在等腰直角三角形DFC中,FD=FC,A,B,E分别在线段DF,FC,CD上,且AB//CD,AE//FC.已知FA=1,AD=2图(1)图(2).(1)求证:平面BDE⊥平面ABD(2)求平面BDC与平面EDC的夹角的余弦值；(3)点Q在线段DF上,设直线BQ与直线DE所成角为a,求cosa的最大值14.(11分)①拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点(直观地说拐点是使切线穿越曲线的点，即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点).设f'x是函数y=fx的导函数,f''x是函数f'x的导函数,若方程f∘x=0有实数解x=x0,②设a,b为常数,若定义在R上的函数y=fx对于定义域内的一切实数x,都有fa+x+fa-x⇔2b((I)求证:任意的三次函数fx=a(2)已知函数fx=13x3-15.(11分)nn≥3个人围坐在圆形餐桌前吃饭每个人面前及桌子正中央均各摆放一道菜,每人每次只能(1)当n=4时,若每人都随机夹一道菜,其垂道菜最多被来一次,计算每个人夹的菜都不是餐桌正中间和自(2)现规定每人只能在自己面前或餐桌正中央的两道菜中随机夹取一道菜，每个人都各夹过一道菜后，记被夹过的菜数为Xk,求满足EXn>5的16.(12分)如图,已知椭圆x2a2+y2b2=la>b>0,C、D是椭圆上x轴同侧的两个点,分别过C、D作椭圆的两条切线交于点P,且分别与x轴交于点B、A,线段AC与BD交于点E,作EF⊥(1)求证:P、E、(2)求证:PM17.(13分)定义Z+上的函数:σn=d1+d2+d3+⋯+ds,其中d1,d2,d3,⋯,ds为n的所有正因数.若（1）判断σ(23)、σ(88)、σ(202