江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题

2023～2024年苏州西附初三下学期第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1．在实数中，最小的数是（）A．—1 B．0 C． D．2．在党的二十大报告中总结了新时代十年的非凡成就，包括我国建成世界上规模最大的社会保障体系，基本养老保险覆盖10.4亿人，其中10.4亿用科学记数法可表示为（）A． B． C． D．3．下列运算正确的是（）A． B．C． D．4．若点和点是反比例函数图象上的两点，则和的大小关系是（）A． B． C． D．无法确定5．如图是我市某景点6月份内1—10日每天的最高温度折线统计图，由图信息可知该景点这10天中，气温出现的频率是（）A．3 B．0.5 C．0.4 D．0.36．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（）A． B．C． D．7．如图，已知是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是（）A． B．C． D．8．如图，在边长为2的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）9．若式子在实数范围内有意义，则的最小值为______．10．已知，则______．11．一组数2、4、5、6、x的平均数是4，则这组数据的方差是______．12．一个长方体包装盒展开后如图所示（单位：），则其容积为______．13．如图，四边形为的内接四边形，平分为的直径，若，则的长为______．14．如图，正五边形的边长为4，以顶点为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是______．15．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点、交轴于点点与点关于轴对称，动点,分别在线段上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，点的坐标是______．16．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴正半轴上，是边上一点，过作交的延长线于，．若反比例函数的图象经过点，且的面积为3，则的值是______．三、解答题（本大题共10小题，共82分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算：．18．解不等式（组）19．先化简，再求值：，其中．20．如图，在中，平分，交于点，交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，求的长和的面积．21．已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根，且，求的值．22．学校成立“桥”见数学”项目小组，项目组想了解八年级学生想研究哪座桥，从全校八年级学生中随机抽取部分学生进行调查．计划研究4座桥：宝带桥；吴门桥；觅渡桥：苏州伦敦桥，现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解下列问题：（1）求本次共调查了______名学生，并补全全条形统计图；（2）若该校八年级学生共有1300名，根据以上抽样结果，估计八年级想研究吴门桥的学生约有多少名？（3）项目成果汇报时，从第一组甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两位学生来汇报宝带桥的研究成果请用列表或画树状图的方法，求抽到甲、乙两位学生的概率是多少？23．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到，参考数据：）24．如图，在等腰中，，以为直径的与交于点，垂足为的延长线与的延长线交于点．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为，求的长．25．如图．在中．是上的一点（不与点重合），过点作，交于点．连接，设的面积为的面积为．（1）当是的中点时，直接写出______．（2）若，求关于的函数关系式以及自变量的取值范围．26．问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由．（1）数学思考：请你解答老师提出的问题；（2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，让同学们提出新的问题并请你解答此问题；①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．证明：．②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．27．我们约定：若关于的二次函数与同时满足，则称函数与互为“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题：（1）求二次函数的“回旋”函数的解析式；（2）若关于的二次函数的顶点在它的“回旋”函数图象上，且当时，，求的值；（3）关于的函数的图象顶点为，与轴的交点为，当它的“回旋”函数的顶点为，与轴的交点为，从左往右依次是，若，是否存在使得为矩形？2023～2024年苏州西附初三下学期第一次月考数学试卷参考答案与解析一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1．在实数中，最小的数是（）A．—1 B．0 C． D．【解答】解：由题意知，最小的数为—1，故选：A．2．在党的二十大报告中总结了新时代十年的非凡成就，包括我国建成世界上规模最大的社会保障体系，基本养老保险覆盖10.4亿人，其中10.4亿用科学记数法可表示为（）A． B． C． D．【解答】解：亿，故选：D．3．下列运算正确的是（）A． B．C． D．【解答】解：，故A选项错误；，故B选项错误；，故Ｃ选项错误；故选：Ｄ．4．若点和点是反比例函数图象上的两点，则和的大小关系是（）A． B． C． D．无法确定【解答】解：点和点是反比例函数图象上的两点又反比例函数在时，随着的增大而增大，且，，故选：A．5．如图是我市某景点6月份内110日每天的最高温度折线统计图，由图信息可知该景点这10天中，气温出现的频率是（）A．3 B．0.5 C．0.4 D．0.3【解答】解：由折线统计图知，气温出现的天数为3天，气温出现的频率是，故选：D．6．《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重１６两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（）A． B．C． D．【解答】解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为：故选：B．7．如图，已知是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：作，如图：设的半径为，是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆，是等腰直角三角形，，，这个点取在阴影部分的概率是，故选：A．8．如图，在边长为2的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为（）A． B． C． D．【解答】解：作点关于的对称点，由折叠的性质知是的平分线，点在上，过点作于，交于点，，的最小值为的长，连接，由折叠的性质知为线段的垂直平分线，，，，，，，，，为线段的垂直平分线，，，，四边形为平行四边形，，四边形为菱形，，，，即，，，即，，，的最小值为；方法二：同理方法一得出的最小值为的长，，，，即，，的最小值为；故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）9．若式子在实数范围内有意义，则的最小值为．【解答】解：由题意可得，解得：，则的最小值为，故答案为：．10．已知，则．【解答】解：，原式．故答案为：—8．11．一组数据的平均数是4，则这组数据的方差是2．【解答】解：数据的平均数是4，则组数据的方差．故答案为：2．12．一个长方体包装盒展开后如图所示（单位：），则其容积为．【解答】解：由题意可得，该长方体的高为：，宽为：，长为：，故其容积为：，故答案为：6600．13．如图，四边形为的内接四边形，平分为的直径，若，则的长为．【解答】解：为的直径，，平分，，，，是等腰直角三角形，，，，．故答案为：．14．如图，正五边形的边长为4，以顶点为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是．【解答】解：正五边形的每一个内角的度数为：，即阴影扇形的圆心角为，的长为，设围成圆锥体的底面半径为，由题意得，解得，故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点、交轴于点点与点关于轴对称，动点、分别在线段上（点不与点重合），满足．当为等腰三角形时，点的坐标是或．【解答】解：，当时，，当时，，即点的坐标是，点的坐标是，点与点关于轴对称，的坐标是，分为三种情况：①当时，和关于轴对称，，，，和关于轴对称，，在和中，，，，，，，点的坐标是；②当时，则，，，而根据三角形的外角性质得：，此种情况不存在；③当时，则，即，设此时的坐标是，在中，由勾股定理得：，，解得：，即此时的坐标是．当为等腰三角形时，点的坐标是或．故答案为：或．16．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴正半轴上，是边上一点，过作交的延长线于．若反比例函数的图象经过点，且的面积为3，则的值是．【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，，，，，它们的面积比为，的面积为3，的面积为12，反比例函数的图象经过点，设，则，轴，轴，，，，，，，，，，，，故答案为．三、解答题（本大题共10小题，共82分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算：【解答】解：原式18．解不等式（组）【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为．19．先化简，再求值：，其中．【解答】解：，当时，原式．20．如图，在中，平分，交于点，交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，求的长和的面积．【解答】（1）证明：在中，，，平分，，，，（2）解：，；过作交的延长线于，，，，，，的面积．21．已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根，且，求的值．【解答】（1）证明：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：根据根与系数的关系得，解得，即的值为1．22．学校成立“桥”见数学”项目小组，项目组想了解八年级学生想研究哪座桥，从全校八年级学生中随机抽取部分学生进行调查．计划研究4座桥：宝带桥；吴门桥；觅渡桥：苏州伦敦桥，现将调查结果绘制成如图不完整的统计图，请根据统计图中的信息解下列问题：（1）求本次共调查了______名学生，并补全条形统计图；（2）若该校八年级学生共有1300名，根据以上抽样结果，估计八年级想研究吴门桥的学生约有多少名？（3）项目成果汇报时，从第一组甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两位学生来汇报宝带桥的研究成果请用列表或画树状图的方法，求抽到甲、乙两位学生的概率是多少？【解答】解：（1）本次共调查的学生有：（名），即本次共调查了50名学生，觅渡桥的学生有：（名），故答案为：50，补全条形统计图如下：（2）八年级想研究吴门桥的学生约有：（名），即估计该校九年级对新冠肺炎防控知识非常了解的约有390名学生，故答案为：390；（3）画树状图如图：共有12个等可能的结果，所选甲、乙的结果有2个，所选甲、乙的结果的概率为．23．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到，参考数据：）【解答】解：延长交于点，延长交于点，由题意得：，在中，，，是的一个外角，，，，，在中，，，楼与之间的距离的长约为．24．如图，在等腰中，，以为直径的与交于点，垂足为的延长线与的延长线交于点．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为，求的长．【解答】（1）证明：连接，，，，，，，，，即，是的半径，是的切线；（2）解：连接，是直径，，，，，．25．如图．在中．是上的一点（不与点重合），过点作，交于点．连接，设的面积为的面积为．（1）当是的中点时，直接写出．（2）若，求关于的函数关系式以及自变量的取值范围．【解答】解：，，是的中点，是的中位线，与等底同高，，设的面积为的面积为，．故答案为：．（2）， ①，与边同高， ②，①②得，设的面积为的面积为，，，自变量的取值范围是．26．问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由．（1）数学思考：请你解答老师提出的问题；（2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时