北师大版小升初衔接教学案（无答案）

图形的初步认识

一、相关知识链接：

1.认识立体图形和平面图形

我们常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥，止匕外，棱柱，棱锥也是常见

的几何体。我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆

2.立体图形和平面图形关系

立体图形问题常常转化为平面图形来研究，.常常会采用下面的作法

（1）画出立体图形的三视图

立体,图形的的三视图是指正视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）

得到的三个平面图形。

（2）立体图形的平面展开图

常见立体图形的平面展开图

圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体（共十一种）

二、典型问题：

（一）正方体的侧面展开图（共十一种）

分类记忆：

第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。

第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。

第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。

第四类，两排各三个，只有一种。

基本要求：

1.在右面的图形中是正方体的展开图的有（

(A)3种(B)4种(C)5种

2.下图.中，是正方体的展开图是（)

3.如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

较高要求：

4.下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的

一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是（）

A.7B.8C.9D.10

C

4

5.一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对

两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c=(.)

A.40.B.38C.36D.34

分析：由题意8+a=b+4=c+25

所以b=4+ac=a-17

所以a+b-2c=.a+(4+a)-2(a-l7)=4+34=38

6.将如图所示的正方体沿某些•棱展开后，能得到的图形是（）

7.下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（）

还原正方体，正确识别正方体的相对面。

（二）常见立体图形的平面展开图

9.下面是四个立体图形的展开图，则相应的立体图形依次是（）

rrm

A.正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱

C.正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥

10.下列几何体中是棱锥的是（）

A.B.,C.D.

11.如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题:

（1）如果A面在长方体的底部，那么哪一个面会在上面？

（2）若F面在前面，B面在左面，则哪一个面会在上面？（字母朝外）（3）若C面

在右面，D面在后面，则哪一个面会在上面？（字母朝外）

k

BCD

（三）立体图形的三视图I.I-

12.如图，从正面看可看到△的是（）

口口"

ABcD

13.对右面物体的视图描绘错误的是（）z_/

__///

n口_Hi।n

Z_/V

/

（A）|_J⑻（0（D）__Z

14.如图的几何体，左视图是（）

ABCD

15.如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个

几何体的小正方体的个数是（）

A.3B.4

C.5D.6

（四）新颖题型

16.正方.体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置

的长方体，那么长方体的下底面数字和为.

17.观察下列由棱长为1的小正方体摆成的图形，寻找规律，如图⑴

所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图⑵所示:

共有8个小立方体，其中7个看得见，1.个看不见；如图⑶所示：共有27个小立方体，其

中19个看得见，8个看不见……（1）写出第⑹个图中看不见的小立方体有个，

（2）猜想并写出第（刃个图形中看不见的小立方体的个数为个.

和绝对值有关的问题典型例题

知识结构框图:

二、绝对值的意义：

（1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作同。

⑵代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；

③零的绝对值是零。

a（当a为正数）

也可以写成：|。|=<0（当。为0）

（当a为负数）

说明：（I）同对即|a|是一个非负数；

（II）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

三、典型例题

例1.（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：——■--------'~1--------

ba0c

则代数式Ia|+|a+b|+|c-a|-1b-c|的值等于（）

A.-3aB.2c—aC.2a—2bD.b

例2.已知：x<0<z，xy>0,H.|y|>|z|>|x|»那么|x+z|+|y+z]—上一y|

的值（）

A.是正数B.是负数C.是零D.不能确定符号

例3.（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数

的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8,求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原

点同侧呢？

例4.（整体的思想）方程B―200^=2008—x的解的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.无穷多个

例5.（非负性）已知砒一2|与以一1|互为相互数，试求下式的值.

1111

------1--------------------------1---------------------------1-H--------------------------------------

ab（tz+l）（Z?+l）（a+2）（6+2）.+2007）0+2007）

例6.（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2,3与5,-2与-6,

一4与3.

并.回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答:

（2）若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为一1,则A与B两点间的距离

可以表示为.

（3）结合数轴求得k-2|+|九+3]的最小值为，取得最小值时x的取值范围为

（4）满足k+1|+,+4]>3的x的取值.范围为

聚焦绝对值

一、阅读与思考

绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要

学习的算术根可以有进一步的理解;绝对值又是初中代数中一个基本概念,在求代数式的值、

代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值

概念应注意以下几个方面：

1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。

脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。

去绝对值符号法则：

a(a>0)

|t?|=<0(a=0)

-a(a<0)

2、恰当地运用绝对值的几何意义

从数轴上看时表示数。的点到原点的距离；,-4表示数。、数6的两点间的距离。

3、灵活运用绝对.值的基本性质

①时20②,2,③同=时.同④口=,0/0)⑤

卜+4«时+忖@|a-Z?|>|a|-|Z?|

二、知识点反馈

1,去绝对值符号法则

例1：已知时=5,网=3且—母=/?一a那么a+Z?=。

拓广训练：

1->已知H=1,网=2,卜=3,且a>b>c,那么(a+Z?-c)2=。

2、若时=8超=5,且a+/?〉()，那么a的值是()

A.3或13B.13或-13C.3或-3D.-3或-13

.2、恰当地运用绝对值的几何意义

例2：,+1|+|九—1|的最小值是()

A.2B.0C.1D.-1

拓广训练:

1、已知1一3|+|x+N的最小值是a,—3|—k+2］的最大值为方,求a+b的值。

三、培优训练

1、如图，有理数在数轴上的位置如图所示：.2a-10b1

则在a+人力—2区同—MJa—用a+2|，T4中，负数共有（）

A.3个B.1个C.4个D.2个

2、若加是有理数，则帆-加一定是（）

A.零B.非负数C.正数D.负数

3、如果卜―2|+x—2=0,那么x的取值范围是（）

A.x>2B.x<2C.x>2D.x<2

4、是有理数，如果=〃+那么对于结论（1）。一定不是负数；（2）6可能

是负数，其中（）

A.只有（1）正确B.只有（2）正确C.（1）（2）都正确D.（1）（2）都不正确

5、已知|a|=—a,则化简——2|所得的结果为（）

A.-1B.1C.2a—3D.3—2。

6、已知0WaW4,那么|a—2|+|3—a|的最大值等于（）

A.1B.5C.8D.9

cihccihc

7、已知c都不等于零，且x=]—r+777+厂[+1—;―r，根据a,b,c的不同取值，x有（）

\a\\b\\c\\abc\

A.唯一确定的值B.3种不同的值C.4种不同的值D.8种不同的值

8、满足卜―4=时+w成立的条件是（）

A.ab>0B.ab>lC.ab<0D.ab<l

|x-5|lx-2|Ixl

9、若2Vx<5,则代数式J——J——L+”的值为。

x-52-xx

\a\\b\\ab\

10、若ab>0,则U+U——的值等于__________。

abab

一，，abcctbc

11、已知a,Z?,c是非零有理数，且a+Z?+c=0,aZ?c>0,求~~f+厂[+[+■）---i'的值。

\a\\b\\c\\abc\

12、已知a,Z?,c,d是有理数，|a-Z?|<9,|c-t7|<16,且|。一6-<:+@=25,求

|z?_口的值。

13、阅读下列材料并解决有关问题:

x(x>0)

我们知道忖=0(%=0),现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如

-x(x<0)

化简代数式|x+l|+|x—2］时，可令％+1=0和X—2=0,分别求得x=—l,x=2(称—1,2

分别为忖+［与归—2|的零点值)。在有理数范围内，零点值x=-1和x=2可将全体有理

数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：

(1)当x<—1时，原式二—(%+1)—(九一2)=—2x+1；

(2)当一lVx<2时，原式=.%+1—(%—2)=3；

(3)当了之2时，原式=x+l+x—2=2x—1o

—2x+1(x<-1)

综上讨论，原式=3(-1<%<2)

2x-l(x>2)

通过以上阅读，请你解决以下问题：

(1)分别求出k+N和卜―4|的零点值；(2)化简.代数式k+2|+|x—4］

14、(1)当x取何值时，归―3|有最小值？这个最小值是多少？(2)当x取何值时，5—|x+2|

有最大值？这个最大值是多少？(3)求卜―4|+卜—5|的最小值。(4)求

卜_7|+卜_8|+「一9|的最小值。

15、某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图，现在要在AB段上

修建一个加油.站M,为了使加油站选址合理，要求A,B,C,D四个汽车站到加油站M的

路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好？

ADCB

16、先阅读下面的材料，然后解答问题：

在一条直线上有依次排列的n（n>1）台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P,使这几台

机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：

AiA?A[A2（p）0A、

甲P乙甲乙丙

①②

如图①，如果直线上有2台机床（甲、乙）时,很明显P设在A和A2之间的任何地方都行,

因为甲和乙分别到P的距离之和等于A到4的.距离.

如图②，如果直线上有3台机床（甲、乙、丙）时，不难判断，P设在中间一台机床4处最合

适，因为如果P放在4处，甲和丙分别到P的距离之和恰好为A到A3的距离；而如果P

放在别处，例如D处，那么甲和丙分别到P的距离之和仍是A到A3的距离，可是乙还得

走从人2到D近段距离，这是多出来的，因此P放在4处是最佳选择。不难知道，如果直

线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台

位置。

问题(1)：有“机床时，P应设在何处？

问题(2)根据问题⑴的结论，求——斗+卜―3|+…+上—617|的最小值。

数形结合谈数轴

一、阅读与思考

数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。我们常用代数的方法来处

理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间

的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。

运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力

工具，主要体现在以下几个方面：

1、利用数轴能形象地表示有理数；

2、利用数轴能直观地解释相反数；

3、利用数轴比较有理数的大小；

4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。

二、知识点反馈

1、利用数轴能形象地表示有理数；

例1:已知有理数B在数轴上原点的右方，有理数匕在原点的左方，那么（）

A.ab<bB.ab>bC.a+b>0D.a-b>0

拓广训练：

1、如图为数轴上的两点表示的有理数，在a+b力—2a,|a—耳忖―时中，负数的个数

有（）

（“祖冲之杯”邀请赛试题）-----------------------------------»

aOb

A.1B.2C.3D.4

3、把满足2<|4W5中的整数。表示在数轴上，并用不等号连接。

2、利用数轴能直观地解释相反数；

例2：如果数轴上点A到原点的距离为3,点B到原点的距离为5,那么A、B两点的距离

为o

拓广训练：

1、在数轴上表示数。的点到原点的距离为3,则q-3=.

2、已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3,那么所有

满足条件的点B与原点O的距离之和等于:o

3、利用数轴比较有理数的大小；

例3：已知a>0,b<0且a+Z?<0,那么有理数的大小关系

是o（用号连接）

拓广训练:

1、若相＜0,〃＞0且＞14”比较一私一九,7〃+",7〃一九,〃一7”的大小，并用“〉”号连接。

例4：已知a＜5比较时与4的大小

拓广训练:

1,已知。＞一3,试讨论时与3的大小2、已知两数a,6,如果。比6大，试判断时与

\b\的大小

4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。

例5：有理数a,dc在数轴上的位置如图所示，式子时+曰+w+4+也-4化简结果为

•••,•,A

()-laO1bc

A.2a+3b—cB.3b—cC.b+cD.c—b

拓广训练：

1、有理数a/,c在数轴上的位置如图所示，贝U化.简卜+4―忸―—4—|1—c|的结果

.................................................A

为。baOcl

2、已知|a+4+|a-4=%,在数轴上给出关于的四种情况如图所示，则成立的

aQbb0aQabOba

3、已知有理数a,仇c在数轴上的对应的位置如下图：则|c—+—4+,―4化简后的结

果是（）

（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）

Oab

A.b—1B.2cl—b—1C.1+2Q—b—2cD.1—2c+b

三、培优训练

1、已知是有理数，且—+（2y+iy=0,那以x+y的值是（）

131-3-3

A.—B.—C.一或---D.-1或一

22222

2、如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点3,再向右移动5个单位长度到达

点C.若点C表示的数为1,则点A表示的数为（）

A.7B.3C.-3D,-2

3、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别

是整.数a,dc,d且d—2a=10,那么数轴的原点应是（）

BC

A.A点B.B点C.C点D.D点

4、数a,b,c,d所对应的点A,B,C.,D在数轴上的位置如图所示，那么a+c与Z?+d的

大小关系是（）

AD0CB

A.a+c<b+dB.a+c=b+dC.a+c>b+dD.不确定的

5、不相等的有.理数a,dc在数轴上对应点分别为A,B,C,若卜―母+也―d=|a—小那

么点B（）

A.在A、C点右边B.在A、C点左边C.在A、C点之间D.以上,均有可能

6、设y=|x—则下面四个结论中正确的是（）

A.y没有最小值B.只一个x使y取最小值

C.有限个x（不止一.个）使y取最小值D.有无穷多个x使y取最小值

7、在数轴上，点A,B分别表示和2，则线段AB的.中点所表示的数是。

35

8、若a>0,Z?<0,则使卜一。|+卜一4成立的x的取值范围是。

i1n0n005

9、X是有理数，则X-U匕+X+"的最小值是.

221221

10、已知a,"c,d为有理数，在数轴上的位置如图所示.：

且6|a|=明=3d==6,求|3a-2d\-pb-2a|+|2/?-c|的值。

bO

n、(i)阅读下面材料：

点A、B在数轴上分别表示实数。力,A、B两点这间的距离表示为目，当A、B两点中

有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1,=|c叫=网=卜一4；当A、B两点都

不在原点时，-----2J2--------：

ob

①如图2,点A、B都在原点的右边|AB|二一|。4|二恸一时二/?-〃=,一4；

OAB

oab

②如图3,点A、B都在原点的左边|A目=|0@—|。/=网—时=—〃—(―a)=|a—4；

BAO

bao

③如图4,点A、B在原点的两边|A目=|。囱+|0q=向+|4=。+(—口=,—4。

BOA

・・・A

综上，数轴上A、B两点之间的距离目=|a—母,。boa

(2)回答下列问题：

①数轴上表示2和5两点之间的距离是,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离

是,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；

②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是,如果同目=2,那么x

为;

③当代数式|x+l|+|x-2|取最小值时，相应的x的取值范围是；

④求卜_1|+卜_2|+卜_3|+.-+卜—1997的最小值。

与一元一次方程有关的问题典型例题

一、知识回顾

一元一次方程是我们认识的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不

容易解决的问题。一元一次方程是初中代数的重要内容，它既是对前面所学知识一有理数

部分的巩固和深化，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。

典型例题：

二、典型例题

例L若关于x的一元一次方程乜上+土」=1的解是x=-l,则k