人教B版高中数学选择性必修第一册单元2圆及其方程、曲线与方程课件

第二章平面解析几何单元2圆及其方程、曲线与方程期中期末·全优手册A卷·必备知识全优B卷·关键能力全优题型1圆的方程重点题型全练例1在平面直角坐标系xOy中,过点A(1,3),B(4,6),且圆心在直线x-2y-1=0上的圆

的标准方程为

.解析易知线段AB的中点为M

,直线AB的斜率kAB=1,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-

=-

,即x+y=7.联立

解得

所以圆心坐标为(5,2),所以半径r=

=

,所以圆的标准方程为(x-5)2+(y-2)2=17.答案

(x-5)2+(y-2)2=17变式1-1求经过点P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准

方程.解析解法一(待定系数法):设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则

解得

故所求圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.解法二(几何法):由题意知OP是圆的弦,弦OP的中点坐标为

,kOP=1,故弦OP的垂直平分线的方程为x+y-1=0.由

得

即圆心坐标为(4,-3),半径为r=

=5.故所求圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.例2

(1)已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长为6,则圆C的方

程为

;(2)已知圆心在直线y=-4x上,且圆与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),则该圆的方

程是

;(3)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,

)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为

,则圆C的方程为

.解析

(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),将P,Q两点的坐标分别代入并整理,得

对于圆C的方程,令y=0,得x2+Dx+F=0③.设x1,x2是方程③的两根,则x1+x2=-D,x1x2=F,易知|x1-x2|=6,所以(x1+x2)2-4x1x2=36,即D2-4F=36④,由①②④解得D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0.故圆C的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.(2)易知过切点P(3,-2)且与直线l:x+y-1=0垂直的直线的方程为x-y-5=0,联立

解得

所以圆心坐标为(1,-4),所以半径r=

=2

,故所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.(3)设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),由题意可得

解得

所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.答案

(1)x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0(2)(x-1)2+(y+4)2=8(3)(x-2)2+y2=9题型技巧求圆的方程的方法:(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐

标和半径,进而写出方程.(2)待定系数法:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,

则设出圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;

②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则设出圆的一般方程,依据已知条件列

出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.题型2与圆有关的最值问题例3已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则(1)

的最大值和最小值分别为

和

;(2)y-x的最大值和最小值分别为

和

;(3)x2+y2的最大值和最小值分别为

和

.解析原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以点(2,0)为圆心,

为半径的圆.(1)

的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设

=k,则y=kx.当直线y=kx与圆相切时(如图),斜率k取得最大值或最小值,此时

=

,解得k=±

,所以

的最大值为

,最小值为-

.

(2)设y-x=b,则y=x+b,则b的几何意义是直线y=x+b在y轴上的截距.如图所示,当直

线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时

=

,解得b=-2±

,所以y-x的最大值为-2+

,最小值为-2-

.

(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方.易知圆心到原点的距离为2,根据几

何意义知x2+y2的最大值是(2+

)2=7+4

,x2+y2的最小值是(2-

)2=7-4

.答案

(1)

;-

(2)-2+

;-2-

(3)7+4

;7-4

题型技巧

(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法:一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:①形如μ=

(x≠a)形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;②形如t=ax+by形式的最值问题,可转

化为动直线截距的最值问题;③形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点

与定点的距离的平方的最值问题.(3)求圆的面积的最值问题,一般转化为与圆的半径相关的函数关系或者几何图

形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法、基本不等式法等求解,有时可以

通过转化思想,数形结合思想求解.变式3-1已知点O(0,0),A(0,2),点M是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,求△OAM面积

的最小值.解析根据题意得圆(x-3)2+(y+1)2=4的圆心坐标为(3,-1),半径r=2,由O(0,0),A(0,2),知OA所在的直线是y轴,当M到直线AO的距离最小时,△OAM的面积最小,易知M到直线AO的距离的最小值为3-2=1,则△OAM的面积的最小值为

×|OA|×1=1.题型3与圆有关的轨迹问题例4已知△ABC中,AB=AC=

,△ABC所在平面内存在点P使得PB2+PC2=3PA2=3,则△ABC面积的最大值为

.解析以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,不

妨设点A在y轴正半轴上,B(-a,0),C(a,0)(0<a<

),P(x,y),则A(0,

),由PB2+PC2=3得(x+a)2+y2+(x-a)2+y2=3,即x2+y2=

-a2,易得0<a2<

,由3PA2=3得x2+(y-

)2=1,∴点P(x,y)为圆x2+y2=

-a2和圆x2+(y-

)2=1的交点,∴

≤

≤1+

,解得0<a2≤

,∴△ABC的面积S=

×2a×

=

=

.又∵0<a2≤

<

,∴当a2=

时,S有最大值,为

.答案

例5已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).(1)求直角顶点C的轨迹方程;(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程.解析

(1)设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.由题意可知直线AC,BC的斜率存在,因为AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1,又kAC=

,kBC=

,所以

·

=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.所以直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).(2)设M(x',y'),因为M是线段BC的中点,所以x'=

,y'=

,所以x=2x'-3,y=2y'.由(1)知点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0),即(x-1)2+y2=4(y≠0),将x=2x'-3,y=2y'代入得(2x'-4)2+(2y')2=4(y'≠0),化简得(x'-2)2+y'2=1(y'≠0).所以动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).题型技巧求与圆有关的轨迹问题的方法:(1)直接法:直接根据题目提供的条

件列出方程.(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.(3)几何法:利用圆的几何性

质列方程.(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式即

可.题型4直线与圆的位置关系例6

(1)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是

(

)A.相交

B.相切C.相离

D.不确定(2)已知点P(a,b)(ab≠0)是圆x2+y2=r2内的一点,直线m是以P为中点的弦所在的直

线,直线l的方程为ax+by=r2,则下列说法正确的是

(

)A.m∥l,且l与圆相交

B.m⊥l,且l与圆相切C.m∥l,且l与圆相离

D.m⊥l,且l与圆相离(3)设某公园外围呈圆形,其所在曲线的方程可用x2+y2-2x=0表示,以公园外两点A

(-2,0),B(0,2)与公园外围上任意一点为顶点,修建一处三角形舞台,则舞台面积的

最小值为

(

)A.3-

B.3+

C.3-

D.

解析

(1)由题意知圆心坐标为(0,1),半径为

,则圆心到直线l的距离d=

<1<

,故直线l与圆相交.故选A.(2)因为点P(a,b)(ab≠0)在圆内,所以a2+b2<r2,因为直线m是以P为中点的弦所在

的直线,所以m⊥OP(O为圆x2+y2=r2的圆心),因为ab≠0,所以直线OP的斜率存在,

所以直线m的斜率km=-

,因此m∥l.圆心(0,0)到直线l的距离d=

>

=r,所以直线l与圆相离.故选C.(3)易知lAB:x-y+2=0,圆x2+y2-2x=0即(x-1)2+y2=1,圆心坐标为(1,0),半径为1,圆心(1,0)到lAB的距离d=

=

>1,则公园外围上任意一点到AB的距离的最小值为

-1,|AB|=2

,易知舞台的面积最小值为

×2

×

=3-

.故选A.答案

(1)A

(2)C

(3)A例7已知圆C的方程为x2+(y-4)2=4,点O是坐标原点,直线l:y=kx与圆C交于M,N

两点.(1)求k的取值范围;(2)直线l能否将圆C分割成弧长之比为1∶3的两段弧?若能,求出直线l的方程;若

不能,请说明理由.解析

(1)解法一:将y=kx代入圆C的方程x2+(y-4)2=4,得(1+k2)x2-8kx+12=0.∵直线l与圆C交于M,N两点,∴Δ=(-8k)2-4×12(1+k2)>0,得k2>3,(*)∴k的取值范围是(-∞,-

)∪(

,+∞).解法二:易知圆心到直线l的距离d=

<2,解得k>

或k<-

.∴k的取值范围是(-∞,-

)∪(

,+∞).(2)假设直线l将圆C分割成弧长之比为1∶3的两段弧,则劣弧MN所对的圆心角

∠MCN=90°,由圆C:x2+(y-4)2=4知圆心C(0,4),半径r=2.在Rt△MCN中,弦心距为r·sin45°=

,故圆心C(0,4)到直线kx-y=0的距离为

=

,∴k=±

,经验证,k=±

满足题意,故直线l的方程为y=±

x.题型技巧判断直线与圆的位置关系的常用方法(1)几何法:利用弦心距d与半径r的关系.(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系:若直线恒过定点且定点在圆内,则可判定直线与圆相交.题型5圆的弦长问题例8

(1)在平面直角坐标系xOy中,直线

x-y+1-

=0被圆x2+y2-6x-2y+1=0截得的弦长为

;(2)当直线l:ax-y+2-a=0被圆C:(x-3)2+(y-1)2=9截得的弦长最短时,实数a的值为

;(3)若直线l:ax-y+2-a=0与圆C:(x-3)2+(y-1)2=9相交于A,B两点,且∠ACB=90°,则实

数a的值为

;(4)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2截y轴所得线段与截直线y=2x+b所得线段的长度相

等,则b=

.解析

(1)圆x2+y2-6x-2y+1=0的圆心坐标为(3,1),半径r=3,圆心到直线

x-y+1-

=0的距离d=

=

,所以所求弦长为2·

=2

.(2)由题意得圆心C(3,1),由直线l:ax-y+2-a=0得直线l恒过点M(1,2).易知点M(1,2)

在圆C的内部,当直线MC与l垂直时,弦长最短,所以kMC·kl=-1,即

×a=-1,解得a=2.(3)由题意得圆心C(3,1),半径r=3,因为∠ACB=90°,所以圆心C到直线l:ax-y+2-a=0

的距离为

r,即

=

,解得a=1或a=7.(4)易知圆心C(1,2)到y轴的距离为1,则圆心C(1,2)到直线2x-y+b=0的距离也等于

1,所以

=1,解得b=±

.答案

(1)2

(2)2

(3)1或7

(4)±

例9已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对任意m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点;(2)若直线l与圆C交于A、B两点,当|AB|=

时,求m的值.解析

(1)证法一:由

消去y整理,得(m2+1)x2-2m2x+m2-5=0.Δ=(-2m2)2-4(m2+1)(m2-5)=16m2+20>0对一切m∈R成立,∴直线l与圆C总有两个不

同的交点.证法二:由已知得l:y-1=m(x-1),故直线l恒过定点P(1,1).∵12+(1-1)2<5,∴P(1,1)在圆C内.∴直线l与圆C总有两个不同的交点.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=

,x1x2=

,|AB|=

=

=

=

.∴m=±

.题型技巧直线与圆相交的弦长的两种求法(1)代数法:将直线和圆的方程联立,消元后得到一个一元二次方程.在根的判别

式Δ>0的前提下,利用根与系数的关系及弦长公式求弦长.(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径为r,则弦长l=2

.变式9-1已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点,且与直线x+y-2=0垂

直.(1)求直线l的方程;(2)若圆C的圆心为点(3,0),直线l被该圆所截得的弦长为2

,求圆C的标准方程.解析

(1)由

解得

∴直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点的坐标为(2,1).易知直线l的斜率存在,设其为kl,∵直线l与x+y-2=0垂直,∴kl=1,又∵直线l过点(2,1),∴直线l的方程为y-1=x-2,即x-y-1=0.(2)依题意,得圆心(3,0)到直线x-y-1=0的距离为

=

,设圆的半径为r,则由垂径定理得r2=

+(

)2=4,∴圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4.题型6圆的切线问题例10已知点P(

+1,2-

),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点P的圆C的切线方程;(2)求过点M的圆C的切线方程.解析

(1)由题意得圆心C(1,2),半径r=2.因为(

+1-1)2+(2-

-2)2=4,所以点P在圆C上.直线PC的斜率kPC=

=-1,所以切线的斜率k=-

=1.所以过点P的圆C的切线方程是y-(2-

)=1×[x-(

+1)],即x-y+1-2

=0.(2)因为(3-1)2+(1-2)2=5>4,所以点M在圆C的外部.当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3.点C(1,2)到直线x=3的距离为3-1=2=r,满足题意,所以直线x=3是圆C的切线.当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,则圆心C到切线的

距离d=

=r=2,解得k=

.所以切线方程为y-1=

(x-3),即3x-4y-5=0.综上可得,过点M的圆C的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.题型技巧求过某一点的圆的切线方程的方法(1)点(x0,y0)在圆上.①若过切点和圆心的直线的斜率存在且不为0,则先求切点和圆心所在直线的

斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为-

,进而得到切线方程y=y0-

(x-x0).②若过切点和圆心的直线的斜率为零或不存在,则由图形可直接得切线方程为x=x0或y=y0.(2)点(x0,y0)在圆外.①设切线方程为y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于半径建立方程,可求得k,

进而得到切线方程.②当用此法只求出一个方程时,另一个方程应为x=x0,原因是在上面解法中不包

括切线的斜率不存在的情况.题型7圆与圆的位置关系例11已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.(1)m取何值时两圆外切?(2)m取何值时两圆内切?(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解析两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,则m<61,圆心

分别为M(1,3),N(5,6),半径分别为

和

.(1)当两圆外切时,

=

+

,解得m=25+10

.(2)当两圆内切时,圆M的半径

小于两圆的圆心距5,所以

-

=5,解得m=25-10

.(3)当m=45时,两圆的公共弦所在直线的方程为(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+4

5)=0,即4x+3y-23=0.所以公共弦长为2

=2

.例12分别求当实数k为何值时,两圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0,C2:x2+y2-2x-14y+k=0

相交、相切.解析将两圆的一般方程化为标准方程,得圆C1:(x+2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-1)2+(y-

7)2=50-k,则圆C1的圆心C1(-2,3),半径r1=1,圆C2的圆心C2(1,7),半径r2=

,k<50.所以|C1C2|=

=5.当|

-1|<5<

+1,即14<k<34时,两圆相交.当1+

=5,即k=34时,两圆外切,当|

-1|=5,即k=14时,两圆内切.所以当k=14或k=34时,两圆相切.题型技巧

(1)判断两圆的位置关系多用几何法,即用两圆圆心距与半径和或差

的关系判断,一般不采用代数法.(2)求两圆公共弦长的方法是在其中一圆中,由弦心距d,弦的一半,半径r三条线

段构成的直角三角形并结合勾股定理求解.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线

的方程可由两圆的方程作差得到.题型8圆与圆的综合问题例13已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1外切,则ab的最大值为

.解析由圆C1与圆C2外切,可得

=2+1=3,即(a+b)2=9,要使ab取得最大值,则a,b同号,不妨令a>0,b>0,则a+b=3,易知ab≤

=

,当且仅当a=b时等号成立.故ab的最大值为

.答案

例14已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1内切,则a2+b2的最小值为

.解析由圆C1与圆C2内切,得

=2-1=1,即(a+b)2=1.易知

≥

,故a2+b2≥

=

,当且仅当a=b时等号成立,故a2+b2的最小值为

.答案

例15已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.求两圆公共弦所在直线的

方程及弦长.解析由

得x-y+4=0.∴两圆公共弦所在直线的方程为x-y+4=0.易知圆C1的圆心坐标为(-3,0),半径r=

,∴点C1到公共弦所在直线的距离d=

=

,∴两圆公共弦的长为2

=2

=5

.故两圆公共弦所在直线的方程为x-y+4=0,弦长为5

.题型技巧

(1)若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(

+

-4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(

+

-4F2>0)相交,则两圆公共弦所在直线的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.(2)公共弦长的求法.①代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点之间的距离公式求出弦

长.②几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、弦的一半、弦心距构成

的直角三角形,根据勾股定理求解.(3)已知圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(

+

-4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(

+

-4F2>0)相交,则过两圆交点的圆(不包括圆C2)的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).一忽视隐含条件致误易错易混全会例1若过点A(4,2)可以作两条直线与圆C:(x-3m)2+(y-4m)2=25(m+4)2相切,则点A

在圆C的

(填“外部”“内部”“上面”),m的取值范围是

.错解因为过点A与圆有两条切线,所以点A必在圆的外部.因为点A在圆的外部,所以(4-3m)2+(2-4m)2>25(m+4)2,即240m<-380,解得m<-

.错因分析此题的错解在于忽视了圆的半径一定要大于0的隐含条件,应注意隐含条件25(m+4)2>0.解析因为过点A与圆有两条切线,所以点A必在圆的外部.因为点A在圆的外部,

所以(4-3m)2+(2-4m)2>25(m+4)2,即240m<-380,解得m<-

.因为圆的半径必须大于0,所以25(m+4)2>0,所以m≠-4,所以m的取值范围是(-∞,-4)∪

.答案外部;(-∞,-4)∪

例2已知Rt△ABC的斜边为AB,点A(-2,0),B(4,0),求点C满足的方程.错解设C(x,y),易知直角三角形斜边的中点为M(1,0),点C在圆M上,圆M的半径为

×

=3,所以点C满足的方程为(x-1)2+y2=9.错因分析忽视结论的检验,没有注意到点C是直角三角形的顶点,故点C不能

在直线AB上,所以造成错解.解析设C(x,y),易知直角三角形斜边的中点为M(1,0),点C在圆M上,圆M的半径为

=3,则圆M的方程为(x-1)2+y2=9.又顶点C不能在直线AB上,所以y≠0,所以点C满足的方程为(x-1)2+y2=9(y≠0).二忽视求圆的切线方程时,对斜率不存在的理解致误例3过点(2,3)与圆(x-1)2+y2=1相切的直线的方程为

.错解设圆的切线方程为y=k(x-2)+3,由圆心(1,0)到切线的距离为半径1,得

=1,解得k=

,所以切线方程为4x-3y+1=0.错因分析忽略了切线斜率不存在的情形.过圆外一点作圆的切线有两条.解析当切线的斜率存在时,设圆的切线方程为y=k(x-2)+3,由圆心(1,0)到切线的距离为半径1,得

=1,解得k=

,所以切线方程为4x-3y+1=0.当切线的斜率不存在时,切线方程为x=2,易知直线x=2是圆的切线.所以所求切线的方程为4x-3y+1=0或x=2.答案

4x-3y+1=0或x=2第二章平面解析几何单元2圆及其方程、曲线与方程

A卷基础达标卷一、单项选择题1.(2024合肥期中)关于圆x2+y2+Dx+Ey+F=0有四个命题:①点A(1,-3)在圆内;②点

B(2,3)在圆上;③圆心坐标为(-1,0);④圆的半径为3.若以上四个命题中只有一个

是假命题,则该命题是

(

)A.①

B.②

C.③

D.④D解题思路若②③是真命题,则

故F=-17,所以圆的方程为(x+1)2+y2=18,显然点A(1,-3)在圆内,①是真命题,圆的半径为3

,④是假命题,符合题意.若③④是真命题,则易得圆的方程为(x+1)2+y2=9,显然点B(2,3)不在圆上,②是假命题,点A(1,-3)在圆外,①是假命题,不符合题意.其他四种命题组合①②,①④,②④,①③均无法确定圆的方程,无法对剩余命题

进行判断.综上所述,④是假命题.故选D.方法总结判断二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0是否表示圆的方法:(1)

看是否同时满足条件:①A=C≠0,②B=0,③D2+E2-4F>0;(2)在A=C≠0,B=0的条件下,将方程化成标准形式后,根据圆的标准方程的特征,观察是否可以表示圆.2.(2023安徽六安中学期中)已知方程x2+y2+kx-2y-k2=0表示的圆中,当圆的面积最

小时,k=

(

)A.-1

B.0

C.1

D.2

解题思路由x2+y2+kx-2y-k2=0,得

+(y-1)2=

+1,易知当k=0时,圆的半径最小,即圆的面积最小.故选B.B3.(2024山东潍坊一中期中)已知圆C:x2+y2+2mx-2y+5m-3=0,直线l:x+y-1=0.若直

线l与圆C相交所得的弦长为8,则m=

(

)A.-2或2

B.-1或12

C.-2或12

D.-2或1

审题指导将圆C的方程化为标准方程,从而得到圆心与半径,再利

用点到直线的距离公式与弦长公式得到关于m的方程,解之即可.C解题思路由圆C的方程x2+y2+2mx-2y+5m-3=0,得圆C的标准方程为(x+m)2+(y-

1)2=m2-5m+4,所以m2-5m+4>0,解得m<1或m>4.圆心C(-m,1)到直线l:x+y-1=0的距离d=

=

|m|,所以2

=8,整理得m2-10m-24=0,解得m=-2或m=12,均满足圆的条件.故选C.4.(2023北京首都师范大学附属中学期中)点M,N是圆x2+y2+2kx+2y-4=0上的不同

两点,且点M,N关于直线x-y+1=0对称,则该圆的半径等于

(

)A.3

B.2

C.

D.9A解题思路易知圆x2+y2+2kx+2y-4=0的圆心坐标为(-k,-1),因为点M,N是圆x2+y2+2kx+2y-4=0上的不同两点,且点M,N关于直线x-y+1=0对称,所以直线x-y+1=0经过圆心,所以-k+1+1=0,解得k=2,所以圆的方程为x2+y2+4x+2y-4=0,即(x+2)2+(y+1)2=9,所以圆的半径为3.故选A.5.(2024安徽一模)“b=±

”是“直线x+y+b=0与圆C:(x+1)2+(y-1)2=5相切”的

(

)A.充分条件

B.必要条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件C解题思路由已知得圆心C(-1,1),半径r=

,若直线x+y+b=0与圆C:(x+1)2+(y-1)2=5相切,则圆心C到直线x+y+b=0的距离d=

=

,所以b=±

,所以该直线方程为x+y±

=0.所以“b=±

”是“直线x+y+b=0与圆C:(x+1)2+(y-1)2=5相切”的充要条件.故选C.6.(2023福州二中期末)已知直线ax+by-1=0(a>0,b>0)平分圆C:x2+y2-2x-4y-2017=

0,则

的最大值为

(

)A.3+2

B.3-2

C.

D.

B解题思路∵圆C:x2+y2-2x-4y-2017=0,∴圆心C(1,2),∵直线ax+by-1=0(a>0,b>0)平分圆C:x2+y2-2x-4y-2017=0,∴直线ax+by-1=0(a>0,b>0)过圆心C(1,2),即a+2b=1(a>0,b>0),∴

=

+

=

(a+2b)=

+

+3≥2

+3,∴

≤

=

=3-2

,当且仅当

=

,即b=

,a=

-1时等号成立,故

的最大值为3-2

.故选B.二、多项选择题7.(2024福建厦门期中)过点P(2,4)作圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线,则切线方程为

(

)A.3x+4y-4=0

B.4x-3y+4=0C.x=2

D.y=2BC解题思路圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(1,1),半径r=1,若切线的斜率不存在,则切线方程为x=2,符合题意;(注意:不要忘记考虑切线的

斜率不存在的情况)若切线的斜率存在,则设切线方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,由圆心到切线的距离等于半径,得

=1,解得k=

,所以切线方程为4x-3y+4=0.综上,切线方程为x=2或4x-3y+4=0.故选BC.8.(2024云南师大附中阶段练习)已知圆M的方程为(x-1)2+(y+2)2=1,则关于圆M的

说法正确的是

(

)A.圆心M的坐标为(1,-2)B.点P

在圆M内C.直线x+y=0被圆M截得的弦长为

D.圆M在点(1,-1)处的切线方程为y=-1ABD解题思路由圆M的方程(x-1)2+(y+2)2=1,知圆心M(1,-2),半径为1,故A正确;点P

到圆心M(1,-2)的距离为

=

<1,故B正确;圆心M(1,-2)到直线x+y=0的距离为

=

,所以所求弦长为2

=

,故C错误;易知点(1,-1)与圆心M(1,-2)的连线与x轴垂直,所以圆M在点(1,-1)处的切线与x轴平行,其方程为y=-1,故D正确.故选ABD.9.(2023江苏南通期末)已知圆O1:x2+y2=5和圆O2:(x-4)2+y2=13相交于A,B两点,且点

A在x轴上方,则

(

)A.|AB|=4B.过O2作圆O1的切线,切线长为2

C.过点A且与圆O2相切的直线方程为3x-2y+1=0D.圆O1的弦AC交圆O2于点D,D为直线AC的中点,则直线AC的斜率为

ACD解题思路由

解得

则A(1,2),B(1,-2),则|AB|=4,A正确;由题易知圆O1的圆心O1(0,0),半径r1=

,圆O2的圆心O2(4,0),半径r2=

,过点O2作圆O1的切线,则切线长为

=

,B不正确;直线AO2的斜率k=

=-

,故过点A且与圆O2相切的直线斜率为

,所以该切线方程为y-2=

(x-1),即3x-2y+1=0,C正确;因为D为圆O1的弦AC的中点,所以O1D⊥AC,所以点D在以线段O1A为直径的圆x

(x-1)+y(y-2)=0上,而点D在圆O2上,则由

得直线AD的方程为7x-2y-3=0,故直线AD即直线AC的斜率为

,D正确.故选ACD.三、填空题10.(2023山东省昌乐二中期中)当点A在曲线x2+y2=1上运动时,连接A与定点B(6,

0),则AB的中点P的轨迹方程为

.答案

(x-3)2+y2=

解题思路设A(x0,y0),P(x,y),则由中点坐标公式可得

又点A在曲线x2+y2=1上,所以(2x-6)2+(2y)2=1,整理得P的轨迹方程为(x-3)2+y2=

.11.(2024山东聊城期中)2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行,杭州有很多

拱桥,经测得某圆拱桥(如图)的跨度|AB|=100米,拱高|OP|=10米,在建造圆拱桥时

每隔5米需用一根支柱支撑,则与OP相距30米的支柱MN的高度是

米.

(注:

≈3.162)答案

6.48审题指导以点P为坐标原点,OP所在直线为y轴,过点P且平行于AB的直线为x

轴,建立平面直角坐标系,求得点A的坐标,设所求圆的半径为r,由勾股定理可列

等式求得r的值,进而可求得圆的方程,然后求出点N的纵坐标,进而可计算出MN

的长.解题思路以点P为坐标原点,OP所在直线为y轴,过点P且平行于AB的直线为x

轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-50,-10),设圆拱桥所在圆的半径为r,由勾股定理可得(r-|OP|)2+|OA|2=r2,又|OP|=10,所以(r-10)2+502=r2,解得r=130,所以圆心的坐标为(0,-130),则圆拱桥所在圆的方程为x2+(y+130)2=16900,将x=-30代入圆的方程得(-30)2+(y+130)2=16900,又y>-10,所以y=40

-130,所以|MN|=40

-130-(-10)=40

-120≈40×3.162-120=6.48,故支柱MN的高度是6.48米.12.已知圆C的方程为x2+y2=2,点P是直线x-2y-5=0上的一个动点,过点P作圆C的

两条切线PA、PB,A、B为切点,则四边形PACB面积的最小值为

;直线

AB过定点

.答案

;

审题指导由题意作出图形,连接PC,根据切线的相关性质可得S四边形PACB=2S△PAC=

,求出|PC|最小值即可;易得P,A,C,B四点在以PC为直径的圆上,且AB是两圆的公共弦,设出点P坐标,求出直线AB方程,即可得出定点.解题思路如图所示,连接PC,由圆C:x2+y2=2得圆心C(0,0),半径r=

,由题意可得|PA|=|PB|,PA⊥CA,PB⊥CB,在Rt△PAC中,|PA|2=|PC|2-r2=|PC|2-2,S四边形PACB=2S△PAC=2×

×|PA|×|AC|=

×

=

,当PC垂直于直线x-2y-5=0时,|PC|取得最小值,|PC|min=

=

,此时S四边形PACB=

,所以四边形PACB面积的最小值为

,易得P,A,C,B四点在以PC为直径的圆M上,且线段AB是两圆的公共弦,设P(2a+5,a),则圆M的圆心为M

,半径为

,则圆M的方程为

+

=

+

,整理可得x2+y2-(2a+5)x-ay=0,联立

可得直线AB的方程为(2a+5)x+ay-2=0,当x=

时,y=-

,故直线AB过定点

.解题关键本题考查圆的切线的相关问题,求四边形面积时,关键是将面积转化

为

,再根据|PC|的最值求解;求直线AB所过的定点时,关键是利用P,A,C,B四点共圆,得直线AB的方程.四、解答题13.(10分)(人教A版选择性必修第一册P98习题2.5T4回归教材)求圆心在直线3x

-y=0上,与x轴相切,且被直线x-y=0截得的弦长为2

的圆的方程.解题思路设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则圆心坐标为(a,b),半径为r,

由圆心在直线3x-y=0上,可得3a-b=0,即b=3a,由圆与x轴相切,可得r=|b|=|3a|,(注意隐含条件:圆与x轴相切,半径为圆心纵坐标

的绝对值)所以圆的方程为(x-a)2+(y-3a)2=9a2,圆心到直线x-y=0的距离d=

=

,

(5分)根据圆的弦长公式,可得2

=2

,解得a=±1,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=9或(x+1)2+(y+3)2=9.

(10分)名师点睛本题主要考查圆的标准方程,直线与圆的位置关系的应用,其中设出

圆的标准方程,熟练应用圆的弦长公式是解题的关键,着重考查推理与运算能

力.14.(10分)(2023安徽池州一中期中)已知圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9,C2:(x-2)2+(y-3)2=4.(1)判断两圆的位置关系,若它们的公切线分别与圆C1,C2切于点R,S,求线段RS的

长度;(2)若动直线l与圆C1交于点P,Q,且线段PQ的长度为2

,求证:存在一个定圆C,直线l总与之相切.解题思路

(1)由圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9可得点C1(1,2),半径r1=3,由圆C2:(x-2)2+(y-3)2=4可得点C2(2,3),半径r2=2,所以|C1C2|=

=

,所以1=r1-r2<|C1C2|<r1+r2=5,所以圆C1,C2相交.

(2分)由题可知直线RS分别与圆C1,C2切于点R,S,连接C1R,C2S,在直角梯形C1C2SR中,|C1R|=3,|C2S|=2,|C1C2|=

,所以|RS|=

=1,即线段RS的长度为1.

(4分)(2)证明:设线段PQ的中点为D,连接C1D,则C1D⊥PQ,因为动直线l与圆C1交于点P,Q,且线段PQ的长度为2

,所以|C1D|=

=

=

,又因为C1D⊥PQ,所以点C1(1,2)到直线l的距离为

,所以直线l总与圆(x-1)2+(y-2)2=3相切,所以存在一个定圆C:(x-1)2+(y-2)2=3,直线l总与之相切.

(10分)第二章平面解析几何单元2圆及其方程、曲线与方程

B卷提优检测卷一、单项选择题1.(2023广东汕头潮阳棉城中学期中)已知两圆分别为圆C1:x2+y2=49和圆C2:x2+y2-

6x-8y+9=0,这两圆的位置关系是

(

)A.相离

B.相交

C.内切

D.外切B解题思路由题意得圆C1的圆心坐标为(0,0),半径为7;圆C2的圆心坐标为(3,4),

半径为4,两圆心之间的距离为

=5,因为7-4<5<7+4,所以这两圆的位置关系是相交.故选B.2.(2024山东泰安期中)已知曲线x-1=

,则

的最大值,最小值分别为

(

)A.

+2,

-2

B.

+2,

C.

,

-2

D.

,

B解题思路由x-1=

,可得(x-1)2+y2=4(x≥1),此方程表示的曲线是以A(1,0)为圆心,2为半径的圆的右半部分,如图,

表示点P(0,4)与此半圆上点的距离,其最大值为|PA|+2,最小值为|PB|,易知B(1,2),所以|PB|=

=

,易知|PA|=

=

,所以

的最大值为

+2,最小值为

.故选B.3.(2024四川内江资中二中阶段练习数学文化)阿波罗尼斯(公元前262年—公元

前190年),古希腊人,与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家.阿波

罗尼斯研究了众多平面轨迹问题,其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名

问题:已知平面上两点A,B,则所有满足

=λ(λ>0且λ≠1)的点P的轨迹是一个圆.已知平面内的两个相异定点P(2,0),Q(-2,0),动点M满足|MP|=

|MQ|,记M的轨迹为C,则轨迹C围成图形的面积是

(

)A.4π

B.8π

C.16π

D.32πD解题思路设M(x,y),则|MP|=

,|MQ|=

,由|MP|=

|MQ|,可得

=

,整理可得(x+6)2+y2=32.所以点M的轨迹是以(-6,0)为圆心,4

为半径的圆.所以轨迹C围成图形的面积是π×(4

)2=32π.故选D.4.(2024天津期中)若圆x2+y2=5上有两个动点A,B,满足|AB|=

,点M在直线2x+y-5=0上运动,则|

+

|的最小值为

(

)A.

B.

C.

D.

解题思路由题易知圆x2+y2=5的圆心为O(0,0),设AB的中点为N,连接ON,则ON

⊥AB,设圆心O到弦AB距离为d,因为|AB|=

,所以d2=5-

=5-

=

,解得d=

,B所以|ON|=d=

,设N(x,y),则x2+y2=

,所以点N的轨迹方程为x2+y2=

,即点N是以O(0,0)为圆心,

为半径的圆上一点,圆心O(0,0)到直线2x+y-5=0的距离为

=

.又因为点M在直线2x+y-5=0上动,所以|MN|min=

-

=

.易知|

+

|=|2

|=2|

|,所以|

+

|min=

,故选B.5.(2023安徽屯溪一中期中)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的

对称轴.过点A(-4,a)作圆C的两条切线,切点分别为B、D,则直线BD的方程为

(

)A.3x+y-5=0

B.2x+y-5=0C.3x-y+5=0

D.2x+y+5=0A解题思路由题意得圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,故圆心C(2,1),半径为2.易知点(2,1)在直线x+ay-1=0上,即2+a-1=0,∴a=-1,∴点A的坐标为(-4,-1),∴|AC|=

=2

,∴过点A作圆C的切线所得切线长为

=6,∴以点A为圆心,6为半径的圆A的方程为(x+4)2+(y+1)2=36,圆A与圆C的方程作差得3x+y-5=0,即直线BD的方程为3x+y-5=0.故选A.6.德国数学家米勒曾提出最大视角问题,这一问题一般的描述是:已知点A、B是

∠MON的ON边上的两个定点,C是OM边上的一个动点,当C在何处时,∠ACB最

大?问题的答案是:当且仅当△ABC的外接圆与边OM相切于点C时,∠ACB最大.

人们称这一命题为米勒定理.已知点P、Q的坐标分别是(2,0),(4,0),R是y轴正半

轴上的一动点,当∠PRQ最大时,点R的纵坐标为

(

)A.1

B.

C.2

D.2C解题思路因为点P、Q的坐标分别是(2,0),(4,0),所以P、Q是x轴正半轴上的两个定点,又R是y轴正半轴上的一动点,所以根据米

勒定理得当且仅当△PQR的外接圆与y轴相切时,∠PRQ最大,由垂径定理可知,弦PQ的垂直平分线必经过△PQR的外接圆圆心,易知弦PQ的

中点坐标为(3,0),故弦PQ中点的横坐标即为△PQR的外接圆半径,即r=3,由垂径

定理可得,圆心坐标为(3,2

),故△PQR的外接圆的方程为(x-3)2+(y-2

)2=9,所以点R的纵坐标为2

.故选C.二、多项选择题7.(2024浙江台州期中)已知P(4,2),A(4,0),点Q为圆O:x2+y2=4上一动点,过点P作圆

O的切线,切点分别为M、N,下列说法正确的是

(

)A.若圆C:(x-2)2+(y-3)2=1,则圆O与圆C有四条公切线B.若x,y满足x2+y2=4,则-4≤

x+y≤4C.直线MN的方程为2x+y-1=0D.|PQ|+

|AQ|的最小值为

ABD解题思路由题意得圆O的圆心为点O(0,0),半径r=2,对于A,圆C的圆心为点C(2,3),半径R=1,所以|OC|=

=

>r+R=3,所以圆O与圆C外离,所以圆O与圆C有四条公切线,A正确;对于B,因为x,y满足x2+y2=4,所以E(x,y)是圆O上的点,令

0°≤θ<360°,所以

x+y=2

cosθ+2sinθ=4sin(θ+60°)∈[-4,4],B正确;对于C,易知过点P的圆O的切线斜率存在,设切线方程为y-2=k(x-4),圆心O到切线y-2=k(x-4)的距离d=

=2,解得k=0或k=

,所以所求切线方程为y=

x-

或y=2,联立

解得

联立

解得

所以M(0,2),N

,所以kMN=

=-2,所以直线MN:y-2=-2x,即2x+y-2=0,C错误;对于D,假设x轴上存在点D(t,0)使得圆O上任意的一点Q(x,y)满足|DQ|=

|AQ|,即2

=

,即3x2+3y2+(8-8t)x=16-4t2,所以

解得t=1,所以存在点D(1,0)在圆O内使得|DQ|=

|AQ|,所以|PQ|+

|AQ|=|PQ|+|DQ|≥|PD|=

=

,D正确.故选ABD.名师点睛若能熟练掌握圆的切点弦方程和阿氏圆逆定理则能快速判断C,D选

项.8.(2023重庆实验中学期末创新改编)已知圆C:(x-3)2+(y-2)2=1,点A(2,0),过点A的

直线与圆C交于两点P,Q,且|AP|<|AQ|,则

(

)A.直线PQ的斜率大于或等于1

B.|AQ|的最小值为2C.|AP|的最小值为

-1

D.

·

=4CD解题思路由圆C:(x-3)2+(y-2)2=1可知C(3,2),圆C的半径r=1,显然直线AP的斜率存在,设其为k,则直线AP:y=k(x-2),即kx-y-2k=0,所以圆心C到直线AP的距离d=

<1,解得k>

,故A错误;易知|AC|=

=

,所以|AP|min=|AC|-r=

-1,故C正确;当且仅当直线AQ与圆相切时,|AP|=|AQ|,又|AP|<|AQ|,所以|AQ|不存在最小值,只

存在最大值,且|AQ|max=|AC|+r=

+1,故B错误;设P(x1,y1),Q(x2,y2),联立

消去y整理得(1+k2)x2-(4k2+4k+6)x+4k2+8k+12=0,所以x1+x2=

,x1x2=

,所以

·

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(x1-2)(x2-2)+k2·(x1-2)(x2-2)=(1+k2)[x1x2-2(x1+x2)+4]=(1+k2)

=4,故D正确,故选CD.9.(2023山东潍坊中学月考)已知直线l:kx-y-k+1=0与圆C:(x-2)2+(y+2)2=16相交于

A,B两点,O为坐标原点,下列说法正确的是

(

)A.|AB|的最小值为2

B.若圆C关于直线l对称,则k=3C.若∠ACB=2∠CAB,则k=1或k=-

D.若A,B,C,O四点共圆,则k=-

ACD解题思路易知直线l:y=k(x-1)+1过点D(1,1),圆C:(x-2)2+(y+2)2=16,即x2+y2-4x+4y-8=0①,圆心C(2,-2),半径r=4,由于(1-2)2+(1+2)2<16,故点D在圆C内.|CD|=

=

,所以|AB|min=2

=2

,此时AB⊥CD,所以A选项正确.若圆C关于直线l对称,则直线l过C,D两点,斜率k=

=-3,所以B选项错误.设∠ACB=2∠CAB=2θ,则θ+θ+2θ=π,故θ=

,此时三角形ABC是等腰直角三角形,故点C到直线l的距离为4×

=2

,即

=2

,解得k=1或k=-

,所以C选项正确.若A,B,C,O四点共圆,则设此圆为圆E,E(a,b),易知OC的中点坐标为(1,-1),kOC=-1,所以OC的垂直平分线为l':y+1=x-1,即y=x-2,则b=a-2②,圆E的方程为(x-a)2+(y-b)2=a2+b2,整理得x2+y2-2ax-2by=0③,由于直线l是圆C和圆E的交线,故由③-①得l:(4-2a)x-(2b+4)y+8=0,将D(1,1)代入上式得(4-2a)-(2b+4)+8=0,即a+b-4=0④,由②④得a=3,b=1,所以直线l的斜率为

=

=-

,所以D选项正确.故选ACD.三、填空题10.(2023上海控江中学期中)已知圆x2+y2+2x-4y-5=0与x2+y2+2x-1=0相交于A、B

两点,则公共弦AB的长是

.答案

2解题思路由题意得直线AB的方程为(x2+y2+2x-4y-5)-(x2+y2+2x-1)=0,即y=-1,易得圆x2+y2+2x-1=0的圆心坐标为(-1,0),半径为

,故圆心到直线y=-1的距离为1,所以|AB|=2

=2.11.(2024合肥一中阶段练习)已知P(x0,y0)是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0上任意一点,则

的取值范围为

.

答案解题思路设k=

,则k(x0-3)-y0-1=0,故

的几何意义为直线l:k(x-3)-y-1=0的斜率,又P(x0,y0)是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0,即(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点,所以只需圆心C(1,1)到直线l的距离小于或等于半径即可,即

≤1,解得

≤k≤

,即

的取值范围为

.