人教版七年级数学上册专题10角的运动压轴题的三种考法(原卷版+解析)

专题10角的运动压轴题的三种考法类型一、角度之间数量关系问题例．如图，点O为直线上一点，过点O作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（），一边在射线上，另一边在直线的下方．(1)当时，请解决一下问题；①将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分．求的度数．②将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（直接写出结果）．③将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由．(2)图1中射线在上方且，当三角板绕点O顺时针旋转（旋转角度），试探究三者之间的数量关系．【变式训练1】以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，直角三角板可绕顶点O转动，在转动的过程中，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方．(1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则______；(2)将直角三角板绕点O转动后，使其一边在的内部，如图2所示，①若恰好平分，求此时的度数；②若，求此时的度数；(3)直角三角板在绕点O转动的过程中，与之间存在一定的数量关系，请直接写出来，不必说明理由．【变式训练2】如图，点O在直线上，在同一平面内，以O为顶点作直角．射线、射线分别平分、．(1)如图1，当时，________，________．(2)如图1，猜想与的数量关系，并说明理由．(3)直接写出图2和图3中，与的数量关系．图2：__________；图3：__________．【变式训练3】如图，是直线上一点，是的余角，射线平分．

(1)若，求的度数；(2)若，请在图中画出符合题意的射线，探究与的数量关系，并说明理由．类型二、定值问题例．如图，过点在内部作射线．，分别平分和，与互补，．(1)如图1，若，则______°，______°，______°；(2)如图2，若平分．①当时，求度数；②试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【变式训练1】如图，内部有一射线OC，，与的度数比为，射线从出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线从出发以20度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线与射线重合后，立即以原速逆时针旋转，当与重合后再次改变方向顺时针向旋转（即在与之间来回摆动），当与重合时，与都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t秒．(1)时，；(2)当t为何值时，恰好是的平分线；(3)在旋转的过程中，作的角平分线，是否存在某个时间段，使得的度数保持不变？如果存在，求出的度数，并写出对应的t的取值范围；如果不存在，请说明理由．【变式训练2】将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒．

(1)如图②，当______时，恰好平分；(2)如图③，当______时，恰好平分；(3)如图④，当______时，恰好平分；(4)绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数；(5)若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由．【变式训练3】如图，已知，．(1)求的度数；(2)若射线绕点以每秒旋转10°的速度顺时针旋转，同时射线以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，试求当时的值；(3)若绕点以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时绕点以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出其值；若改变，说明理由．类型三、运动时间问题例．如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒．(1)当时，求和的度数；(2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动．①用含的代数式表示射线和射线重合前和的度数；②整个旋转过程中，当满足时，求出相应的的值．【变式训练1】一个问题的解决往往经历发现规律-探索归纳-问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下．(1)【发现规律】如图①，已知，，则的度数为___________时，为的角平分线．(2)【探索归纳】如图①，，，为的角平分线．猜想的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由．(3)【问题解决】如图②，若，，，射线，同时绕点O旋转，以每秒顺时针旋转，以每秒逆时针旋转，当与重合时，，同时停止运动．设运动时间为t秒，问t为何值时，射线为，，中任意两条射线夹角的角平分线．【变式训练2】点O为直线l上一点，射线均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线和射线，使得，作的平分线．(1)求与的度数；(2)作射线，使得，请在图2中画出图形，并求出的度数；(3)如图3，将射线从图1位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，作的平分线当时，求旋转的时间．【变式训练3】已知直线和交于点，的度数为，于点，平分．

(1)当，求与的度数．(2)当，射线、分别以，的速度同时绕点顺时针转动，求当射线与射线重合时至少需要多少时间？(3)当，射线以的速度绕点顺时针转动，同时射线也以的速度绕点逆时针转动，当射线转动一周时射线也停止转动．射线在转动一周的过程中当时，求射线转动的时间．课后训练1．如图，已知，在内部，在的内部，．(1)若，则______；若，则_______（用含的代数式表示）；(2)若，求的度数；(3)将以OC为折痕进行翻折，落在处，将以为折痕进行翻折，落在处，的度数变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求出的度数．2．已知，，平分．(1)如图1，在的内部．①若，____________，____________；②若，____________，____________（都用含的式子表示）：(2)如图2，将绕点O顺时针旋转，使射线在的内部，射线在的外部．设的度数为，当时，求的值．(3)将图1中的绕点O逆时针旋转，使射线在的外部，射线在的内部，如图3，平分，请猜想和有怎样的数量关系，并说明理由．3．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，整个过程时间记为t秒．

(1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了秒；(2)如图2，旋转三角板，使得、在直线的异侧，请直接写出与数量关系；如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立？并说明理由．(3)若在三角板旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当边第一次重合在直线上时两三角板同时停止．①试用字母t分别表示与；②在旋转的过程中，当t为何值时平分．4．如图，．

(1)若平分，求的度数；(2)渃，求的度数；(3)若射线从射线的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，射线旋转的时间为（单位：秒），且，求当时的值．5．如图①，已知线段，线段CD在线段AB上运动，E、F分别是AC、BD的中点．(1)已知，求EF的长．(2)若，求EF的长．由此你能得出EF与AB、CD之间存在怎样的数量关系？(3)类比应用①我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，OE、OF分别平分和，若∠，直接写出的度数．②由此，你猜想与、会有怎样的数量关系______．（直接写出猜想即可）

专题10角的运动压轴题的三种考法类型一、角度之间数量关系问题例．如图，点O为直线上一点，过点O作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（），一边在射线上，另一边在直线的下方．(1)当时，请解决一下问题；①将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分．求的度数．②将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（直接写出结果）．③将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由．(2)图1中射线在上方且，当三角板绕点O顺时针旋转（旋转角度），试探究三者之间的数量关系．【答案】(1)；或；，理由见解析(2)当旋转角时，；当旋转角时，；当旋转角时，．【分析】（1）平分，可求得，再由互余关系即可求得结果；分两种情况：射线平分，可计算出旋转的角度，则可计算出旋转的时间；射线平分，可计算出旋转的角度，则也可计算出旋转的时间；两种情况综合即可；由，且，即可得出两角的关系；（2）分四种情况考虑：旋转角；旋转角；旋转角；当旋转角时；利用和差关系即可得到关系；【详解】（1）解：（1）平分，，；，当射线平分时，如图2所示，，

旋转的角度为，直线旋转的时间为（秒）；当射线平分时，如图4所示，，旋转的角度为，直线旋转的时间为（秒）；综上知，则的值为；或；故答案为：或；，且，，，即与的数量关系为：；（2）解：当旋转角时，射线在的内部时，如图5；则，，；；当旋转角时，此时射线在的内部，如图6所示；，；当旋转角时，此时射线在的内部，如图7所示，，，，，；当旋转角时，此时射线在的内部，如图8所示，；，；综上，当旋转角时，；当旋转角时，；当旋转角时，．【点睛】本题考查了角的和差运算，角平分线的性质，分类讨论，关键是结合图形，用所求的角表示未知的角．【变式训练1】以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，直角三角板可绕顶点O转动，在转动的过程中，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方．(1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则______；(2)将直角三角板绕点O转动后，使其一边在的内部，如图2所示，①若恰好平分，求此时的度数；②若，求此时的度数；(3)直角三角板在绕点O转动的过程中，与之间存在一定的数量关系，请直接写出来，不必说明理由．【答案】(1)40°；(2)①，②；(3)【分析】（1）根据两个角互为余角，求出的度数；（2）①根据平角定义先求出，根据角平分线的定义得，进而求出；②如图，先求出，，然后代入计算即可．（3）根据题意，分成两种情况进行分析：当在内部时；当在外部时，分别求出答案即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，故答案为：40°；（2）解：①∵，∴，∵恰好平分，∴，∴；②如图，当在的内部时，∵，，∴．∵，，∴．∵，∴，∴；（3）解：当在内部时，如图所示，∵，，∴．当在外部时，如图所示，∵，，∴；综合上述，则；【点睛】本题考查了作图——复杂作图、余角和补角，几何图形中的角度计算，角平分线的定义等知识的综合运用，运用分类讨论的思想进行分析是解题的关键．．【变式训练2】如图，点O在直线上，在同一平面内，以O为顶点作直角．射线、射线分别平分、．(1)如图1，当时，________，________．(2)如图1，猜想与的数量关系，并说明理由．(3)直接写出图2和图3中，与的数量关系．图2：__________；图3：__________．【答案】(1)，(2)，理由见详解(3)，【分析】（1）根据角平分的定义即可求解；（2）根据（1），可得，问题得解；（3）图2，先表示出，，再根据角平分线可得，问题随之得解；图3，由，可得，根据，，可得，问题随之得解．【详解】（1）∵射线、射线分别平分、，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：，；（2），理由如下：在（1）中有：，，，∴；（3）图2中，，理由如下：∵，∴，∴，∵，∴，∵射线、射线分别平分、，∴，，∴，∵，，∴；图3中，，理由如下：∵，∴，∵射线、射线分别平分、，∴，，∵，，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平角为，以及角度的计算，理清图中各个角直角的数量关系是解答本题的关键．【变式训练3】如图，是直线上一点，是的余角，射线平分．

(1)若，求的度数；(2)若，请在图中画出符合题意的射线，探究与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)(2)或，理由见解析【分析】（1）根据互为余角的两个角的和是90度，平角的定义，角平分线的定义解答；（2）分情况画图分析，设，利用互为余角的两个角的和是90度，平角的定义，角平分线的定义，把和的度数分别用含有的式子表示，即可表示出两个角的关系．【详解】（1）解：是的余角，，，，平分，；（2）解：或，理由如下：设，是的余角，，，，平分，，，．当射线在内部时，如图：

，，；当射线在内部时，如图：

，，，综上可知，或．【点睛】本题考查余角、补角、角平分线、角的和差关系等知识点，解第一问的关键是掌握互为余角的两个角的和是90度，解第二问的关键是注意分情况讨论，避免漏解．类型二、定值问题例．如图，过点在内部作射线．，分别平分和，与互补，．(1)如图1，若，则______°，______°，______°；(2)如图2，若平分．①当时，求度数；②试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)，，；(2)①，②是定值，【分析】（1）根据互补的定义可得，然后求得，再根据角平分线的定义可得和,再根据角的和差可得；（2）①由互补的定义可得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，然后根据得到关于a的方程求解即可；②由①可得，然后分别表示出和，最后做商即可解答．【详解】（1）解：∵,∴∴∵，分别平分和∴,∴故答案为，，．（2）解：①∵，与互补，∴又∵平分，平分，平分，∴∴，解得：∴.②由①得：∴，∴．【点睛】本题主要考查了补角的定义、角平分线的应用、角的和差等知识点，灵活运用角平分线的定义是解答本题的关键．【变式训练1】如图，内部有一射线OC，，与的度数比为，射线从出发，以10度/秒的速度绕点O顺时针旋转，同时射线从出发以20度/秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线与射线重合后，立即以原速逆时针旋转，当与重合后再次改变方向顺时针向旋转（即在与之间来回摆动），当与重合时，与都停止旋转．旋转过程中设旋转的时间为t秒．(1)时，；(2)当t为何值时，恰好是的平分线；(3)在旋转的过程中，作的角平分线，是否存在某个时间段，使得的度数保持不变？如果存在，求出的度数，并写出对应的t的取值范围；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)100(2)3或7(3)存在，时，的度数保持不变，；时，的度数保持不变，【分析】（1）当时，，，故，即得；（2），与的度数比为，知，，故从旋转到（或从旋转到需要（秒），从旋转到需要（秒），当时，；当时，；当时，，解方程可得答案；（3）当时，；当时，；当时，，即可得到答案．【详解】（1）解：（1）当时，，，，；故答案为：100；（2），与的度数比为，，，从旋转到或从旋转到需要（秒），从旋转到需要（秒），当时，，，恰好是的平分线，，解得；当时，，，恰好是的平分线，，解得（舍去）；当时，，，恰好是的平分线，，解得；综上所述，当为3或7时，恰好是的平分线；（3）存在某个时间段，使得的度数保持不变，理由如下：当时，，，平分，，，时，的度数保持不变，；当时，，，平分，，，时，的度数随的改变而改变；当时，，，平分，，，时，的度数保持不变，；综上所述，时，的度数保持不变，；时，的度数保持不变，．【点睛】本题考查了角的和差，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能应用分类讨论思想解决问题．【变式训练2】将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒．

(1)如图②，当______时，恰好平分；(2)如图③，当______时，恰好平分；(3)如图④，当______时，恰好平分；(4)绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数；(5)若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由．【答案】(1)4；(2)7；(3)10；(4)；(5)不变，，理由见解析；【分析】（1）如图，由题意可得：，而，，再证明，而，再建立方程求解即可；（2）如图，证明，，再建立方程求解即可；（3）如图，证明，，同理：，而，可得，从而可得答案；（4）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案；（5）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案．【详解】（1）解：如图，由题意可得：，而，∴，

∵平分，∴，而，∴，解得：；（2）如图，∵，平分，∴，

∵，，∴，∴，解得：；（3）如图，∵，恰好平分，∴，，

同理：，而，∴，解得：；（4）如图，

∵，，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∵平分，∴，而，∴．（5）如图，

∵，，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∵平分，∴，而，∴．【点睛】本题考查的是角的动态定义，角的和差运算，角平分线的含义，一元一次方程的应用，熟练的画出符合题意的图形，再利用数形结合的方法解题是关键．【变式训练3】如图，已知，．(1)求的度数；(2)若射线绕点以每秒旋转10°的速度顺时针旋转，同时射线以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，试求当时的值；(3)若绕点以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时绕点以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为秒，平分，平分，在旋转的过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出其值；若改变，说明理由．【答案】(1)(2)3或5(3)不发生改变，其值为【分析】（1）设，从而可得，再根据角的和差可得，然后根据建立方程，解方程即可得；（2）先分别求出射线与射线重合时、射线旋转至射线的初始位置时、射线旋转至射线的初始位置时的值，再分三种情况讨论，分别建立方程，解方程即可得；（3）先判断出在旋转的过程中，一定在的后面，再求出旋转秒后，的度数，然后根据角平分线的定义求出的度数，最后根据即可得出结论．【详解】（1）解：设，，，，又，，解得，则．（2）解：当射线与射线重合时，则，解得，当射线旋转至射线的初始位置时，，当射线旋转至射线的初始位置时，，因此，分以下三种情况：①当时，则，解得，符合题设；②当时，，解得，符合题设；③当时，，解得，不符题设，舍去；综上，当时的值为3或5．（3）解：当与重合时，则，解得，当时，在旋转的过程中，一定在的后面，旋转秒后，，，，平分，平分，，，，即在旋转的过程中，的度数不发生改变，其值为．【点睛】本题综合考查了角的和差倍分问题、角平分线、一元一次方程的几何应用等知识点，正确分情况讨论，并建立方程是解题关键．类型三、运动时间问题例．如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒．(1)当时，求和的度数；(2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动．①用含的代数式表示射线和射线重合前和的度数；②整个旋转过程中，当满足时，求出相应的的值．【答案】(1)，(2)，；②或或或【分析】（1）根据补角的定义以及旋转的性质计算即可；（2）①首先求出t的取值范围，再根据角的和差关系以及旋转的性质可得答案；②分，，，，根据已知等式，列方程求解即可．【详解】（1）解：∵，，当时，三角板绕点逆时针旋转，与减小的度数相同为：，故，；（2）①由题意，，，令，解得．令，解得，射线与射线重合之前，射线与射线重合之前，．当时，；当时，，即；②由题意知，运动时间为，运动时间为．当时，，，此时，，不符合题意；当时，，，令，解得或；当，，或，此时，不符合题意；当时，停止运动．如图1，当未过延长线时，，，，此时，不符合题意．如图2，当已过延长线时，，，．令，解得或．综上，或或或，【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，角的和差，在运动的条件下，用方程的思想解决角的变化问题，重点要抓住角的变化过程中出现的每一种情况．【变式训练1】一个问题的解决往往经历发现规律-探索归纳-问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下．(1)【发现规律】如图①，已知，，则的度数为___________时，为的角平分线．(2)【探索归纳】如图①，，，为的角平分线．猜想的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由．(3)【问题解决】如图②，若，，，射线，同时绕点O旋转，以每秒顺时针旋转，以每秒逆时针旋转，当与重合时，，同时停止运动．设运动时间为t秒，问t为何值时，射线为，，中任意两条射线夹角的角平分线．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)或或【分析】（1）先根据角的和差关系计算出，再根据求解；（2）根据角的和差关系、角平分线的定义即可求解；（3）按照平分，平分，平分三种情况分别讨论，列出等式，即可求解．【详解】（1）解：，，，当时，为的角平分线，，，故答案为：；（2）解：，理由如下：，，，为的角平分线，；（3）解：由题意知，旋转了，旋转了，，，，，即与旋转秒后重合．，，，，即旋转秒后与重合．①当为，夹角的角平分线，即平分时，旋转后的，，，解得；②当为，夹角的角平分线，即平分时，旋转后的，，解得；③当为，夹角的角平分线，即平分时，旋转后的，，，解得，综上可知，t的值为或或．【点睛】本题考查角平分线的有关计算，一元一次方程的实际应用，涉及射线的旋转问题，有一定难度，解题的关键是厘清角的和差关系，注意分情况讨论，避免漏解．【变式训练2】点O为直线l上一点，射线均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线和射线，使得，作的平分线．(1)求与的度数；(2)作射线，使得，请在图2中画出图形，并求出的度数；(3)如图3，将射线从图1位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，作的平分线当时，求旋转的时间．【答案】(1)，(2)或(3)8秒或秒【分析】（1）根据，，即可得出的度数，根据角平分线的定义得出，然后根据得出的度数；（2）根据题意得出的度数，然后分两种情况进行讨论：①当射线在内部时；②当射线在外部时；分别进行计算即可；（3）根据平分得出，根据题意画出图形，计算的角度，然后计算时间即可．【详解】（1）解：由题意可知，，∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）由（1）知，，∴，①当射线在内部时，如图2（1），；②当射线在外部时，如图2（2），，综上所述，的度数为或；（3）∵平分，∴，①如图3，，∵平分，∴，∴，∴旋转的时间（秒）；②如图3（1），此时，，∵平分，∴，∴，∴，∴旋转的时间（秒）；综上所述，旋转的时间为8秒或秒．【点睛】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义等内容；第（2）问进行合适的分类讨论是解题的关键；第（3）问，搞清楚在射线旋转的过程中，和的相对位置在不断的变化，以此进行分类画图．【变式训练3】已知直线和交于点，的度数为，于点，平分．

(1)当，求与的度数．(2)当，射线、分别以，的速度同时绕点顺时针转动，求当射线与射线重合时至少需要多少时间？(3)当，射线以的速度绕点顺时针转动，同时射线也以的速度绕点逆时针转动，当射线转动一周时射线也停止转动．射线在转动一周的过程中当时，求射线转动的时间．【答案】(1)，；(2)；(3)或或【分析】（1）根据角平分线的性质和邻补角的性质，结合图象做线段的和差计算即可；（2）看作是和的追及问题，利用追及路程=速度差×时间的公式即可解决；（3）注意分类讨论，①和重合前，②和重合后第一次夹角为，③即将停止前和夹角为．【详解】（1）∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴．（2）当时，，∴，∴，∴当和重合时，时间．（3）设转动的时间为t，当时，，∴，∴，∴，由题意得，转动一圈需要360÷15=24秒，①，解得；②，解得；③，解得．则转动的时间为或或．【点睛】本题考查射线的转动，要结合图象找角度的等量关系，第三问的分类讨论有三种情况，还要考虑停止的时间．课后训练1．如图，已知，在内部，在的内部，．(1)若，则______；若，则_______（用含的代数式表示）；(2)若，求的度数；(3)将以OC为折痕进行翻折，落在处，将以为折痕进行翻折，落在处，的度数变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由：若不变，请求出的度数．【答案】(1)；(2)(3)不变，【分析】（1）根据角度的和差，结合图形即可求解；（2）根据图形分别得出，，根据，建立方程，解方程即可求解；（3）根据题意得出，，进而根据即可求解．【详解】（1）解：∵，，，∴；若，则；故答案为：；．（2）∵，，∵，∵∴解得：∴；（3）解：不变，，理由如下，如图，设，由（1）可得，∴，，，∴，∴，∴的度数不发生变化．【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．2．已知，，平分．(1)如图1，在的内部．①若，____________，____________；②若，____________，____________（都用含的式子表示）：(2)如图2，将绕点O顺时针旋转，使射线在的内部，射线在的外部．设的度数为，当时，求的值．(3)将图1中的绕点O逆时针旋转，使射线在的外部，射线在的内部，如图3，平分，请猜想和有怎样的数量关系，并说明理由．【答案】(1)①，；②，(2)(3)，理由见解析【分析】（1）利用角平分线的定义及角的和差关系求解；（2）由角的和差关系可知，由角平分线的定义可知，进而求出，再根据列一元一次方程，即可求出的值；（3）设，则，进而求出，，由角平分线的定义可知，进而求出，再根据，可得．【详解】（1）解：①因为，，，所以，所以，②若，则，，故答案为：①，；②，；（2）解：因为，，，所以．因为平分，所以．因为，所以．因为，所以，所以，所以；（3）解：，理由如下：设，则，所以，所以，因为平分，所以，所以，所以，所以．【点睛】本题考查角平分线的定义、角度计算问题、解一元一次方程等知识点，解题的关键是看懂图形，能够运用角的和差关系进行推理．3．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，整个过程时间记为t秒．

(1)从旋转开始至结束，整个过程共持续了秒；(2)如图2，旋转三角板，使得、在直线的异侧，请直接写出与数量关系；如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，请问上面的数量关系是否仍然成立？并说明理由．(3)若在三角板旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当边第一次重合在直线上时两三角板同时停止．①试用字母t分别表示与；②在旋转的过程中，当t为何值时平分．【答案】(1)9；(2)；成立，证明见解析(3)①，；②【分析】（1）根据即可解决问题；（2）①结论：；由，，可得；②如图3中，结论仍然成立．证明方法类似；（3）①，；②由平分，可得，由此列出方程，即可解决问题；【详解】（1）解：如图1中，

∵，∴．故答案为9．（2）①结论：；理由：如图2中，

∵，，∴；②如图3中，结论仍然成立．

理由：∵，，∴．（3）①，；②∵平分，∴，∴，解得：，∴当t为时，平分．【点睛】本题考查三角形综合题、直角三角形的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考常考题型．4．如图，．

(1)若平分，求的度数；(2)渃，求的度数；(3)若射线从射线的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，射线旋转的时间为（单位：秒），且，求当时的值．【答案】(1)(2)(3)3或5【分析】（1）利用角平分线的定义解答即可；（2）设，利用角的和差列出关于x的方程，解方程即可求得结论；（3）利用分类讨论的思想方法，根据题意画出图形，用含t的代数式表示出和的度数，依据列出方程，解方程即可求得结论．【详