八年级数学下册专题08最值模型之将军饮马(遛马、过桥)模型(原卷版+解析)

专题08最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！模型1.将军遛马模型【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线m同侧：如图1如图2（1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。【最值原理】两点之间线段最短。例1．（2023·西安·统考一模）问题提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE＝1；BF＝2．（1）如图①，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为；（2）如图②，P、M是AB边上两动点，且PM＝2，现要求计算出EP、PM、MF和的最小值．九年级一班某兴趣小组通过讨论得出一个解决方法：在DA的延长线上取一点E'，使AE'＝AE，再过点E'作AB的平行线E'C，在E'C上E”的下方取点M，使E'M'＝2，连接M'F，则与AB边的交点即为M，再在边AB上点M的上方取P点，且PM＝2，此时EP+PM+MF的值最小．但他们不确定此方法是否可行，便去请教数学田老师，田老师高兴地说：“你们的做法是有道理的”．现在请你根据叙述作出草图并计算出EP+PM+MF的最小值；问题解决：（3）聪聪的爸爸是供电公司的线路设计师，公司准备架设一条经过农田区的输电线路，为M、N两个村同时输电．如图所示，农田区两侧AB与CD平行，且农田区宽为0.5千米，M村到AB的距离为2千米，N村到CD的距离为1千米，M、N所在的直线与AB所夹锐角恰好为45°，根据架线要求，在农田区内的线路要与AB垂直．请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的线路图，并计算出最短线路的长度．（要求：写出计算过程，结果保留根号）例2．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在矩形中，，点P、点Q分别在边上，且，连接和，则的最小值是_______．例3．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，矩形中，，矩形的对角线相交于点O，点E，F为边上两个动点，且，则的最小值为_________．例4．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，正方形的边长为4，、为对角线上的动点，且，连接、，求周长的最小值．

例5．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为______．例6．（2023·贵州黔东南·统考一模）如图，在菱形中，对角线，的长分别为，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为______．模型2.将军过桥（造桥）模型【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。【模型解读】【单桥模型】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2）．问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1图2图3【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？图4图5图6考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．（如图5）当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．（如图6）【最值原理】两点之间线段最短。例1．（2023.北京西城八年级期中）作图题（不写作法）（）如图，一个牧童从点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．（）如图，直线是一条河，，是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，要使所需管道的长度最短，在图中标出点．（保留作图过程）（）如图，在一条河的两岸有，两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段表示．试问：桥建在何处，才能使到的路程最短呢？请在图中画出桥的位置．（保留作图过程）例2．（2022上·湖北襄阳·九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为

A． B． C．14 D．12例3．（2023·内江·中考模拟）如图，已知直线，、之间的距离为8，点P到直线的距离为6，点Q到直线的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线上有一动点B，满足AB⊥，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=．例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．

例6．（2023·山东济南·统考二模）如图，在矩形中，，，若点E是边上的一个动点，过点E作且分别交对角线、直线于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为．

课后专项训练1．（2023上·安徽宣城·九年级校考阶段练习）如图，矩形中，，，是的中点，线段在上左右滑动，若，则的最小值是（

）A．5 B． C．6 D．2．（2023下·江苏无锡·八年级校考期中）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝3BE＝3，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（

）A．4 B． C． D．3．（2023·安徽·统考一模）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（

）A．25 B．24 C． D．134．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°，M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为（

）A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋5．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）如图，中，，，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为（）A．3 B． C． D．36．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是米．

7．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是．

8．（2023.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；9．（成都市2022-2023学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为．10．（2023·广西·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为．11．（2023下·江苏·八年级统考期末）如图，已知菱形的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，过点作的垂线，与边交于点，连接．若，，则的最小值为．

12．（2023下·四川宜宾·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，，点E为的中点，点M、N为边上两个动点，且，则的最小值是．

13．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在菱形中，，，在边上有一线段由向运动，点到达点后停止运动，在的左侧，，连接，，则周长的最小值为．

14．（2023上·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为15．（2022下·江苏·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为16．（2023·福建·校联考一模）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E、F为矩形内部的两动点，且满足EF∥BC，EF＝4，S四边形BEFC＝26，则BE+EF+FC的最小值等于．17．（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．

18．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在中，，点D，E分别是的中点．若点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______．（2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，才能使从A到B的路径最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使，为河宽，连接，与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在矩形中，．E、F分别在上，且满足，．若边长为10的正方形在线段上运动，连接，当取值最小时，求的长．19．（2023上·重庆万州·九年级校考期中）如图，直线的图象与轴和轴分别交于点和点，的垂直平分线与轴交于点，与交于点，连接．(1)如图1，求的长；(2)如图2，若点是射线上的动点，点和点是轴上的两个动点，且，当的面积为时，求的最小值。20．（2023下·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路的一侧有，两个工厂，，到公路的垂直距离分别为和，，之间的水平距离为．现需把厂的产品先运送到公路上然后再转送到厂，则最短路线的长是_____．问题探究（2）如图（2），和是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，，点，重合，点，重合，将沿直线平移，得到，连接，．试探究在平移过程中，是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是和，，的水平距离是．游客在景点游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游轮沿河航行到达码头乙，再乘坐大巴到达景点．请问码头甲，乙建在何处才能使从到的旅游路线最短，并求出最短路线的长．专题08最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造桥）再也不是问题！模型1.将军遛马模型【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线m同侧：如图1如图2（1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。（2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。【最值原理】两点之间线段最短。例1．（2023·西安·统考一模）问题提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE＝1；BF＝2．（1）如图①，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为；（2）如图②，P、M是AB边上两动点，且PM＝2，现要求计算出EP、PM、MF和的最小值．九年级一班某兴趣小组通过讨论得出一个解决方法：在DA的延长线上取一点E'，使AE'＝AE，再过点E'作AB的平行线E'C，在E'C上E”的下方取点M，使E'M'＝2，连接M'F，则与AB边的交点即为M，再在边AB上点M的上方取P点，且PM＝2，此时EP+PM+MF的值最小．但他们不确定此方法是否可行，便去请教数学田老师，田老师高兴地说：“你们的做法是有道理的”．现在请你根据叙述作出草图并计算出EP+PM+MF的最小值；问题解决：（3）聪聪的爸爸是供电公司的线路设计师，公司准备架设一条经过农田区的输电线路，为M、N两个村同时输电．如图所示，农田区两侧AB与CD平行，且农田区宽为0.5千米，M村到AB的距离为2千米，N村到CD的距离为1千米，M、N所在的直线与AB所夹锐角恰好为45°，根据架线要求，在农田区内的线路要与AB垂直．请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的线路图，并计算出最短线路的长度．（要求：写出计算过程，结果保留根号）【答案】（1）；（2）EP+PM+MF的最小值是7；（3）km【分析】（1）利用轴对称方法求最短路线，作点关于直线的对称点或作点关于直线的对称点，连接交于，则即为最小值；（2）由于PM是定值，可以通过平移点的方式将问题转化为问题一，再通过对称求最短路线；（3）由于农田的宽度一定，故可将M点延AB的垂直方向移动农田的宽度到，将问题转化为两点之间线段最短问题即可，作，并在上截取（农田的宽度），连接交于，作于，连接，，则即为最短路线．【详解】解：（1）如图①，延长至，使，连接，过作于，矩形，，，当，，三点共线时，最小，即最小；由勾股定理得：，故答案为；（2）如图②，延长至，使，在下方作，在上截取，连接交于，在上截取，连接，，矩形，即，，四边形是平行四边形，，，三点共线，为最小值，即为最小值．（3）如图③，过作于，过作于，作交于，交于，在上截取，连接交于，作交于，连接，，，四边形是平行四边形，由题意知，，，，，，在△中，，最短线路长度为．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形和矩形的性质，轴对称性质，利用轴对称求最短路线等，解题关键是通过平移和轴对称的方法求最短路线，要学会将实际问题转化为数学问题．例2．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在矩形中，，点P、点Q分别在边上，且，连接和，则的最小值是_______．【答案】13【分析】证明四边形是平行四边形，得到，作点A关于的对称点E，当B、Q、E在同一直线上时，取得最小值，利用勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，作点A关于的对称点E，则，，当B、Q、E在同一直线上时，取得最小值，此时，，∴的最小值是13，故答案为：13．【点睛】本题考查的是最短线路问题及矩形的性质，勾股定理，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．例3．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，矩形中，，矩形的对角线相交于点O，点E，F为边上两个动点，且，则的最小值为_________．【答案】【分析】过点O作于点H，把点O向右平移2个单位至点，作点关于的对称点，交于点K，连接交于点E，作，交的延长线于点G．由轴对称的性质可知，即的最小值是线段的长，根据勾股定理求出的长即可．【详解】过点O作于点H，把点O向右平移2个单位至点，作点关于的对称点，交于点K，连接交于点E，作，交的延长线于点G．则四边形和四边形都是矩形，∴，，，．∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值是线段的长．∵四边形是矩形，∴，，，∴，．∵，∴，∴，∴，即的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．例4．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，正方形的边长为4，、为对角线上的动点，且，连接、，求周长的最小值．

【答案】周长的最小值为．【分析】要使周长的最小，只需EC+CF最小，过点作，使得，连接交于点，构造出平行四边形，根据平行四边形的性质和正方形的对称性知，当、、三点共线时,EC+CF=FH+AF=AH=，且最小，从而得到周长的最小值．【详解】如解图，过点作，使得，连接交于点，连接．，，四边形是平行四边形，．

四边形是正方形，点，关于对称．．此时的周长为．当、、三点共线时，的周长最小，最小值为．四边形是正方形，且边长为4．，．．在中，．周长的最小值为．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，凡是涉及最短距离的问题，一般要结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．例5．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为的正方形中将沿射线平移，得到，连接、．求的最小值为______．【答案】【分析】将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，证出四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即为EC+GC的最小值．【详解】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE，又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，此时，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8，C′D=，即EC+GC的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将两条线段的和转化为同一条线段求解．例6．（2023·贵州黔东南·统考一模）如图，在菱形中，对角线，的长分别为，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为______．【答案】【分析】连接与交于点，延长到，使得，连接，证明，，得，当点、、三点共线时，的值最小，由勾股定理求得便可．【详解】解：如图所示，连接与交于点，延长到，使得，连接，四边形是菱形，，，由平移性质知，，，，，，当点、、三点共线时，的值最小，的最小值为：，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，平移的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．模型2.将军过桥（造桥）模型【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。【模型解读】【单桥模型】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2）．问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1图2图3【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？图4图5图6考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．（如图5）当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．（如图6）【最值原理】两点之间线段最短。例1．（2023.北京西城八年级期中）作图题（不写作法）（）如图，一个牧童从点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．（）如图，直线是一条河，，是两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向，两地供水，要使所需管道的长度最短，在图中标出点．（保留作图过程）（）如图，在一条河的两岸有，两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段表示．试问：桥建在何处，才能使到的路程最短呢？请在图中画出桥的位置．（保留作图过程）【答案】作图见解析【分析】（1）把河岸看做一条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题．（2）根据两点之间线段最短解答．（3）先确定AA′=CD，且AA′∥CD，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．【详解】（）如图，点到直线垂线段最短．（）如图．（）如图。例2．（2022上·湖北襄阳·九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为

A． B． C．14 D．12【答案】C【分析】延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小．【详解】解：延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小．

∴四边形是平行四边形，∴，同理：=，延长交的延长线于点．∴，，∴，，在中，，，的最小值为14．故选：C．【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．例3．（2023·内江·中考模拟）如图，已知直线，、之间的距离为8，点P到直线的距离为6，点Q到直线的距离为4，PQ=，在直线l1上有一动点A，直线上有一动点B，满足AB⊥，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=．【答案】16【分析】作PE⊥于E交于F，在PF上截取PC=8，连接QC交于B，作BA⊥于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，由勾股定理可求得DQ的长；易证四边形ABCP是平行四边形，由平行四边形的性质及勾股定理可求得结果．【详解】作PE⊥于E交于F，在PF上截取PC=8，连接QC交于B，作BA⊥于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，ABPC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA=BC，又CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===16．故答案为：16．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识．例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．

【答案】【分析】过点E作交于点I，连接．易求出，，．易证四边形为平行四边形，得出，即说明当最小时，最小．由当点I，H，C三点共线时，最小．结合平行四边形的判定和性质和勾股定理求出，即得出，即可得出答案．【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．

∵中，，，∴，∴，∴，．∵，，∴．∵，∴四边形为平行四边形，∴．同理可得出．∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∴四边形为平行四边形，

∴，∴，∴当最小时，最小．∵当点I，H，C三点共线时，最小，∴此时最小，如图，

∵，∴．∵∴四边形为平行四边形，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定，两点之间线段最短等知识．正确作出辅助线，理解当点I，H，C三点共线时，最小，即此时最小是解题关键．例6．（2023·山东济南·统考二模）如图，在矩形中，，，若点E是边上的一个动点，过点E作且分别交对角线、直线于点O、F，则在点E移动的过程中，的最小值为．

【答案】6【分析】过点D作交于M，过点A作，使，连接，当N、E、C三点共线时，，分别求出、的长度即可．【详解】解：过点D作交X于M，过点A作，使，连接，

四边形是平行四边形，，当N、E、C三点共线时，最小，四边形是矩形，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，即，∴，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，，，的最小值为6，故答案为：6．【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．课后专项训练1．（2023上·安徽宣城·九年级校考阶段练习）如图，矩形中，，，是的中点，线段在上左右滑动，若，则的最小值是（

）A．5 B． C．6 D．【答案】B【分析】作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小，结合平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用解答即可．【详解】如图，作关于的对称点，在上截取，然后连接交于，在上截取，此时的值最小，，，四边形是平行四边形，，，，，为边的中点，，，由勾股定理得：即的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键是正确的做出辅助线．2．（2023下·江苏无锡·八年级校考期中）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝3BE＝3，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】由勾股定理可求AE的长，由“ASA”可证，可得，通过证明四边形NEGM是平行四边形，可得，由，可得当点A，点M，点G三点共线时，的最小值为AG，由勾股定理即可求解．【详解】解：过点D作DH∥MN，交AB于点H，过点E作EG∥MN，过点M作MG∥NE，两直线交于点G，连接AG，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴，∵AB＝3BE＝3，∴BE＝1，∴，∵DH∥MN，AB∥CD，∴四边形DHNM是平行四边形，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，∵EG∥MN，MG∥NE，∴四边形NEGM是平行四边形，∴，∴，∴当点A，点M，点G三点共线时，的最小值为AG，∴．故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．3．（2023·安徽·统考一模）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连接，，则的最小值为（

）A．25 B．24 C． D．13【答案】A【分析】连接，作关于的对称点，连接，可得四边形是平行四边形，从而问题转化为，然后根据轴对称求最值即可【详解】如图，连接，作关于的对称点，连接，四边形是矩形，四边形是平行四边形，作关于的对称点，当三点共线时，取得最小值，故选A【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，轴对称求线段和最值问题，转化是解题的关键．4．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°，M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为（

）A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋【答案】B【详解】解：如图作点O关于直线AB的对称点O’，作且，连接O’C交AB于点D，连接ON，MO，∴四边形MNOC为平行四边形，∴，，∴，在中，，即，当点M到点D的位置时，即当O’、M、C三点共线，取得最小值，∵，，设，则，，解得：，即：，，，解得：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，即：，∴，故选：B．【点睛】题目主要考查轴对称及平行线、平行四边形的性质，勾股定理解三角形，角的直角三角形性质，理解题意，作出相应图形是解题关键．5．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）如图，中，，，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为（）A．3 B． C． D．3【答案】A【分析】首先是含有角的直角三角形，因此可以得知各边的长分别为，．因为点，点是边上的两个动点，是边上的一个动点，求的最小值，就是需要转换成同一直线上求解，即求关于的对称点，作．构建平行四边形，作于点，交于点．利用平行四边形和对称图形的性质，找出线段之间的关系,求出的长度即为所求最小值．【详解】解：如图，过点C作关于的对称点，连接，交于点N；过作，且，过作于点F，交AB于点E，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵关于对称，∴，∴，即的最小值为，∵，，∴，∴，，过作，则，又∵，∴四边形是矩形，∴，，∵，，∴，在中，，，∴，∴，∴’故选：A．【点睛】本题主要考查动点构成的线段中最小值问题，转换成三点共线，并在垂直的时候最小，找到对称点，构建最短路径是解题的关键．6．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，河的两岸有，两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得，两点到河岸的距离分别是5米，4米，河宽3米，且，两点之间的水平距离为12米，则的最小值是米．

【答案】18【分析】作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸，则且，于是为平行四边形，故；根据“两点之间线段最短”，最短，即最短，也就是最短，据此求解即可．【详解】作垂直于河岸，使等于河宽，连接，与靠近A的河岸相交于M，作垂直于另一条河岸，过点A作交的延长线于点C，则且，于是为平行四边形，故，

当时，最小，也就是最短，∵（米），（米），（米）∴在中，（米），∴的最小值为：（米）故答案为：18．【点睛】本题考查了轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．7．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是．

【答案】【分析】由可知为定长，在、间滑动，故由造桥选址模型进行平移，转化为两点间距离加上定长，再利用特殊角构造直角三角形，使用勾股定理求出两点间距离．【详解】作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图：

，，为等边三角形，，，，四边形为平行四边形，同理得四边形与四边形为平行四边形，，，，，中，，中，，的最小值是．【点睛】本题考查平移类最短路径，为造桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊角，通常采用构造直角三角形利用勾股定理求解的方法．8．（2023.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；【答案】（1）（﹣2，2），（4，2）；（2）（2，）；【分析】（1）由30°直角三角形的性质求出OD的长，再由平行四边形的性质求出BD的长即可解决问题；（2）首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，因为PM是定值，推出PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小；【详解】解：（1）如图1中，在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD=2，∴A（﹣2，2），∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）；（2）如图1中，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=．∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形，∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小．∵直线OB的解析式为y=x，∴P（2，）．故答案为（2，）．【点睛】本题考查了四边形综合题、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、最短问题等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短，解决最短问题．9．（成都市2022-2023学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点．将直线：向上平移个单位长度得到直线，点在直线上，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，，，则折线的长的最小值为．【答案】【分析】先证四边形是平行四边形，可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，即可求解．【详解】解：如图，将点沿轴向下平移个单位得到，以为斜边，作等腰直角三角形，则点，连接，是等腰直角三角形，，，将直线：向上平移个单位长度得到直线，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，即有最小值，点，点，，折线的长的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，一次函数的应用，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．10．（2023·广西·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为．【答案】14+2【详解】如图，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B'，作点B'关于AD的对称点B″，连接CB″，交AD于点F，在AD上截取EF=2，连接BE，B'F，∴BE=B'F，B″F=B'F，此时四边形BEFC的周长为BE+EF+FC+BC=B″F+EF+FC+BC=B″C+EF+BC．当点C，F，B″三点共线时，四边形BEFC的周长最小．∵AB=4，BB'=2，∠ABC=60°，∴B'B″经过点A，∴AB'=2，∴B'B″=4．∵BC=12，∴B'C=10，∴B″C=2，∴B″C+EF+BC=14+2，∴四边形BEFC周长的最小值为14+2．11．（2023下·江苏·八年级统考期末）如图，已知菱形的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，过点作的垂线，与边交于点，连接．若，，则的最小值为．

【答案】【分析】连接，，，可证四边形是平行四边形，从而可得，求的最小值，求最小值即可，当、、三点在一条直线上时，最小值，即可求解．【详解】解：连接，，，

四边形是菱形，，，，，，四边形是平行四边形，，求的最小值，求最小值即可，如图，当、、三点在一条直线上时，最小值，

，，，解得：；，故答案为：．【点睛】本题考查了动点最值问题，菱形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，找出取得最小值的满足的条件，再根据相关的判定方法及性质进行求解是解题的关键．12．（2023下·四川宜宾·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，，点E为的中点，点M、N为边上两个动点，且，则的最小值是．

【答案】13【分析】如图所示，作点E关于的对称点F，过点F作，连接，过点G作于H，由轴对称的性质可得，证明四边形是平行四边形，得到，进而推出当A、M、G三点共线时最小，即最小，最小值为的长，再证明四边形是矩形，求出，，则，即的最小值为13．【详解】解：如图所示，作点E关于的对称点F，过点F作，连接，过点G作于H，∵四边形是正方形，∴，∵点E为的中点，由轴对称的性质可得，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴当A、M、G三点共线时最小，即最小，最小值为的长，∵，∴，又∵，∴四边形是矩形，∴，∴，∴，∴的最小值为13，故答案为：13．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质等等，正确作出辅助线确定最小时的情形是解题的关键．13．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在菱形中，，，在边上有一线段由向运动，点到达点后停止运动，在的左侧，，连接，，则周长的最小值为．

【答案】【分析】过点作交于点，再作点关于的对称点，连接，连接与交于点，当运动到点时，，，三点共线，此时取最小值，即取最小值，则此时的周长最小．【详解】解：如图，过点作交于点，则四边形为平行四边形，，，再作点关于的对称点，连接，则，连接与交于点，当运动到点时，，，三点共线，此时取最小值，即取最小值，则此时的周长最小．过点作，过点作交于点，，

，，连接，，，四边形为矩形，

，，，周长的最小值，故答案为：．【点睛】本题考查了关于移动线段中三角形周长最小值问题，添加合适的辅助线转化为两点间距离问题是解题关键．14．（2023上·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为【答案】【分析】解连接，过作，且，连接．所以四边形是平行四边形，因此，则，即的最小值为，据此解答即可．【详解】解：连接，交于点，过作，且，连接．四边形是平行四边形，，，即的最小值为，四边形是菱形，，，又，在中，，，，在中，，，即的最小值为，故答案为：．【点睛】此题主要考查菱形的性质和轴对称，勾股定理及平行四边形的判定等知识的综合应用．关键是掌握菱形是轴对称图形，菱形对角线互相垂直且平分．15．（2022下·江苏·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为【答案】45【分析】连接，作点D关于直线的对成点T，连接、、．首先证明B、A、T共线，求出，证明四边形EGCD是平行四边形，推出，进而得到，根据，即可解决问题．【详解】解：如图，连接、，作点D关于直线的对成点T，连接、、．∵，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，∴，，，∵，∴，∵D、T关于对称，∴，，∴，∵，∴B、A、T共线，∴，∵，，∴四边形EGCD是平行四边形，∴，∴，∵，∴，∴，则的最小值为45．故答案为：45．【点睛】本题考查轴对称，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会运用转化的思想思考问题．16．（2023·福建·校联考一模）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E、F为矩形内部的两动点，且满足EF∥BC，EF＝4，S四边形BEFC＝26，则BE+EF+FC的最小值等于．【答案】4+．【分析】作EG⊥BC于G，作FH∥BE交BC于H，证出四边形BEFH是平行四边形，得出FH=BE，BH=EF=4，得出CH=BC-BH=5，由梯形面积求出EG=4，若BE+EF+FC最小，则BE+FC=FH+FC最小，作点C关于直线EF的对称点C'，连接HC'交直线EF于F'，则FH+FC的最小值为F'H+F'C=HC'，在Rt△HCC'中，CC'=8，由勾股定理求出HC'，即可得出结果．【详解】作EG⊥BC于G，作FH∥BE交BC于H，如图所示：∵EF∥BC，FH∥BE，∴四边形BEFH是平行四边形，∴FH＝BE，BH＝EF＝4，∴CH＝BC﹣BH＝5，BE+FC＝FH+FC，∵EF∥BC，EF＝4，S四边形BEFC＝26，∴（4+9）×EG＝26，解得：EG＝4，若BE+EF+FC最小，则BE+FC＝FH+FC最小，作点C关于直线EF的对称点C'，连接HC'交直线EF于F'，连接F'C，则FH+FC的最小值为F'H+F'C＝HC'，在Rt△HCC'中，CC'＝4+4＝8，由勾股定理得：HC'＝，∴BE+EF+FC的最小值＝4+；故答案为4+．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、轴对称-最短路线问题、矩形的性质、勾股定理、梯形面积等知识；通过作轴对称得出FH+FC的最小值为F'H+F'C=HC'是解题的关键．17．（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．

【答案】见解析【分析】由于含有固定线段“桥”，需要将点向下平移至点，点向右平移至点，构造平行四边形进行求解即可．【详解】解：如图所示，将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，则，即为两桥的位置．

，【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答．18．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在中，，点D，E分别是的中点．若点M，N分别是和上的动点，则的最小值是______．（2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，才能使从A到B的路径最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河岸的垂线，使，为河宽，连接，与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A到B的路径最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在矩形中，．E、F分别在上，且满足，．若边长为10的正方形在线段上运动，连接，当取值最小时，求的长．

【答案】（1）3；（2）小旭的说法正确，理由见解析；（3）38或14【分析】（1）连接，过点A作于点F，根据两点之间线段最短，可得当时，最短，此时点N与点