人教B版高中数学选择性必修第一册综合测试(一)含答案

全书综合测评(一)全卷满分150分考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知直线2x-by+4=0的斜率等于-12A.1B.2C.4D.12.与双曲线x2A.22B.43.已知☉O1:x2+y2-ax=0(a>0)截直线x-y=0所得线段的长度是22,则☉O1与☉O2:(x-4)2+(y-2)2=1的位置关系是()A.内切B.相离C.外切D.相交4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥底面ABCD,PD=2DC,E为PC上一点,且PC=4EC,则异面直线AC与BE所成角的余弦值为()A.-425.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC的距离与到直线D1C1的距离相等,则动点P的轨迹是()A.线段B.圆弧C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分6.已知抛物线C:y2=4x上一点P(x0,y0),点A(3,21),则y0A.10B.8C.5D.47.设a为实数,若直线l1:ax+y+1=0,l2:x+y+a=0,l3:(a2+a-5)x+3ay+5=0两两相交,且交点恰是直角三角形的三个顶点,则这样的l1,l2,l3有()A.2组B.3组C.4组D.5组8.已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2A.1二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.在平面直角坐标系中,有两个圆C1:(x+2)2+y2=r12和C2:(x-2)2+y2=r22,其中常数r1,r2为正数,且满足rA.椭圆B.双曲线C.直线D.抛物线10.已知椭圆C:x24+y2A.△F1PF2的周长为6B.若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为3C.椭圆C上存在两点,使得∠F1PF2=90°D.111.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC=23AB=2,AB⊥AC,D,E分别是线段BC,B1C上的动点(不含端点),且ECA.ED∥平面ACC1A1B.该三棱柱的外接球的表面积为68πC.异面直线B1C与AA1所成角的正切值为3D.二面角A-EC-D的余弦值为4三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.若直线l:mx+ny-1=0(m,n>0)始终平分圆C:(x-1)2+(y-2)2=4的周长,则2m+113.已知双曲线E:x24−14.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=4,PA=2,D为AB的中点,E为△PAC内的动点(含边界),且PC⊥DE.当E在AC上时,AE=,点E的轨迹的长度为.

四、解答题(本题共5小题,共77分)15.(13分)如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥平面BCE;(2)求二面角E-AC-B的正弦值;(3)求点D到平面ACE的距离.16.(15分)以双曲线C:x2a2(1)求双曲线C的标准方程及其离心率;(2)已知点M,N分别是双曲线C的左、右顶点,过右焦点F作一条斜率为k(k≠0)的直线l,与双曲线交于点A,B,记直线MA,NB的斜率分别为k1,k2.求k117.(15分)从①CD⊥BC;②BC∥平面PAD这两个条件中选一个,补充在下面的横线上,并解答.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=23,E为PB的中点,.

(1)求证:四边形ABCD是直角梯形;(2)求直线AE与平面PCD所成角的正弦值;(3)在棱PB上是否存在一点F,使得AF∥平面PCD?若存在,求出|PF注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(17分)在平面直角坐标系中,直线l:x-3y-4=0交x轴于点M,以原点O为圆心的圆与直线l相切.(1)求圆O的方程;(2)设点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点,若在圆O上存在点P,使得∠ONP=45°,求x0的取值范围;(3)是否存在定点S,对于经过点S的直线a,当a与圆O交于A,B两点时,恒有∠AMO=∠BMO?若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由.19.(17分)已知点A,B在直线l:y=x+2上(B在A的上方),P(2,0),|AB|=2,斜率为k1的直线AP交抛物线Γ:y2=4x于点M,N,直线BP交Γ于点R,S,如图所示.(1)求k1的取值范围;(2)若0<k1<15,求S△MPR·S△SPN

答案与解析全书综合测评(一)1.A2.D3.D4.B5.D6.B7.A8.A9.BC10.ABD11.AD1.A依题意有2b=−12,所以b=-4,于是直线方程为2x+4y+4=0,即2.D设与双曲线x24−∵双曲线x24−y23.D☉O1的标准方程为x-a22+y2=a24(a>0),则圆心O1a2,0,半径r1=a2,∴圆心O1到直线x-y=0的距离d=a22=a24.B以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设PD=2DC=2,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),E0,所以AC=(−1,1,0),所以cos<AC,故异面直线AC与BE所成角的余弦值为42145.D连接PC1,∵几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴D1C1⊥侧面BB1C1C,又PC1⊂侧面BB1C1C,∴D1C1⊥PC1,∴PC1的长为P到直线D1C1的距离,又P到直线BC的距离与到直线D1C1的距离相等,∴PC1的长等于P到直线BC的距离,由抛物线的定义知,动点P的轨迹是抛物线的一部分.6.B由题意得y02=4x0,所以y024=x0,所以y-2.易得抛物线C:y2=4x的焦点为(1,0)(记为F),准线方程为x=-1,连接PF,则|PF|=x0+1,故y022连接AF,易知|PF|+|PA|≥|AF|,当A,P,F三点共线(P在A,F之间)时,|PF|+|PA|取得最小值|AF|=(3-17.A易得直线l1,l2,l3的一个法向量分别为(a,1)(记为n1),(1,1)(记为n2),(a2+a-5,3a)(记为n3),所以a的值必然在集合{a|ni·nj=0,i,j∈{1,2,3},i≠j}={-5,-2,-1,0,1}中.经验证,当a=1时,l1,l2,l3中有重合的直线;当a=0或a=-1时,l1,l2,l3三线共点.所以所求组数为2.故选A.8.A易得A(-a,0),B(a,0),F(-c,0),所以可设直线l的方程为y=k(x+a),k≠0.令x=-c,得y=k(a-c);令x=0,得y=ka,所以|FM|=|k|(a-c),|OE|=|k|a.因为OE∥MF,所以在△BMF中,12|OE||FM|9.BC由题意得,圆C1的圆心为C1(-2,0),半径为r1,圆C2的圆心为C2(2,0),半径为r2,所以|C1C2|=4.设动圆P的半径为r.当r1+r2<4时,C1,C2两圆外离.①若圆C1,C2均内切于圆P,则|PC1|=r-r1,|PC2|=r-r2,此时||PC1|-|PC2||=|r1-r2|,当r1≠r2时,点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线,当r1=r2时,点P的轨迹是线段C1C2的垂直平分线.②若圆C1,C2与圆P均外切,则|PC1|=r+r1,|PC2|=r+r2,此时||PC1|-|PC2||=|r1-r2|,则点P的轨迹与①相同.③若圆C1,C2一个外切于圆P,一个内切于圆P,则当C1内切于圆P,C2外切于圆P时,|PC1|=r-r1,|PC2|=r+r2,|PC2|-|PC1|=r1+r2.同理,当C2内切于圆P,C1外切于圆P时,|PC1|-|PC2|=r1+r2,此时点P的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线.故选BC.10.ABD由椭圆C:x24+y23=1,得a对于A,△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=6,故A正确.对于B,在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,即|F1F2|2=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|,则4=16-3|PF1||PF2|,所以|PF1||PF2|=4,所以△F1PF2的面积为12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=3对于C,当点P位于椭圆的上、下顶点时,∠F1PF2最大,此时|PF1|=|PF2|=2=|F1F2|,所以△F1PF2为等边三角形,故∠F1PF2的最大值为60°,所以椭圆C上不存点P,使得∠F1PF2=90°,故C错误.对于D,12|PF1=14当且仅当|PF2|2|P所以12故选ABD.11.AD在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形BAA1B1是矩形,所以BB1∥AA1,因为ECB1C=DCBC,所以ED∥BB1∥AA1,又ED⊄平面ACC1A1,AA1⊂平面ACC1A因为AA1=AC=23AB=2,所以AB=3,因为AB⊥AC,所以BC=22+32=13,易知△B1BC为直角三角形,所以B1因为AA1∥BB1,所以异面直线B1C与AA1所成的角为∠BB1C,在Rt△B1BC中,BB1=2,BC=13,所以tan∠BB1C=BCB连接AB1,则二面角A-EC-D即锐二面角A-B1C-B,以A为坐标原点,AB,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,2,0),B1(3,0,2),所以AB设平面AB1C的一个法向量为n=(x1,y1,z1),则n令x1=2,则y1=0,z1=-3,所以n=(2,0,-3),设平面BB1C的一个法向量为m=(x2,y2,z2),则m令x2=2,则y2=3,z2=0,所以m=(2,3,0),所以cos<m,n>=m·故二面角A-EC-D的余弦值为413故选AD.12.答案8解析由题意得直线经过圆心(1,2),故m+2n=1,m,n>0,所以2m+1当且仅当4nm=13.答案[6,43]解析设A(x1,y1),B(x2,y2),若点P为线段AB的中点,则x1+x2=8,y1+y2=2t.当直线AB的斜率不存在时,AB⊥x轴,此时t=0(舍去).当直线AB的斜率存在时,由A,B在双曲线上,得x124-y设直线l的方程为y-t=k(x-4),由y-t=k(x-4),x2因为直线与双曲线有两个不同的交点,所以Δ=(24-8k2)2-4(3-k2)(-t2+84-16k2)>0,又k=12t,所以t4-84t2+123>0,所以t>43或0<t<6.所以不存在直线l,使得P是线段AB的中点时,t的取值范围为[6,4314.答案2;2解析根据题意建立空间直角坐标系,如图所示.设CB=2m,则P(0,0,2),C(0,4,0),D(m,2,0),所以PC=(0,4,-2).当E在AC上时,设E(0,t,0)(0≤t≤4),则DE=(-m,t-2,0),又PC⊥DE,所以PC·当E为AC的中点时,作EE'⊥PC于点E',连接DE',因为PC⊥DE,PC⊥EE',又DE∩EE'=E,DE,EE'⊂平面DEE',所以PC⊥平面DEE',所以点E在△PAC内的轨迹为线段EE',因此求出EE'的长度即可.设PE'=λPC=(0,4λ,-2λ),则E'(0,4λ,2-2λ),所以EE'=(0,4λ-2,2-2λ),由EE'⊥PC15.解析(1)证明:因为BF⊥平面ACE,所以BF⊥AE.(1分)因为二面角D-AB-E为直二面角,所以平面ABCD⊥平面ABE.又CB⊥AB,平面ABCD∩平面ABE=AB,CB⊂平面ABCD,所以CB⊥平面ABE,所以CB⊥AE.(3分)又BF∩CB=B,所以AE⊥平面BCE.(4分)(2)取AB的中点O,连接OE,以O为原点,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过点O且平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,如图.(5分)因为AE⊥平面BCE,BE⊂平面BCE,所以AE⊥BE.在Rt△AEB中,AB=2,O为AB的中点,所以OE=1.所以A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),则AE=(1,1,0),设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z),则AE·所以平面ACE的一个法向量是n=(1,-1,1).(8分)易得平面ACB的一个法向量为OE=(1,0,0).cos<OE,n>=OE·n|OE||n|所以二面角E-AC-B的正弦值为63(3)因为AD∥z轴,AD=2,所以AD=(0,0,2),(11分)所以点D到平面ACE的距离d=|AD16.解析(1)易知双曲线C:x2a2因为圆F与y=bax切于点Q43,设F(c,0),则kFQ×ba=-1,即2又c2=a2+b2③,所以由①②③解得c=3,a=2,b=5,(4分)则双曲线C的标准方程为x24−(2)由(1)得M(-2,0),N(2,0),F(3,0),所以直线l的方程为y=k(x-3).(8分)由y=k(x-3),x2所以5-4k2≠0且Δ=(24k2)2+4×(5-4k2设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-24k所以k=−117.解析(1)证明:选择条件①.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,PA⊥CD.∵PA=AD=2,∴PD=22.又∵PC=23,CD=2,∴CD2+PD2=PC2,∴CD⊥PD.(2分)∵PA∩PD=P,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AD.(3分)又∵CD⊥BC,∴AD∥BC.∵AD≠BC,∴四边形ABCD是直角梯形.(5分)选择条件②.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD,PA⊥CD.∵PA=AD=2,∴PD=22.又∵PC=23,CD=2,∴CD2+PD2=PC2,∴CD⊥PD.(2分)∵PA∩PD=P,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AD.(3分)∵BC∥平面PAD,BC⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BC∥AD,又AD≠BC,∴四边形ABCD是直角梯形.(5分)(2)过A作AD的垂线交BC于点M.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AM,PA⊥AD.如图,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),B(2,-1,0),E1,-设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则n·PC=2x+2y设直线AE与平面PCD所成的角为α,∴sinα=|cos<n,AE>|=-(3)存在.设|PF||∴AF=∵AF∥平面PCD,∴AF·n=0,即-λ-2λ+2=0,解得λ=2318.解析(1)原点到直线l的距离d=41+3故圆O的方程为x2+y2=4.(3分)(2)过N作圆O的切线,切点为Q,连接OQ,如图①所示,图①则∠ONQ≥∠ONP=45°,∴sin∠ONQ=|OQ||∴|ON|≤22.∵点N(x0,y0)为直线y=-x+3上一动点,∴x02+y02=x02+(3-x(3)存在定点S(1,0),使得∠AMO=∠BMO恒成立.如图②所示:图②当直线a的斜率存在时,设直线a:y=kx+m(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).由y=kx+m,x2∴x1+x2=-2km由∠AMO=∠BMO,得kAM+kBM=