人教B版高中数学选择性必修第一册1-2-2空间中的平面与空间向量练习含答案

1.2.2空间中的平面与空间向量基础过关练题组一平面的法向量1.(多选题)(2024浙江杭州六县九校联盟期中)已知平面ABC内的两个向量AB=(−A.(3,1,−1)B.(−C.(-3,3,2.(2024广东茂名电白期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为棱DD1的中点,以A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图),则平面ABE的一个法向量为()A.(1,0,-2)B.(0,1,2)C.(0,2,-4)D.(-2,1,4)3.已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12题组二用法向量解决平行问题4.(2024辽宁重点高中协作体期中)已知两个不重合的平面α与平面ABC,若平面α的一个法向量为n=(2,-3,1),向量AB=(1,0,−2),(1,1,1),则()A.平面α∥平面ABCB.平面α⊥平面ABCC.平面α与平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能5.(2023北京通州期中)已知n1=(1,y,-2),n2=(x,-2,1)分别是平面α,β的法向量,若α∥β,则x+y=()A.-92C.3D.76.(2023辽宁葫芦岛期末)已知n为平面α的一个法向量,l为一条直线,则“l⊥n”是“l∥α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点N在线段AC上,点M在线段A1D上,且A1M=2,MN∥平面AA1B1B,则MN的长为()A.2B.C.2D.5题组三用法向量解决垂直问题8.(2024北京顺义第二中学期中)若直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则下列能使l⊥α成立的是()A.u=(2,1,1),n=(-1,1,1)B.u=(1,-2,0),n=(-2,4,0)C.u=(1,2,4),n=(1,0,1)D.u=(1,-1,2),n=(0,3,1)9.(2023河北保定部分学校月考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则下列结论正确的是()A.BD1⊥平面B1EFB.BD⊥平面B1EFC.A1C1∥平面B1EFD.A1D∥平面B1EF10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1的中点,求证:(1)BD1⊥平面AB1C;(2)平面EAC⊥平面AB1C.题组四三垂线定理的应用11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1A12.如图所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD.若在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥QD,则a=.

13.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,若O,Q分别是△ABC,△PBC的垂心,求证:OQ⊥平面PBC.能力提升练题组一利用空间向量研究平行、垂直问题1.(多选题)(2024福建福州闽江口协作体期中)在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BB1的中点,22AA1=AB=BC,AA1A.平面ABC1⊥平面ACC1A1B.平面A1BC⊥平面ABC1C.A1D∥平面ABC1D.A1D⊥AC12.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是线段AD的中点,动点P在底面正方形ABCD内(不包括边界),若直线B1P∥平面A1BM,则|C1P|的取值范围是3.(2024山西大同期中)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2AC=4,AA1=23,AB⊥AC,AD⊥BC1,垂足为D,E为线段A1B上一点.(1)若E为线段A1B的中点,证明:DE∥平面ABC;(2)若平面ADE⊥平面A1BC1,求A1题组二利用空间向量解决立体几何中的探索性问题4.如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,E,F,G分别是BC,PC,CD的中点.(1)求证:BG⊥平面PAE;(2)在线段BG上是否存在点H,使得FH∥平面PAE?若存在,求出BHBG5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC=BC=AA1=1,AC⊥BC,且D,E,F分别为棱AB,BC,AC的中点.(1)证明直线A1F与B1E共面,并求其所成角的余弦值;(2)在棱CC1上是否存在点M,使得DM⊥平面A1B1EF?若存在,求出CMC

答案与分层梯度式解析1.2.2空间中的平面与空间向量基础过关练1.BC2.C4.A5.D6.B7.A8.B9.C11.B1.BC设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),则AB·n=-3x+y-4z=0,CB·n=22.C易得A(0,0,0),E(0,2,1),B(2,0,0),所以AE=(0,2,1),设平面ABE的一个法向量为m=(x,y,z),则m·AE=2y+z=0所以平面ABE的一个法向量为m=(0,1,-2),所以2m=(0,2,-4)也是平面ABE的一个法向量.故选C.3.解析由已知得SA,AB,AD两两垂直,∴以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.∵SA=AB=BC=1,AD=12∴S(0,0,1),A(0,0,0),C(1,1,0),D12∴SD=易知平面SAB的一个法向量为AD=设平面SDC的一个法向量为m=(x,y,z),则m·∴平面SDC的一个法向量为m=(2,-1,1).解后反思求解平面的法向量时,如果题目中已经给出坐标,可以直接利用坐标运算来求解法向量,如果题目中未给出坐标,需先分析条件,利用共点的相互垂直的三条直线建立恰当的空间直角坐标系,再利用坐标运算求解法向量.4.A因为n·AB=0,n·AC=0,AB∩AC=A,所以n也是平面ABC的一个法向量,又平面α与平面ABC不重合,所以平面α与平面ABC平行.故选A.5.D∵α∥β,∴n1∥n2,∴1x=y-26.B若l⊥n,则l在平面α内或l∥α.若l∥α,则l⊥n.故“l⊥n”是“l∥α”的必要不充分条件.故选B.7.A以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,所以D(0,0,0),A(2,0,0),则平面AA1B1B的一个法向量为DA=(2,0,0).因为A1M=2,A1D=2因为点N在线段AC上,所以设N(m,2-m,0)(0≤m≤2),则MN=(m-1,2-m,-1).因为MN∥平面AA1B1B,所以DA⊥则2(m-1)=0,所以m=1,所以MN=(0,1,-1),所以MN=|MN|=8.B若l⊥α,则u∥n.故选B.9.C以D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示.设正方体的棱长为2,则B1(2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),D(0,0,0),所以EF−2,2),DB设平面B1EF的一个法向量为m=(x,y,z),则m·所以m=(2,2,-1).因为BD1与m不平行,所以BD1与平面B因为DB与m不平行,所以BD与平面B1EF不垂直,故B错误;因为A1C1·m=0,且A1C1⊄平面B1EF,所以A1C1∥平面B1因为DA1·m=2≠0,所以A1D与平面B10.证明以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则E(0,0,1),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),B(2,2,0),D1(0,0,2).(1)易得AC=(−2,2,0),设平面AB1C的一个法向量为m=(x,y,z),则m·∴m=(1,1,-1)是平面AB1C的一个法向量.∵BD1=-2m,∴BD1∥m,∴BD(2)易得AE=(-2,0,1).设平面EAC的一个法向量为n=(x',y',z'),则n·∴n=(1,1,2)是平面EAC的一个法向量.由(1)知m=(1,1,-1)是平面AB1C的一个法向量.∵m·n=1+1-2=0,∴平面EAC⊥平面AB1C.11.B直线CE在平面ABCD内的射影为AC,又AC⊥BD,∴BD⊥CE,故选B.12.答案2解析连接AQ,∵PA⊥平面ABCD,∴AQ是PQ在平面ABCD内的射影.由PQ⊥QD,得AQ⊥QD,则△AQD为直角三角形.设BQ=x,则CQ=a-x,∴AQ2=1+x2,QD2=1+(a-x)2,则a2=1+x2+1+(a-x)2,整理得x2-ax+1=0.由题意知,该方程有两个相等的实数根,∴Δ=a2-4=0.又∵a>0,∴a=2.13.证明如图,连接AO并延长,交BC于点E,连接PE.∵PA⊥平面ABC,AE⊥BC(由于O是△ABC的垂心),∴PE⊥BC(三垂线定理),∴点Q在PE上.∵AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E,∴BC⊥平面PAE,∵OQ⊂平面PAE,∴BC⊥OQ.①连接BO并延长,交AC于点F,则BF⊥AC.连接BQ并延长,交PC于点M,则BM⊥PC.连接MF.∵PA⊥平面ABC,BF⊥AC,∴BF⊥PC(三垂线定理).∵BM⊥PC,BF⊥PC,BM∩BF=B,∴PC⊥平面BMF,∵OQ⊂平面BMF,∴PC⊥OQ.②由①②知,OQ⊥平面PBC.能力提升练1.ABC易得BB1,BA,BC两两垂直,故以点B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AA1=22,所以AB=BC=2,则A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0),D(0,0,2),A1(2,0,2设平面ABC1的一个法向量为u=(x1,y1,z1),则u·BA=2x1=0,u·设平面ACC1A1的一个法向量为m=(x2,y2,z2),则m·AA1=2设平面A1BC的一个法向量为n=(x3,y3,z3),则n·BC=2y3=0,n·对于A,因为u·m=2≠0,所以平面ABC1与平面ACC1A1不垂直,A中结论错误;对于B,因为u·n=1≠0,所以平面A1BC与平面ABC1不垂直,B中结论错误;对于C,因为A1D·u=2≠0,所以A1D与平面ABC1不平行,对于D,因为AC1·A1D=4-4=0,所以AC2.答案30解析以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则M12设P(x,y,0)(0<x<1,0<y<1),则B1设平面A1BM的一个法向量为n=(x1,y1,z1),则n令x1=2,则y1=z1=-1,∴n=(2,-1,-1).若B1P∥平面A1BM,则n⊥B1P,即n·∴C1∴|C∵0∴305≤|3.解析(1)证明:连接AC1,易得AC1=AC2+CC12=4,∴AC又E为A1B的中点,∴DE∥A1C1.∵AC∥A1C1,∴DE∥AC,又DE⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,∴DE∥平面ABC.(2)以A为坐标原点,AC,则A(0,0,0),C1(2,0,23),A1(0,0,2设A1E=λA1设平面A1BC1的一个法向量为n=(x1,y1,z1),则A1C1·n=2x设平面ADE的一个法向量为m=(x2,y2,z2),则AE取z2=-2λ,得m=(43λ−2∵平面ADE⊥平面A1BC1,∴n·m=3-3λ-4λ=0,解得λ=37∴当平面ADE⊥平面A1BC1时,A14.解析因为四棱锥P-ABCD的底面是正方形,且PA⊥平面ABCD,所以PA,AB,AD两两互相垂直.以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),E(2,1,0),F(1,1,1),G(1,2,0).(1)证明:BG=(−1,2,0),因为BG·又AE∩AP=A,AE,AP⊂平面PAE,所以BG⊥平面PAE.(2)假设在线段BG上存在点H,使得FH∥平面PAE.连接FB.设BH=λBG(0≤λ≤1),则因为FH∥平面PAE,BG⊥平面PAE,所以BG·FH=-1×(1-λ)+2×(2λ-1)+0×(-1)=5λ-3=0,所以λ=355.解析(1)∵E,F分别是棱BC,AC的中点,∴EF∥AB.由棱柱的性质易得A1B1∥AB,∴EF∥A1B1,∴E,F,A1,B1四点共面,即直线A1F与B1E共面.取A1B1的中点H,连接E