一元一次方程应用1

一元一次方程》全章复习与巩固学习目标

1．理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系；

2．会解一元一次方程，并理解每步变形的依据；

3．会根据实际问题列方程解应用题．要点一、一元一次方程的概念二、等式的性质与去括号法则三、一元一次方程的解法四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．要点二、等式的性质与去括号法则1．等式的性质：

等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．

要点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程＝速度×时间2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数6.数字问题：多位数的表示方法：例如：．

【总结升华】凡是分母中含有未知数的方程一定不是一元一次方程有时需要对方程进行等价变形后再判断．【总结升华】由于两个方程的解相同，所以可以将其中一个方程的解代入另一个方程中，从而求得问题的答案．类型二、一元一次方程的解法

解：去分母，得3(y+2)-2(3-5y)＝12

去括号，得3y+6-6+10y＝12

合并同类项，得13y＝12

未知数的系数化为1，得将(x+1)及(x-1)看作一个整体，并移项合并同类项，解答十分巧妙，可免去去分母的步骤及简化去括号的过程．

(x-4)(278+463×2-888×7)＝0【变式】解方程：278(x-4)-463(8-2x)-888(7x-28)＝0解：原方程可化为278(x-4)+463×2(x-4)-888×7(x-4)＝0

x-4＝0

x＝4类型三、一元一次方程的应用

5．(南京)甲车从A地出发以60km／h的速度沿公路匀速行驶，0.5h后，乙车也从A地出发，以80km／h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车．

解：设乙车出发后x小时追上甲车

依题意得60×0.5+60x＝80x

解得x＝1.5．答：乙车出发后1.5小时追上甲车．【总结升华】此题的等量关系为：甲前0.5h的行程+甲后来的行程＝乙的行程．

6.(南昌)剃须刀由刀片和刀架组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换)和新式剃须刀(刀片可更换)．有关销售策略与售价等信息如下表所示：某段时间内，甲厂家销售了8400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍，问这段时间内乙厂家销售了多少把刀架?多少片刀片?解：设这段时间内乙厂家销售了x把刀架．依题意，得(0.55-0.05)·50x+(1-5)x＝2×(2.5—2)×8400，解得x＝400．

销售出的刀片数：50×400＝20000(片)．甲厂家利润×2＝乙厂家利润．

【变式】某文具店为促销X型计算器，优惠条件是一次购买不超过10个，每个38元，超过10个，超过部分每个让利2元(即每个36元)，问李老师用812元共买了多少个？

解：设李老师用812元共买了x个，依题意可得：1．已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m是关于x的一元一次方程，求m和x的值．解：因为方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m是关于x的一元一次方程，

所以3m-4＝0且5-3m≠0．

【总结升华】按照一元一次方程的定义．方程是关于x的一元一次方程，就是说x的二次项系数3m-4＝0，而x的一次项系数5-3m≠0，m的值必须同时符合这两个条件．【总结升华】因为两方程的解相同，可把a看做已知数，分别求出它们的解，令其相等，转化为求关于a的一元一次方程．类型二、一元一次方程的解法

解：去分母，得：

2(4-6x)-6＝3(2x+1)．

去括号，得：8-12x-6＝6x+3．

移项，合并同类项，得：-18x＝1．

解：把方程两边含有分母的项化整为零，得系数化为1得：z＝1．4．解方程3{2x-1-[3(2x-1)+3]}＝5．解：把2x-1看做一个整体．去括号，得：

3(2x-1)-9(2x-1)-9＝5．

合并同类项，得-6(2x-1)＝14本题也可以考虑换元法：设2x-1＝a，则原方程化为3[a-(3a+3)]＝5．类型三、特殊的一元一次方程的解法分类讨论

2．解含绝对值的方程

6.解方程|x-2|＝3．解：当x-2≥0时，原方程可化为x-2＝3，得x＝5．当x-2＜0时，原方程可化为-(x-2)＝3，得x＝-1．所以x＝5和x＝-1都是方程|x-2|＝3的解．【总结升华】如图所示，可以看出点-1与5到点2的距离均为3，所以|x-2|＝3的意义为在数轴上到点2的距离等于3的点对应的数，即方程|x-2|＝3的解为x＝-1和x＝5．类型四、一元一次方程的应用

7．李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?

【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变．解：设李伟从家到火车站的路程为y千米，则有：李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为x千米/时,则有：8.黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：①门票每人60元，无优惠；②上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座车每人10元．公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为4920元时，问公司租用的四座车和十一座车各多少辆?【总结升华】“公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为4920元”

【变式】某商品进价2000元，标价4000元，商店要求以利润率不低于20%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？实际问题与一元一次方程要点二、常见列方程解应用题的几种类型1．和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．2．行程问题

（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间

（2）基本类型有：

①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．

②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；

Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．3．工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：

（1）总工作量=工作效率×工作时间；

（2）总工作量=各单位工作量之和．4．调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．

类型一、和差倍分问题

1.2011年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米?设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水(5.8-x)亿立方米依题意，得5.8-x＝3x+0.6

解得x＝1.35.8-x＝5.8-1.3

＝4.5（亿立方米）【总结升华】相等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量＝5.8亿立方米【变式】(麻城期末考试)麻商集团三个季度共销售冰箱2800台，第一个季度销售量是第二个季度的2倍．第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台?解：设第二个季度麻商集团销售冰箱x台，则第一季度销售量为2x台，第三季度销售量为4x台，依题意可得：x+2x+4x＝2800，

解得：x＝400

类型二、行程问题1.一般问题

2．小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米?

解：设小山娃预订的时间为x小时，由题意得：

4x+0.5＝5(x-0.5)，解得x＝3．所以4x+0.5＝4×3+0.5＝12.5(千米)．

．

【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量．【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时，下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度．2.相遇问题（相向问题）

3．A、B两地相距100km，甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行，甲的速度是23km/h，乙的速度是21km/h，甲骑了1h后，乙从B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？解:设甲经过x小时与乙相遇.

解得，x=2.75【总结升华】等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100km【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走2.5km，求甲、乙每小时各行驶多少千米?

解：设乙每小时行驶x千米，则甲每小时行驶(x+2.5)千米，

根据题意，得：3.追及问题（同向问题）

4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍?解：设通讯员x小时可以追上学生队伍，根据题意，【总结升华】追及问题：路程差=速度差×时间，此外注意：方程中x表示小时，18表示分钟，两边单位不一致，应先统一单位．4.航行问题（顺逆流问题）

5．一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离．解法1：设船在静水中速度为x千米/时，则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时，逆水航行的速度为(x-4)千米/时，由两码头的距离不变得方程：

3(x+4)＝5(x-4)，解得：x=16，（16+4）×3=60（千米）【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．类似地，当物体在空中飞翔时，常会遇到顺风逆风问题，解题思路类似顺逆流问题．类型三、工程问题

6．一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池；甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池?

解：设乙管还需x小时才能注满水池．x＝9．【总结升华】工作效率×工作时间=工作量，如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1”【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?解：设乙中途离开x天，由题意得:类型四、调配问题（比例问题、劳动力调配问题）

7．星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750m长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套?

【总结升华】用同一未知数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：上衣总件数＝裤子的总件数．

解：设从甲队调出x人到乙队.由题意得，实际问题与一元一次方程（二）(基础)类型一、利润问题1．以现价销售一件商品的利润率为30%，如果商家在现有的价格基础上先提价40%，后降价50%的方法进行销售，商家还能有利润吗？为什么？解：设该商品的成本为a元，则商品的现价为(1+30%)a元，依题意其后来折扣的售价为(1+30%)a·(1+40%)(1-50%)=0.91a.【总结升华】分清售价、进价、数量、利润之间的关系【变式1】某个商品的进价是500元，把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出打几折？解：设该商品打x折，依题意，则：解：设李明上次购买书籍的原价为x元，由题意得：

0.8x+20＝x-12，

解这个方程得：x＝160．

类型二、存贷款问题2．爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄，年利率为2.7％，五年后取出本息和为17025元，爸爸开始存入多少元.

解：设爸爸开始存入x元.根据题意，

x＋x×2.7％×5＝17025.解之，得x＝15000【总结升华】本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×期数．类型三、数字问题

3．一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍，百位、个位上的数的和比十位上的数大2，又个位、十位、百位上的数的和是14，求这个三位数.

【总结升华】：（1）求的是一个三位数，而不是三个数；（2）这类应用题，一般设间接未知数，切勿求出x就答；(3)三位数字的表示方法是百位上的数字乘以100，10位上的数字乘以10，然后把所得的结果和个位数字相加．解：设百位上的数为x，则十位上的数为2x，个位上的数为14-2x-x

由题意得：x+14-2x-x=2x+2

解得：x=3

∴x=3，2x=6，14-2x-x=5【变式】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大4，这个两位数又是这两个数字的和的4倍，求这个两位数.类型四、方案设计问题

4．为鼓励学生参加体育锻炼．学校计划拿出不超过1600元的资金再购买一批篮球和排球．已知篮球和排球的单价比为3:2，单价和为80元．

(1)篮球和排球的单价分别是多少元?

(2)若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的篮球数量不少于26个．请探究有哪几种购买方案?

解：(1)设篮球和排球的单价分别为3x元和2元．依题意3x+2x＝80，

解得x＝16

即

3x＝48，

2x＝32

由列表可知，共有三种购买方案：

方案一：购买篮球26个，排球10个；

方案二：购买篮球27个，排球9个；

方案三：购买篮球28个，排球8个．【总结升华】本例设未知数的方法很独特，值得借鉴．采用列表的方法探索方案，值得学习．【变式】(武昌区期末调考)某校组织10位教师和部分学生外出考察，全程票价为25元，对集体购票，客运公司有两种优惠方案可供选择：方案一：所有师生按票价的88%购票；方案二：前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票．(1)若有30位学生参加考察，问选择哪种方案更省钱?(2)参加考察的学生人数是多少时，两种方案车费一样多?

解：设有x位学生参加考察．

按方案一购票费用为：25×88%(10+x)＝22x+220

按方案二购票费用为：20×25+25×80%(x+10-20)＝20x+300

(1)当x＝30时：

22x+220＝660+220＝880(元)

20x+300＝600+300＝900(元)

(2)设22x+220＝20x+300，解得：x＝40类型一、利润问题1．文星商店以每支4元的价格进100支钢笔，卖出时每支的标价6元，当卖出一部分钢笔后，剩余的打9折出售，卖完时商店盈利188元，其中打9折的钢笔有几支?

解：设打折的钢笔有x支，则有：

6(100-x)+6×90%x＝100×4+188此外还可以列方程：(6-4)(100-x)+(6×0.9-4)x＝188，这是以利润作为相等关系来构建方程的，其结果一样．【变式】某种商品的标价为900元，为了适应市场竞争，店主打出广告：该商品九折出售，并返100元现金.这样他仍可获得10%的利润率（相对于进货价），问此商品的进货价是多少？（用四舍五入法精确到个位）解：设此商品的进货价为x元，依题意，得：

(900×0.9-100)-x=10%x，类型二、存贷款问题

2．某公司从银行贷款20万元，用来生产某种产品，已知该贷款的年利率为15%(不计复利)，每个产品成本是3.2元，售价是5元，应纳税款为销售款的10%．如果每年生产10万个，并把所得利润(利润＝售价－成本－应纳税款)用来偿还贷款，问几年后能一次性还清?解：设x年后能一次性还清贷款，根据题意，

得(5-3.2-5×10%)·10x＝20+20×15%x．【总结升华】解答本题利用了类比的数学方法，把贷款与存款相类比，贷款金额相当于存款本金，贷款的年利率相当于存款的年利率，每年产品的利润＝售价－成本－应纳税款，产品的总利润等于本息和．【变式】小华父母为了准备她上大学时的16000元学费，在她上初一时参加教育储蓄，准备先存一部分，等她上大学时再贷一部分.小华父母存的是六年期（年利率为2.88%），上大学贷款的部分打算用8年时间还清（年贷款利息率为6.21%），贷款利息的50%由政府补贴.如果参加教育储蓄所获得的利息与申请贷款所支出的利息相等，小华父母用了多少钱参加教育储蓄？还准备贷多少款？解：设小华父母用x元参加教育储蓄，依题意，

x×2.88%×6=(16000-x)×6.21%×8×50%,

解得,x≈9436(元)

16000-9436=6564(元).类型三、数字问题3．一个两位数，十位数字比个位数字的4倍多1，将这两个数字调换顺序所得的数比原数小63，求原数．解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为4x+1．根据题意得：

10(4x+1)+x＝10x