人教B版高中数学必修第二册6-2-1向量基本定理练习含答案

6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.1向量基本定理基础过关练题组一对共线向量基本定理的理解及应用1.平面向量a,b共线的充要条件是()A.a,b方向相同B.a,b两向量中至少有一个为零向量C.∃λ∈R,使b=λaD.存在不全为零的实数λ1,λ2,使得λ1a+λ2b=02.(2024广东广州期中)已知向量a与b不共线.(1)若AB=a+7b,BC=3a+4b,DC=a-10b,证明A,B,D三点共线;(2)若a+kb与(k+1)a+b共线,求实数k的值.题组二对平面向量基本定理的理解3.下列说法中正确的是()①一个平面内只有一对不共线向量可组成该平面内向量的基底;②一个平面内有无数对不共线向量可组成该平面内向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量.A.①②B.②③C.①③D.①②③4.(多选题)(2023山东潍坊高密第三中学月考)如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是()A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个C.若λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)D.若存在实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=05.(2024山东日照期中)设{e1,e2}是平面内向量的一组基底,则下列不能组成平面内向量的一组基底的是()A.e2和e1+e2B.e1和e1-e2C.2e1-4e2和-e1+2e2D.e1+2e2和2e1+e2题组三用基底表示向量6.(2022山东新泰第一中学质检)若OP1=a,OP2=b,P1P=λPA.a+λbB.λa+(1-λ)bC.λa+bD.11+λa+7.(2024福建三明期中)如图,在平行四边形ABCD中,E是CD的中点,AE和BD相交于点F.记AB=a,AD=b,则()A.CF=−23a-13bB.CFC.CF=−13a-23bD.CF8.(2023山东滨州期末)在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=4CD,点E在线段CB上,且CE=3EB,设AB=a,AD=b,则AE=()A.58a+12bB.54aC.1316a+14bD.138a9.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD=()A.a-12bB.12aC.a+12bD.12a题组四平面向量基本定理的应用10.(2024山西运城期中)如图,在△ABC中,AD=13A.111.(2024河南郑州期中)在△ABC中,D是CB延长线上一点,E是AD的中点.若CB=3BD,λABA.λ=2μB.λ=-2μC.μ=2λD.μ=-2λ12.(2024江苏南通期中)如图,△BCD与△ABC的面积之比为2∶1,点P是四边形ABDC内任意一点(含边界),且AP=λAB+μACA.[0,1]B.[0,2]C.[0,3]D.[0,4]13.(多选题)(2023广东广州协和中学期中)在等边三角形ABC中,BD=A.ADC.AF14.(2023湖北华中师大一附中期中)在△ABC中,点D满足BD=34BC,当点E在线段AD上移动时,若AE=λAB+μAC,则t=(λ-1)215.(2024辽宁葫芦岛期中)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,AB=2BC=2CD=2DA,M为线段BC的中点,AM与BD交于点N,P为线段CD上的一个动点.(1)用AB和(2)求ANNM(3)设AC=xDB+yAP能力提升练题组一共线向量定理的应用1.已知向量a,b,c中的任意两个都不共线,但a+b与c共线,b+c与a共线,则a+b+c=()A.aB.bC.cD.02.(多选题)(2023河南省实验中学月考)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若BM=2B.若AM=2C.若点M是△ABC的重心,则MA+D.若AM=xAB+yAC且x+y=13,则3.如图,在平行四边形ABCD中,AE=12ED,DF=3FC,AF与BE相交于点G,若AF=λAG4.(2024四川绵阳检测)如图,在△ABC中,AD=2DB,P为CD上一点,且满足AP=mAC+1题组二平面向量基本定理的应用5.(2022山东烟台栖霞第一中学月考)数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示,在“赵爽弦图”中,若BC=a,BA=b,BE=3EF,则A.1225a+925bB.1625a+1225bC.45a+35b6.(2024福建福州检测)在△ABC中,BC=3BD,CF=2FAA.377.(2024山东德州期中)已知△ABC中,M为BC边上一个动点,若AM=xAB+3yAC(x,y∈R),则8.(2023重庆辅仁中学质检)如图,在△ABC中,AE=(1)若AO=mAB+nAC(2)设△ABC的面积为S,△OBC的面积为S',求S'

答案与分层梯度式解析6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.1向量基本定理基础过关练1.D3.B4.AD5.C6.D7.A8.C9.D10.A11.A12.C13.ABC1.D对于A,向量a,b共线⇒/a,b方向相同.对于B,向量a,b共线⇒/a,b两向量中至少有一个为零向量.对于C,当a=0,b≠0时,a,b共线,但不存在λ∈R,使得b=λa.对于D,若a=0,则存在λ1≠0,λ2=0,使得λ1a+λ2b=0,若a≠0,则由a,b共线,知存在实数λ,使得b=λa,即λa-b=0,符合λ1a+λ2b=0的形式,必要性成立;当存在不全为零的实数λ1,λ2,使得λ1a+λ2b=0时,不妨设λ2≠0,则b=-λ1λ2a,即a,b共线,充分性成立.2.解析(1)证明:∵BD=BC+CD=2a+14b=2AB,∴(2)设λ(a+kb)=(k+1)a+b,λ∈R,即λa+λkb=(k+1)a+b,则λ=3.B同一个平面内任意两个不共线的向量都可以组成该平面内向量的基底,故①是错的,②③是正确的,故选B.4.AD由平面向量基本定理可知A、D正确;对于B,由平面向量基本定理可知,如果一个平面内向量的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的;对于C,当λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个.故选AD.5.C对于A,令e2=m(e1+e2),m∈R,则m=0,m=1,故m不存在,∴e2,e1+对于B,令e1=n(e1-e2),n∈R,则-n=0,n=1,故n不存在,∴e1,e1对于C,∵2e1-4e2=-2(-e1+2e2),∴2e1-4e2和-e1+2e2共线,即不能组成平面内向量的一组基底,C符合题意;对于D,令e1+2e2=t(2e1+e2),t∈R,则2t=1,t=2,无解,故t不存在,∴e1+2e2,2e16.D∵P1∴(1+λ)OP=∴OP=11+λO7.A在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AE和BD相交于点F,所以△ABF∽△EDF,又E是CD的中点,所以DFBF=DE所以CF=CD+DF=−8.C因为AB∥CD,AB=4CD,所以DC=因为CE=3EB,所以BE=则AE=AB+BE=故选C.9.D连接OC,OD,CD,如图,由点C,D是半圆弧的两个三等分点,可得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,则△OAC和△OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形,所以四边形OACD为菱形,所以AD=AO+AC故选D.10.A∵AD=又AP=m∵B,P,D三点共线,∴m+2311.ABE=12又λAB+μ12.C根据题意,将图形特殊化,设AD垂直平分BC于点O,因为△BCD与△ABC的面积之比为2∶1,所以DO=2AO,当点P与点A重合时,AP=0,此时λ=μ=0,所以λ+μ的最小值为0;当点P与点D重合时,AP=3AO=3×13.ABC对于A,∵BD=DC,∴∴AD=12(对于B,∵EC=2∴BE=BA+AE对于C,由E,F,B三点共线,可设AF=λAE+(1−λ)AB由A,F,D三点共线,可设AF=xAD=1则1∴AF=14AB对于D,BF=14.答案9解析由题可知,在△ABC中,BD=∴AD=由点E在线段AD上移动,可设AE=kAD,0≤k∴AE=又AE∴t=(λ-1)2+μ2=k4-12+3∴当k=25时,t取得最小值,最小值为515.解析(1)易得AM=AB因为M为线段BC的中点,所以CM=−①+②得2AM=所以AM=(2)设AN=tAM=t3因为B,N,D三点共线,所以3t4+所以AN=45(3)由题意,可设DP=mAB0≤又AC=所以x+ym=所以xy=(y-1)y=y2-y=y-因为0≤m≤12,所以1≤y≤3易知g(y)=y-所以当y=1时,g(y)取最小值,即(xy)min=0,当y=32时,g(y)取最大值,即(xy)max=34,所以xy的取值范围为能力提升练1.D2.ACD5.B6.A1.D依题意,设a+b=mc,b+c=na(m,n∈R),则有(a+b)-(b+c)=mc-na,即a-c=mc-na,所以(1+m)c=(1+n)a.又a与c不共线,所以1+故a+b=-c,即a+b+c=0.故选D.2.ACD对于A,BM=23BC⇒AM−对于B,若M,B,C三点共线,则存在唯一实数λ,使得MB=λ则AB−AM=λ(AC∵AM=2对于C,如图,延长AM,交BC于点D,∵M是△ABC的重心,∴D是BC的中点,则MB+∴MA+MB+MC对于D,∵AM=xAB+y∴3AM=3x设AE=3AM,则由AE=3AM可知ME=23AE,故△MBC的面积是△ABC面积的233.答案15解析取AB=a,AD=b,{a,b}作为平行四边形所在平面内向量的一组基底.由题知AG=1λAF=因为E,G,B三点共线,所以可设EG=μEB,μ∈(0,1),则AG=AE+EG所以34λ=μ且1λ4.答案1解析因为AD=2DB,所以AB=又C,P,D三点共线,所以m+34=1,解得m=15.BBF==BC+∴BF=1625BC+6.A如图,因为BC=3BD,所以BD=因为A,P,D三点共线,所以AP=λAD=2因为CF=2FA,所以因为E是AB的中点,所以AE=因为E,P,F三点共线,所以AP=kAE+(