人教版数学中考复习：圆的切线证明题专项训练

人教版数学中考专题复习：圆的切线证明题专项训练

I.如图，在R3ABC中，/B=90。，平分N84C交BC于点。，点E在AC上，以AE为直径的G)。经

过点D.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若NC=30。，且CO=36,试求阴影部分的面积.

2.如图，在RdABC中，/C=90。，平分NBAC交BC于点。，。为AB上一点,经过点4.。的。0

分别交48,AC于点E,F.

(1)求证：BC是。。的切线;

⑵若BE=8,sinB~—,求。。的半径;

(3)求证：A^AB-AF.

3.如图，A8是。。的直径，。为。。上一点，点E为BO的中点，点C在3A的延长线上，且

NCDA=NB.

(1)求证：8是。。的切线；

(2)若。E=2,NBDE=30°,求0C的长.

4.如图，。。的弦48、CD交于点E,点A是CD的中点，连接AC、BC,延长0c到点P,连接PB.

⑴若PB=PE,判断P8与。。的位置关系，并说明理由.

(2)若AC2=2A0,求证：点E是AB的中点.

5.如图，在mAABC中，ZBAC=90°,以40为直径的。。与边BC有公共点E,JiAB=BE.

BEC

(1)求证：BC是。0的切线；

⑵若BE=3,BC=7,求。。的半径.

6.如图，48为。。直径，。为O。上一点，BC工CD于点C,交。。于点E,C。与B4的延长线交于点

F,80平分NABC.

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若AB=3,BC=2,求B。的长.

7.如图，四边形ABCQ内接于(DO,AB是。。的直径，点P为CA的延长线上一点，ZCAD=45°.

(1)若A8=8,求图中阴影部分的面积；

(2)若BC=A。，AD=AP,求证：P。是。。的切线.

8.如图，在AABC中，A3=AC,点。在BC上，BD=DC,过点。作。ELAC,垂足为E,。。经过A,

B,D三点.

EC

(1)证明：AB是。0的直径

(2)试判断DE与。0的位置关系，并说明理由；

(3)若OE的长为3,NBAC=60。，求。。的半径.

9.如图，在RSABC中，ZACB=90°,E是BC的中点，以AC为直径的。。与AB边交于点。，连接

DE.

(1)求证：OE是OO的切线;

(2)若CD=3cm,£>£=^cm,求。。直径的长.

10.如图，点。在。。的直径AB的延长线上，点C在。。上，且AC=CD,NA8=120。.

(1)求证：co是。0的切线；

(2)若。。的半径为2,求图中阴影部分的面积.

11.如图，在△A8C中，AB=AC,以AB为直径的。。与BC相交于点。，DELAC^E.

(1)求证：QE是。。的切线；

(2)若。O的半径为5,BC=16,求OE的长.

12.如图，A8是。O的直径，C、。是。O上的点，8。平分N4BC,DEA.BE,OE交BC的延长线于点

E.

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)如果CE=1,AC=2不，求。。的半径r.

13.如图，AB是的直径，点C、G为圆上的两点，当点C是弧BG的中点时，C。垂直直线AG,垂

足为。，直线OC与A8的延长线相交于点P,弦CE平分NACB,交AB于点F,连接8E.

(1)求证：OC与。。相切；

(2)求证：PC=PF；

(3)若tanE=g,BE=6求线段P尸的长.

14.如图，。。是四边形ABC。的外接圆，AC是。。的直径，BE1DC,交OC的延长线于点E,CB平分

ZACE.

(1)求证：BE是。。的切线.

(2)若AC=4,CE=1,求tanNBAO.

15.如图，A3为。。的直径，射线A。交(DO于点F,C为B尸的中点，过点C作CELAO,连接AC.

(1)求证：CE是。。的切线；

(2)若NBAC=30。，AB=4,求阴影部分的面积.

16.如图，是AABC的外接圆，且4B=4C,四边形ABC。是平行四边形，边C。与。。交于点E,连

接AE.

(l)^ijEA^BC^AAD£；

(2)求证：AQ是。。的切线.

17.己知：如图，在AABC中，AB=AC.以A8为直径的。。交BC于点。，过点。作DE_LAC于点

⑴求证：OE与相切；

(2)延长£>£：交8A的延长线于点F,若AB=6,sinB=^y-,求线段AF的长.

18.如图，RSABC中，ZABC=90°,点E为BC的中点，连接

(1)求证：OE是半圆。。的切线；

(2)若NBAC=30°,DE=2,求AO的长.

19.如图，AB是。0的直径，点E是劣弧AO上一点，NPBD=NBED,且。E=也，BE平分NABD,

BE与AD交于点F.

(1)求证：BP是。。的切线；

(2)若tan/OBE=y±,求EF的长；

3

(3)延长£>E,BA交于点C,若C4=A。，求。。的半径.

20.如图，在RAOAB中，NAOB=90。，OA=OB=4,以点。为圆心、2为半径画圆，过点A作。。的

切线，切点为P，连接OP.将OP绕点。按逆时针方向旋转到0〃时，连接AH,BH.设旋转角为a(0。

<a<360°).

(1)当a=90。时，求证：8”是。。的切线；

(2)当8”与。。相切时，求旋转角a和点，运动路径的长；

(3)当面积最小时，请直接写出此时点“到AB的距离.

参考答案:

I.

(1)

连接OD,

是/B4C的平分线，

NDAB=ZDAO,

'：OD=OA,

：.ZDAO=ZODA,

则/D4B=/OD4,

.".DO//AB,而。。=90。,

.../。。8=90。，

...BC是。。的切线；

(2)

连接。E、OD、DF、OF,设圆的半径为R,

VZC=30°,CD=36

：.OZ)=CZ>tan30o=3斤走=3,

3

VZDAB=ZDAE=30°,

:.DE=DF,

VZDOE=60°,

：.ZDOF=60°,

：.ZFOA=60°,

C./XOFD.△。物是等边三角形,

：.DF//AC,

2.

⑴

证明：如图，连接on,

,/OA=OD,

：.ZODA=ZOAD,

平分NBAC,

.'.ZOAD=ZCAD,

：.ZODA^ZCAD

：.OD//AC,

VZC=90°,

ZO£>B=ZC=90°,

又是。。的半径,

是。。的切线；

⑵

解：•;NBDO=90。，

OPOP5

...在Rt/k8。。中，sinB=—

BOBE+OD~S+ODT3

解得8=5,

故。。的半径为5；

(3)

证明：如图：连接EF,

•；AE是直径,

・・・ZAFE=900=ZACBf

：.EFIIBC,

:.ZAEF=ZB,

又丁ZAEF=ZADF,

，ZB=ZADF,

又•:ZOAD=ZCAD,

：./\DAB^/\FAD9

,ADAF

・・布―茄’

:.AD2=ABAF-

3.

(1)

解：连接O。，

•：OD=OB,

・・・ZB=/ODB,

又.：AB=4CDA,

：./ODB=NCDA,

TAB是圆。的直径，

・・・ZADB=90°f

：./ODB+/ODA=90°,

：.ZCDA+ZODA=900即ZODC=90°,

・・・CO是。。的切线；

(2)

解：连接跳、0E

;后是80的中点，

:•BE=DE=2,OELBD,/BOE=2ZBDE=60。,

・・・/XOBE是等边三角形，

：.OB=BE=2,NBOE=60。

•；OB=OD,OEVBD,

:.ABOE=ADOE=60P,

・•・ZDOC=60°

在RsODC,ZDOC=60°,

AZC=30°,

:.OC=2OD=4.

4.

(1)

PB与。O相切，

理由是：连接OA、OB,OA交CD于F,

丁点A是。。的中点,

A0A1CD,

・•・ZAF£=90°,

AZOAE+NAED=90。,

・・・QA=05,PB=PE,

：.ZOAE=ZOBAfNPEB=NPBE,

■:/AED=NPEB,

；・NOBA+/PBE=90。,即N03尸=90。,

・・・OBLPB,

：.PB与。。相切；

(2)

;AC=A。，

・・・ZACE=NA3C,

VZCAE=ZBAC,

・•・/\ACE^/\ABC,

.AC_AB

AEAC

2

：.AC=AE^ABf

'：AC2=2AE2,

：.AE^AB=2Ae9

：.AB=2AE,

・・・E为AB的中点.

5.

(1)

证明：连接。8,OE,如图所示,

在和△£BO中,

AB=BE

OA=OE,

OB=OB

：.△A50之△EBO(SSS),

：.ZBEO=ZBAO=90°,

即OE_L8C,

，BC是。。的切线；

(2)

解：；BE=3,BC=1,

：.AB=BE=3,CE=4,

AC=y/BC2-AB2=2而，

,:OEA.BC,

OE2+EC2=OC2,

即OE2+42=(2V10-OE^,

解得：OE二巫,

5

・・・OO的半径长为主叵.

5

6.

(1)

连接OO,如图，

平分ZA3C,

:.ZABD=/DBC,

♦：OB=OD,

:.ZOBD=ZODB

：.4DBC=/ODB,

：.OD//BC.

：./ODF=/C

■:BCLCD,

：.ZC=90°,

・・・NODF=NC=90。,

即OD1.DC,

・・・CO是oo的切线

(2)

连接AD,如图，

TAB为O。直径，

・•・ZADB=90°

・・・ZC=90°,

・•・ZADB=ZC=90°

■:ZABD=/DBC,

：.AABDSADBC

­BCBD即2=22

**BD=AB11BD3

.・・BD=y/6f

・・・BO的长为遥.

7.

(1)

解：如图，连接OC,OD,

B

VZC0D=2ZCA£>,NC4D=45。，

AZCOD=90°,

VAB=8,

/.0C=^AB=4f

.c「cn90x乃x4?

..S扇形COD=-------------=4兀，

360

SAOCD=；xOCxOD=；x4x4=8,

*••S阴影二S扇形COD-S^OCD=4兀-8.

(2)

9

证明：：BC=AD,

*#-BC=Q，

：.ZBOC=ZAOD,

・・・NCOQ=90。，

.•・NAOO=45。，

9：0A=0D,

：.ZODA=ZOAD9

VZAOD+ZODA+ZOAD=180°,

・•・NODA=67.5。，

*：AD=APf

：.

ZADP=ZAPDf

VZCAD=ZADP+AAPD,NC4Q=45。,

・♦・ZADP=|ZCAD=22.5°f

：.ZODP=NOQ4+NA。尸=90。,

...PO是。。的切线.

8.

(1)

解：如图所示，连接A。

：AB=AC,BD=DC,

：.AD1BC即ZADB=90°,

.♦.AB是。。的直径.

解：OE与(DO相切，理由如下:

...0。是△A8C的中位线，

OD//AC.

'：DE±AC,

：.DEIOD即ZODE=90°,

...DE与。O相切.

⑶

解：'：AB=AC,AD1BC,ZBAC=60°,

：.ZBAD=ZDAE=30°.

VDEIAC,ADA.BD,

."D=2OE=6,AB=2BD.

在AAB。中，BD2+AD2^AB2>

：.BD2+62=（2BD）2,

解得BD=2>/3.

/•AB=28。=4石，

二。。的半径为2百.

9.

(1)

连接0。

：AC为圆。的直径

ZADC=90°

'：0D=0C

.'.ZODC^ZOCD

在RmBCD中,为BC中点

DE=-BC=CE

2

ZEDC=NECD

：.ZODC+NEDC=ZOCD+ECD^90°

EPZOD£=90°

：.0DLDE

•••DE是圆0的切线

(2)

在RfABCD中,•・•£为8C中点

：.BC=2DE=5

•:CD=3

：.BD=4

二•AC为直径，

ZADC=ZACB=N8OC=90°,

又＜ZB=ZB

:.△ABCs^CBD,

.ACBC

^~CD~~BD

«..-A-C-=一5

34

.”15

..AC=—cm

4

10.

(1)

证明：如图，连接oc,

♦；CD=AC,

：.ZCAD=ZD,

又丁ZACD=120°,

：.ZCAD=ZD=^(180°-ZACD)=30°,

•：OC=OA,

：.NA=N2=30。，

・・・NCOD=60。，

又;ZD=30°,

・・・ZOCD=180°-ACOD-NO=90。，

：.OC±CD

•・・OC是。o的半径

・・・CO是。。的切线；

Q)

解：VZA=30°,

1=2/4=60°.

._6(brx22_2

"moBC_360-3'

在Rd。。。中，C0=OC・tan6O°=2ji.

：.S^CD=L0C，CD=^2^=2^.

(1)

证明：如图：连接OD

：.ZB=ZC,

又；OD=OB,

：.NODB=NOBD.

：.NODB=NACB.

：.OD//AC,

VDEIAC.

J.ODLDE.

•••oo是圆的半径，

:.DE是。。的切线;

(2)

解：如图：连接4。,

VAB为。。的直径，

，ZADB=90°,

即AD1.BC,

XVAB=AC,BC=16,

:.BD=CD=8,

•・・。0的半径为5,

：.AC=AB=\Of

・•・AD=VAC2-CZ)2=7102-82=6*

■:SADC=-AC•DE=-CD•AD,

A22

・・・10DE=8x6,

ADEM.8.

12.

(1)

解：连接0。如下图所示：

*/OB=OD,

：./OBD=/ODB,

YBO平分NA8C,

・・・/OBD=/DBE,

，ZODB=ZDBE,

：.OD〃BE,

■:DELBE于点、E,

：.ZE=90°,

：.ZODE=\80°-ZE=180°-90°=90°,

：.ODLDE；

是。。的切线.

⑵

解：设。。交4c于点如下图:

TAB为。。的直径，

，ZACB=ZACE=9Q°,

由(1)知I,N0DE=9Q°,

：.NACE=NE=NODE=90°,

.••四边形。ECM为矩形，

：.EC=DM=\,

,:MO〃CB,。为4c的中点，

.'MO为△ABC的中位线，且/AMO=N4CB=90。，

.'.AM=MC-^AC-y/l,

设圆的半径为r,则MO=DO-DM=r-\,

在RtAAMO中，由勾股定理可知：AO2=AM+MO2,代入数据:

产=(方尸+(―1尸，

解出：r=4.

故圆。。的半径为4.

13.

(1)

解：(1)vCDlAD,

.・.NO=90。，

:.ZDAC+ZDCA=90°,

・・•点c是弧8G的中点，

:・CG=BC

ADAC=ABAC,

\OA=OC,

ZOCA=ZBAC,

:.ZOCA=ZDACf

ADIIOC.

：.ZD=ZOCP=90°,

・・・OC是圆。的半径，

・••0c与OO相切，

(2)

QAB是。。的直径，

・•.ZACB=90°,

/.ZPCB+z64CD=90°,

由(1)得：ZZJ4C+ZDC4=90°,

:.NPCB=NDAC,

QZDAC=NHAC,

；"PCB=/BAC,

・・・CE平分ZACB,

:.ZACF=NBCF,

VZPFC=ZBAC+ZACF,/PCF=NPCB+NBCF,

:"PFC=4PCF,

...PC=PF；

⑶

连接4石,

・.・CE平分NACB,

••AE=BE，

..AE=BE,

QA8是。。的直径，

..ZAEB=90°f

「.A4EB为等腰直角三角形，

•；AB=y[iBE=M，

：.OB=OC=—

2

tan£=-

3

1

:.tanZC4B=—=-,

AC3

*：ZPCB=ZBACfNP=NP,

.BCPBI

..---=---=—,

ACPC3

・・设尸8=x,PC=3x,

在Rt^OCP中，。。2+尸。2=。尸，

・••（孚*3x）』萼+人

；.x=巫或40（舍去），

8

・・.PC=M^,

8

.・・PF=竺0.

8

14.

⑴

证明：如图，连接OB,

YCB平分NACE.

・♦・/ACB=NECB,

<?OB=OC,

：・4BCO=4CBO,

：.ZBCE=ZCBO9

：.OB//ED.

「BE1.ED,

：.EBLBO.

・・・5E是。。的切线；

(2)

解：・・,AC是。。的直径，

・•・NA8C=90。，

TBE工ED,

/.ZE=90°,

.•・/£=ZABC,

■:/BCE=/ACB,

:•△BCESRACB,

.BCCE

..----=-----,

ACBC

VAC=4,CE=1,

:.BC=<AC,CE=2,

・•・BE=y)BC2-CE2=y/3，

•・・/BCD+ZBAD=/BCD+NBCE=180°,

:・/BCE=/BAD,

BEi-

/.tanZ.BAD=tanZ.BCE=----=V3.

CE

15.

(1)

解：(1)连接8F,OC,

TAB是。。的直径，

AZAFB=90°,BPBFLAD,

VCE±AD,

：.BF//CE,

・・,点C为劣弧8尸的中点，

：.OC【BF,又BF〃CE,

：.OC.LCE,

TOC是。O的半径，

・・・CE是。。的切线；

(2)

解：连接。凡CF,

9：OA=OC,

：.ZOCA=ZBAC=30°f

・・・N8OC=60。，

丁点。为劣弧5尸的中点，

:.FC=BC，

：.ZFOC=ZBOC=60°f

・・•。/=OC,

•••△FOC为等边三角形，

，NO"=NCO8=60。，

:.CF//ABf

：.SAACF=SAOCF,

...阴影部分的面积等于s扇形COF,

•・・A8=4,

：.FO=OC=OB=2,

・・・S扇形F0C=60.1X22:2',

3603

2

即阴影部分的面积为；乃.

3

16.

(1)

解：・・,四边形A8CO是平行四边形，

:・/B=/D.

•/四边形ABCE为。O的内接四边形，

AZB+ZAEC=180°.

♦：Z4ED+ZAEC=180°.

・•・NB=ZAED.

9

：AB=AC9

：.AB=ZACB

：.ZACB=ZAED.

：./XABC^AADE.

(2)

解：如图，连接A。并延长，交8c于点M,连接。8、OC.

BC

'：AB=AC,OB=OC,

...AM垂直平分8c.

，4MC=90。.

,/四边形ABCD是平行四边形,

C.AD//BC.

：.ZDAO=90°.

•.•点A在。。上，

.♦.AD是。。的切线.

17.

(1)

证明：连接。。，

*.*AB=AC,

：.ZB=NC,

又,：OB=OD,

：.ZB=Z1,

NC=ZZ,

：.OD//AC,

'：£>E_LAC于E,

，DE±0D,

•；。。是。。的半径,

DE与。。相切；

(2)

解：如图：连接4£),

：A8为。。的直径，

/•Z4)8=90°,

VAB=6,sinB=—,

5

・・・AD=ABsin3二述，

5

*/Z1+Z2=Z3+Z2=9O°,

・•・N1=N3,

・・・Zfi=Z3,

在仆AE£>中，ZAED=90°f

・・AEy/5

•sinN3=---=—,

AD5

•Ar5/55/56石6

5555

又・・・Or>〃A£,

：・4FAEs/\FOD,

.FAAE

“75一而‘

•・・AB=6,

：.OD=AO=3,

.FA2

FA+3~59

:.AF=2.

18.

(1)

连接OD,BD,如图，

AB是直径，

/.ZA£>B=90°,

NBDC=90。，

・•,E是的中点,

:.DE=BE=EC=-BC

2

"EBD=NEDB,

•：OB=OD

:.NOBD=NODB

NOBD+NEBD=NODB+NEDB

即NO。石=NABC=90。

:.OD1DE

・.・O。是半径，

，。后是半圆。。的切线.

(2)

-,DE=2

BC=2ED=4

vZBAC=30°

・•.AC=2BC=8

/.AB=782-42=473

/.BD=-AB=2y/3

2

/.AD=44呵—(2琦=6.

19.

(1)

证明：TAB是。。的直径，

，ZADB=90°,

・・・NZM8+NA8Q=90。，

■:/BED=/DAB,ZPBD=ZBED9

；・/DAB=NPBD,

；・NPBD+/ABD=9()。,

NA8P=90。，

：.AB±PBf

・・・3P是。。的切线;

(2)

・・・A8是直径

・・・ZAEB=90°,

,?BE平分NABD,

,NABE=/DBE,

：•AE=DE»

:・AE=DE=6,

：.NABE=ZDBE=/DAE,

EFJi

tanZDBE=tanNABE=tan/DAE=--—

EA3

.*D

..忑=丁