历年行列式考研真题

关于行列式的计算方法总结

行列式是线性代数中一个非常重要的内容，根据行列式形式的不同，计算的方

法也多种多样。行列式的计算灵活多样，通常是利用行列式的定义、行列式的性

质、对角线法则等取计算行列式。本文通过多方资料对历年考研题中的行列式的

解决方法进行了分类归纳和以及总结。

一、利用基本性质计算

x—2x—1x—2x—3

2x—22x—12x—22x—3

1.(1999数二(5)题)记行列式为于(x),则方程

3x—33x—24x—53x—5

4x4x-35x-74x-3

/(x)=0的根的个数为()

(A)l.(3)2.(C)3.⑷)4.

求解:

x-2x-lx-2x—3

2x-22x-l2x-22x-3

/(X)=

3x—33x-24x-53x—5

4x4x-35x—74x-3

x-210-1

2x-210-1

3x—31x-2-2

4x-3x-l-3

x-2100

2x—2100x—21x-2-1

3x—31x-2-12x-21x-7-6

4x-3x-7-6

x1x-2-1

=(-x)(-5)(x-2+1)=5x(x-1)

2x1-5-5

故/(x)=5x(x-l)=0有两个根，故应选(3).

原行列式中各元素的特点，(均是X的一次多项式，且除由3,。43外，其余X的

系数均有规律。)利用行列式性质，计算出行列式是几次多项式，即可作出判别。

aA00

b

0a220

2.（1996数一（2）题）四阶行列式的值等于

0%«30

1%00

()

〃〃。〃〃。。

(4)1234~blb2b3b4.(5)%234+b]b2b3b4.

一。。）（。。一。）

（C）（a{a21234304,（。）（。2。3-。203）（。1〃4_帅4）.

求解:

bb

a2200a22

。2b2ab

工I=%~bl一结422

b3，a300b3，a3=aYa4

b3«3&a3

h

00a4400

=(a2a3-b2b3)(ala4―匕也)°

故选（。）。

考虑到行列式的零比较多,可根据行列式展开定理按第一行展开计算。

3.（1998西安电子科大）

aaaa

—aaXX

计算行列式△=

—CL—uXX

—a—a—aX

求解:

02ax+ax+a

02a00

A=

00x+a0

-a-a—CLX

lax+ax+a

=ala00

0X+Q0

x+aX+a

=a(-2a)=2a9(x+〃)9

x+a0

4.（1999西安电子科大）

计算”+1阶行列式

011…1

1ax0…0

2+1=

10。2,*,0

10°…

其中，z=o

求解：

第一列提取-1,第，列提取为7=12-,,〃），得

111

0

aya?Cl〃

-1i6•••o

aa

21+1=~i2■■a

n-101•••0

-100•••1

再将第2,3,…,〃+1列都加到第1列，夕术后按第1列展开得

。"+1=一%的…%

二、利用矩阵运算

1.（2003数一（6）题）设三阶方阵A,3满足屋吕―A—3=E,其中E是三阶

qor

单位矩阵，若A=020,则冏=

、-20b

求解：

方法一：

由题设条件A-B-A-B=E

(A2-E)B=A+E,

(A+E)(A—E)3=A+E.

201

显然，\A+E\=03OwO,A+E是可逆阵，上式两边左乘(A+E)T,得

-202

(A-E)B=E.

从而有

|B|=1=-----=-

11\A-E\0012

010

-200

先由矩阵方程求出8,再计算行列式网或者将已知等式变形成含有因子3的

矩阵乘积的形式，而其余因子的行列式都可以求出即可。

方法二：

由A2g—A—3=£得(4+E\A-E)B=A+E,等式两端取行列式且利用矩阵

乘积的行列式=行列式的乘积，得

|A+E||A-E||B|=|A+E|,

约去M+可/0,得3=।_--:=—.

11|A-E|2

,210、

2.(200数4一(6)题)设矩阵A=120,矩阵3满足ABA*=23A*+E,

、0017

其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则忸仁.

先化简矩阵方程成乘积形式，再两边取行列式。

求解：

由题设条件A3A*=2BA*+E得

(A—2E)BA*=E

两边取行列式,得性-2E|邳A*卜国=1,

210

其中同=120=3,|A*|=|A|3-1=|A|2=9,

001

010

A-2E=\00=1,

00-1

3.(2005数一(6)题)设％,a2,%均为维列向量，记矩阵

A=(%,%,%)，5=(%+%+%必+2a2+4a3，%+3%+9a3)°

如果同=1,那么忸|=o

利用行列式的性质将冏转化为|A|计算，或将B的每个列向量用A的列向量现

行表示。

求解：

方法一：

利用行列式性质

\B\=E+a2+%,%+2a2+4a3,ax+3a2+9CK3|

=E+%+%,%+3a3,2a2+8CK3|

=2&+%+%,%+3%,%I

因⑶==1，故］却=2。

方法二:

因[%+%+%]=

[«i,%,%[%+2a2+4a3]=[«[,a2,a2

[cKj+3a2+9a3]=[%,%,%]3

|9

故

111

3=[%+%+%,%+2%+4%,%+3%+9a3]=123=AC

149

两边取行列式，得

|B|=|AC|=|A||C|.

111

因⑶=1,故冏=|C|=123=2.

149

方法一是基本方法，方法二比较灵活，当二组向量(这里是A和3的列向量)

有表出关系时，表示成方法二中的3=A。的矩阵形式是方便的，行列式。的计

算，可直接由范德蒙德行列式得到。=(3-2)(3-1)(2-1)=2.

(21、

4.(2006数一(6)题)设矩阵A=,E为2阶单位矩阵，矩阵3满足

1-12)

BA=B+2E,贝U冏=o

化简方程成乘积形式，再两边取行列式。

求解：

由题设条件3A=3+2E得，BA-B=2E,即B(A—E)=2E.

两边取行列式，得\B(A-E)\=忸||A-q=\2E\-

其中

|2E|=22|E|=4.

2E

故画=\\2

\A-E\r-

5.(2010数二(14)题)设A,3为三阶矩阵，且|川=3,忸|=2,|内+,=2,

贝"4+5=|.

求解:

A+B-1\=\A+EB-1|=|A+AA-lB-'\=\A(E+

=A（BB1+A哨1）=A（B+A^）B1

11

=|A||B+A-||B-|=3.2.1=3

6.（1995数一（9）题）设A是〃阶矩阵，满足44，=E（E是〃阶单位阵，『是

A的转置矩阵），|A|<0,求|A+E|.

求解：

方法一：

根据AV=E，有

\A+E\=\A+AAT\=|A（E+Ar）|=|A||E+Ar|

于是（1-|A|）|A+E|=o.

因为为W>0,故|A+E|=O.

方法二：

因为（|A+E）A[=|AV+AT\=\E+AT\=\A+E\,

即有|A+E|A|=|A+E|,

也即（I-|A|）|A+E|=O.

因为1—闯>0,故|A+E|=O.

已知矩阵等式AV=E求抽象矩阵A+E的行列式，自然想到要利用此等式

条件，一种方法是将E=AV直接代入要计算的行列式中；一种是“凑”出可利

用已经矩阵等式左端的形式4V,再将4V=E代入计算。

7.（1999数一（2）题）设A是他x〃矩阵，3是〃x机矩阵，则

（）

（A）当加〉〃时，必有行列式RMH0

（B）当m>”时,必有行列式巧回=0

(C)当"〉祖时，必有行列式

(D)当〃〉机时，必有行列式|4邳=0

求解：

因为A3为机阶方阵，且

秩厂(AB)<min[r(A),r(B)]<min(m,n)0

当机〉〃时，由上式可知，r(AB)<n<m,即A3不是满秩的，故有行列式

|AB|=O,因此正确选项为(3)。

四个答案在于区分行列式是否为零，而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充

要条件，问题转化为矩阵是否可逆，而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系，

最终只要判断A3是否满秩即可。

8.(2000西安电子科大)

设A为〃阶矩阵，%,%，…，%是线性无关的八维向量组，满足

Aat=ai+l(i=1,2,­••,«-1),Aan=ax,求A的行列式⑶的值。

求解：

因为AQ%-an)=(A%Aa2Aan_xAan)

=(%a3an%)

所以⑶E%…aj=区％阂

=(-1尸同见…%|

又由于%,a2,­••,a”线性无关，从而E%…a/w0,故|A|=(-1)"T。

三、升阶、降阶法

1.(2004北航)

%+4a2…an

计算下面行列式的值由"2+2-

axa2•••an+2

求解：

升阶化三角形。

1a1a2・・•an

0al+Aa2…an

a

Dn=0axg+%

0%a2…+X

1%a2•••an

—i4o,•,o

各行减去第一行=—10%2…0

-1000

1+

LT%“2

i=l/i

4

o=44…々（i+f十）°

%

i=lA

2.（2003华南师大）

a+x

naI?+xain+%

证明行列式等式"21+"a22+xa2n+x=M+$4

（=1j=l

am+xa.2+%ann+X

其中Ml=|a,|,4是a,在|a,|中的代数余子式。

求解：

升阶法。

1XX-•X1XXX

+x•+X

0an+xan•Qin-1a12ain

左边二〃22+1•+X=

0a2i+x­dr2n-1a21a22a2n

0%i+x%2+X.•ann+X-1anlan2

«11an,,aIn-1〃12ain

。21a22.••Cl2rn-1a22

（按第一行展开）=-X+…+

anlan2.,ann-1an2a

-1%,〃—1

-1%2a2,n-l

(-l)1+(n+1)x.

-1a„lan,n-l

ailai2ain

（从第二项开始均按第一列展开）a2ia2n

a.2a.n

♦nn

+0A1

+A-2+1,,+A加

Z=1i=\i=\

aHai2a.In

a.

〃21〃222n+

HAU=右边

i=lJ=1

an2

ann

除了升阶之外，我们还有方法二:

aa

\\n+Xin+XXa12+X+X

a2i。22+Xdr2n+XXa22+X«+X

左边二+2n

a.2+X+XX+X+X

annaaam

aaa

nna,in1na,in

a

2la222n1a22a.2n

+X

a.21a.2

ann

an“12ai,n-l1

“21a22a2,n-l1

H-------1-X

anlan2an,n-l1

n

=。++041+x£Aj2+…+X£A"

i=li=l1=1

“+£4=右边。

/=1J=1

3.(1991数四)

abC…00

0ab…00

求”阶行列式......

000•••ah

b00•••0a

求解：

利用降阶法

ab-00b0•••00

0a-00aZ?•••00

按第一列展开=。+b(_l严

00・ab00•••Z?0

00-0a00--ab

=an+(T)n+bn

一道题目可以有不同的方法来解答，另外还有一种方法就是直接用定义。由行列

式的定义知此行列式除项为~22…和%2a23…见小氏1外其余乘积项都是零，故

（―1尸12"）....（_1严23…出小....-+y"

Dn=aaa+bb=a

四、范德蒙德行列式

1.（2002北交大）

111

x2Xn

222

x%

计算〃阶行列式:2

n-2n-2n-2

X1x2Xn

nnn

X“

求解：作如下行列式使之配成范德蒙行列式:

11­••11

xX

X]2•••ny

2222

x2•••%y

p(y)==n（y-x,.）口（项-乙）

n-2n-2n-2n-2i=l1<j<i<n

X1•••Xny

n-\n—1n-1

X]•••乙产

nnn

X]•••X"y"

此处y是变数，由此可知是p(y)的元素yi的代数余子式。

P(y)=n(尤i-.)卜”+(—D(无1+%+…+%)产+…

1<j<i<n

另一方面，将p(y)按它的第〃+1列展开即得

p(y)=n(七一Xj)y"+(-1)"向。17+…。

1<j<i<n

比较p(y)中关于yi的系数即得:

=区+4n(x；~XJ)°

1<j<i<n

五、化三角形法

1.(2001西安电子科大)

计算〃阶行列式

ybbbb

cxa--aa

cax--aa

Dn=

caa--xa

caa--ax

求解：

将第a行乘以(-1)分别加到第2,3,-1行，得

ybb•••bb

0x-a0•••0a-x

00x-a…0a-x

Dn=

000…x-aa-x

caa•••aX

再将第2列，…，第九一1列都加到第九列，得

ybb…b(n—l)b

0x-a0…00

00x-a…00

Dn=

000…x-a0

caa…ax+(n-2)a

按第一列展开,

x-a0…00

0x-a…00

Dn=y

00…x-a0

aa…ax+(n-2)a

bb…b(I)b

x-a0…00

+(-1)"%0x-a…00

00…x-a0

=y(x-a)"2[x+(M-2)«]+(-l)B+1c(«-l)Z?(x-d)n7(-1)"

=(x-a)"一°[y(x+(n-2)a)-(n-l)bc]

2.（2004华东理工）

0111

1al00

计算行列式的值10。20，其中…都不为0。

100

求解：

方法一：化三角形

111

0

axan

116•••0

2+1=ag…a

n101-••0

100•••1

1_1_1111

ax%出n

0100

a

0010Wj

j=l

000•••1

=立町(-7)。

1a

j=li=li

方法二：化三角形

3.(2000北工大)

1000•••0X

1200•••0x2

1330•••0x3

设/(X)=1464-••0x4

23•.cn-lxn

1nCncn•n

23..n+1

1〃+1cJc+l.〜+iJi

计算/(x+1)-/(x)o

求解：

10000x+1

12000%2+2x+1

13300%3+3%2+3x+1

/(x+1)=..

1nC：T收一1+…+1

1〃+1C；c：;；(〃+1)/+・.・+1

1000•••01

1200•••02x+l

1330•••03厂+3x+1

f(x+l)-f(x)=.

C2c3•••C"T〃X“T+---+1

1nnnn

c2c3...cn~l

1n+1v+1^n+1(n+l)x"+…+

将上面行列式第一列乘-1,第二列乘-X,第三列乘一…第〃列乘—K一1

全部加到最后一列，得

1000•••00

1200•••00

1330•••00

f(x+l)-f(x)=

C2c3•••C"T

1nnnn0

1n+1c2c3...rn~l(n+l)x

=(M+1)!X?!

4.(1997数四)

<011--11、

101•-11

110•-11

设〃阶矩阵4=,求A。

111--01

111--10；

求解:

011•••11

101•••11

110•••11

H=

111•••01

111•••10

n-11111

n-10111

从第二列开始n-11011

各列加到第一列

n-11101

n-11110

11111

10111

11011

=(«-1)-

11101

11110

10000

1-1000

10-100

=(«-1)-

100-10

1000-1

=(—1)

5.(2000西安电子科大)

计算〃阶行列式

1234•••n

1123・••n—1

D"=1X12…n—2

1XXX…1

求解：

从2的第2列开始，每行乘以(-1)往上一行加，得

0111•••11

01-X11•••11

001-x1•••11

Dn

0000•••1-x1

1XXx•••X1

111•••11

1-x11•••11

01-x1•••11

000•••1-x1

%00•••00

1-xX0•••00

01-xx•••00

000•••1-x1

n-2

=X

通常化三角形发都是先观察各行各列的规律，如果某一行（列）的数值都是

其余各行通过一定的运算得到，那么可以通过此方法将其化成零以得到只剩三角

的行列式，求一个行列式如果能够化成三角形式是最好不过，可以非常直观地得

出所求行列式的值。

六、代数余子式

1.（2003北工大）

123•••n

120•••0

设”阶行列式2=103•••0

100•••n

求第一行各元素的代数余子式之和A1+42+•••+4.。

求解：

构造行列式，将⑶中第一行的元素均换成1,则

An+A12+••-+Aln=1-An+2-A12+•••+1•Aln

00000

i=l1

2

=〃!(1-£：)o

改变即后%的值不变，构造一个行列式，使所要求的代数余子式在量行列

VIJ

式中相同，通过新行列式计算所要求的代数余子式之和。充分理解代数余子式的

概念，这道题目解决起来就很方便了。

2.（2005北交大）

2

0

设”阶方阵4=0

求A中所有元素的代