向量的数乘运算+高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.3向量的数乘运算[目标导航]核心知识目标核心素养目标1.了解向量的数乘的概念,并理解这种运算的几何意义2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量数乘运算律进行向量运算3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法,并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量的问题1.通过向量数乘运算知识的形成过程,体会概念及性质的产生发展的过程,达成数学抽象、直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养2.通过向量共线定理的学习与应用,培养逻辑推理与数学运算的核心素养新知导学·素养启迪课堂探究·素养培育新知导学·素养启迪1.向量的数乘运算(1)定义:规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa.它的长度和方向规定如下:①|λa|=

;②当λ>0时,λa的方向与a的方向

;当λ<0时,λa的方向与a的方向

.|λ||a|相同相反①λ(μa)=

a;②(λ+μ)a=

;③λ(a+b)=

.特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.(3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.2.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使

.(λμ)(2)运算律:设λ,μ为任意实数,则有λa+μaλa+λbb=λa小试身手B1.(2a-b)-(2a+b)等于(

)A.a-2b B.-2b

C.0 D.b-a解析:原式=2a-2a-b-b=-2b.故选B.DB4.已知a与b共线,且方向相同,若|a|=8|b|,则a=

b.

解析:因为a与b共线,且方向相同,所以a=λb(λ>0),所以|a|=|λb|=|λ||b|.又|a|=8|b|,所以|λ|=8(λ>0).所以a=8b.答案:8课堂探究·素养培育探究点一数乘运算的定义及其几何意义[例1]已知λ,μ∈R,且a≠0,则在以下各命题中,正确命题的个数为(

)①λ<0,λa与a的方向一定相反;②λ>0,λa与a的方向一定相同;③λ≠0时,λa与a是共线向量;④λμ>0时,λa与μa的方向一定相同;⑤λμ<0时,λa与μa的方向一定相反.A.2 B.3 C.4 D.5解析:根据实数λ与向量a的积λa的方向规定,易知①②③都是正确的;对于④,由λμ>0可得λ,μ同为正或同为负,所以λa和μa都与a同向,或者都与a反向,所以λa与μa是同向的,故④正确;对于⑤,由λμ<0可得λ,μ异号,所以λa和μa中,一个与a同向,另一个与a反向,所以λa与μa是反向的,故⑤正确.故选D.方法技巧(1)当λ>0时,λa与a同向;当λ<0时,λa与a反向(a≠0).(2)当λ=0且a≠0时,或当λ≠0且a=0时,λa=0,注意是0,而不是0.即时训练1-1:(1)(多选题)设a是非零向量,λ是非零实数,下列说法中正确的是(

)A.a与-λa的方向相反B.|-λa|=λaC.a与λ2a方向相同D.|-2λa|=2|λ||a|解析:(1)由已知可得若λ<0,则a与-λa的方向相同,故A错误;由于实数与向量不能比较大小,故B错误;a与λ2a方向相同,故C正确;D中|-2λa|=2|λ||a|正确.故选CD.答案:(1)CD(2)已知a,b为两个非零向量,则下列说法正确的是

.(填序号)

①2a与a的方向相同,且2a的模是a的模的两倍;③-3a与3a是一对相反向量;④a-b与-(b-a)是一对相反向量.答案:(2)①②③探究点二向量的线性运算[例2]化简下列各式:解:(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.解:(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.方法技巧向量线性运算的基本方法(1)类比法:向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作向量的系数.(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.探究点三向量共线的判定及应用方法技巧(1)证明或判断三点共线的方法(2)利用向量共线求参数的方法已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.即时训练3-1:设向量a,b不共线,向量λa+b与a+2b共线,则实数λ=

.课堂达标BA3.化简4(a-3b)-6(-2b-a)=