北京市西城区鲁迅中学2025届高一数学第二学期期末考试模拟试题含解析

北京市西城区鲁迅中学2025届高一数学第二学期期末考试模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在平面直角坐标系中，直线与x、y轴分别交于点、，记以点为圆心，半径为r的圆与三角形的边的交点个数为M.对于下列说法：①当时，若，则；②当时，若，则；③当时，M不可能等于3；④M的值可以为0，1，2，3，4，5.其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．下列条件：①；②；③；其中一定能推出成立的有（）A．0个 B．3个 C．2个 D．1个3．设等差数列的前项和为，若公差，，则的值为()A．65 B．62 C．59 D．564．下列关于函数（）的叙述，正确的是（）A．在上单调递增，在上单调递减B．值域为C．图像关于点中心对称D．不等式的解集为5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的个数为①若，，则②若，则③若，则④若，则A．1 B．2 C．3 D．46．总体由编号为01，02，…，60的60个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为()5044664429670658036980342718836146422391674325745883110330208353122847736305A．42 B．36 C．22 D．147．已知数列满足，，，则的值为（）A．12 B．15 C．39 D．428．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．9．在边长为1的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（）A．1 B． C． D．10．函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．向量满足：，与的夹角为，则＝_____________；12．已知数列是等比数列，公比为，且，，则_________．13．已知方程的两根分别为、、且，且__________．14．在上，满足的的取值范围是______.15．某县现有高中数学教师500人，统计这500人的学历情况，得到如下饼状图，该县今年计划招聘高中数学新教师，只招聘本科生和研究生，使得招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到，且研究生的比例保持不变，则该县今年计划招聘的研究生人数为_______.16．在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；已知．（1）求角B的大小；（2）若外接圆的半径为2，求面积的最大值．18．已知函数，（1）若，求a的值，并判断的奇偶性；（2）求不等式的解集.19．设函数的定义域为R，当时，，且对任意实数m、n，有成立，数列满足，且.（1）求的值；（2）若不等式对一切都成立，求实数k的最大值.20．设函数，其中，.（1）求的周期及单调递减区间；（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.21．已知三角形的三个顶点，，.（1）求线段的中线所在直线方程；（2）求边上的高所在的直线方程.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

作出直线，可得，，，分别考虑圆心和半径的变化，结合图形，即可得到所求结论．【详解】作出直线，可得，，，①当时，若，当圆与直线相切，可得；当圆经过点，即，则或，故①错误；②当时，若，圆，当圆经过O时，，交点个数为2，时，交点个数为1，则，故②正确；③当时，圆，随着的变化可得交点个数为1，2，0，不可能等于3，故③正确；④的值可以为0，1，2，3，4，不可以为5，故④错误.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查直线和圆的位置关系，考查分析能力和计算能力.2、D【解析】

利用特殊值证得①②不一定能推出，利用平方差公式证得③能推出.【详解】对于①，若，而，故①不一定能推出；对于②，若，而，故②不一定能推出；对于③，由于，所以，故，也即.故③一定能推出.故选：D.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查实数大小比较，属于基础题.3、A【解析】

先求出，再利用等差数列的性质和求和公式可求.【详解】，所以，故选A.【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）且；（3）且为等差数列；（4）为等差数列.4、D【解析】

运用正弦函数的一个周期的图象，结合单调性、值域和对称中心，以及不等式的解集，可得所求结论.【详解】函数（），在，单调递增，在上单调递减；值域为；图象关于点对称；由可得，解得：.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.5、A【解析】

根据面面垂直的定义判断①③错误，由面面平行的性质判断②错误，由线面垂直性质、面面垂直的判定定理判定④正确．【详解】如图正方体，平面是平面，平面是平面，但两直线与不垂直，①错；平面是平面，平面是平面，但两直线与不平行，②错；直线是直线，直线是直线，满足，但平面与平面不垂直，③错；由得，∵，过作平面与平面交于直线，则，于是，∴，④正确．∴只有一个命题正确．故选A．【点睛】本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系．对一个命题不正确，可只举一例说明即可．对正确的命题一般需要证明．6、C【解析】

通过随机数表的相关运算即可得到答案.【详解】随机数表第1行的第8列和第9列数字为42，由左至右选取两个数字依次为42，36，03，14，22，选出的第5个个体的编号为22，故选C.【点睛】本题主要考查随机数法，按照规则进行即可，难度较小.7、B【解析】

根据等差数列的定义可得数列为等差数列，求出通项公式即可．【详解】由题意得所以为等差数列，，，选择B【点睛】本题主要考查了判断是否为等差数列以及等差数列通项的求法，属于基础题．8、C【解析】试题分析：设的交点为，连接，则为所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为，则，所以，故C为正确答案．考点：异面直线所成的角．9、D【解析】

根据直线与平面没有公共点可知平面.将截面补全后,可确定点的位置,进而求得三角形面积的最小值.【详解】由题意,,分别是棱,,的中点,补全截面为,如下图所示:因为直线与平面没有公共点所以平面,即平面,平面平面此时位于底面对角线上,且当与底面中心重合时,取得最小值此时三角形的面积最小故选:D【点睛】本题考查了直线与平面平行、平面与平面平行的性质与应用,过定点截面的作法,属于难题.10、B【解析】

根据零点存在性定理即可求解.【详解】由函数，则，，故函数的零点在区间上.故选：B【点睛】本题考查了利用零点存在性定理判断零点所在的区间，需熟记定理内容，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据模的计算公式可直接求解.【详解】故填：.【点睛】本题考查了平面向量模的求法，属于基础题型.12、.【解析】

先利用等比中项的性质计算出的值，然后由可求出的值.【详解】由等比中项的性质可得，得，所以，，，故答案为.【点睛】本题考查等比数列公比的计算，充分利用等比中项和等比数列相关性质的应用，可简化计算，属于中等题.13、【解析】

由韦达定理和两角和的正切公式可得，进一步缩小角的范围可得，进而可求．【详解】方程两根、，，，，又，，，，，，，结合，，故答案为．【点睛】本题考查两角和与差的正切函数，涉及韦达定理，属中档题．14、【解析】

由，结合三角函数线，即可求解，得到答案.【详解】如图所示，因为，所以满足的的取值范围为.【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，以及三角函数线的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15、50【解析】

先计算出招聘后高中数学教师总人数，然后利用比例保持不变，得到该县今年计划招聘的研究生人数.【详解】招聘后该县高中数学专科学历的教师比例下降到，则招聘后，该县高中数学教师总人数为，招聘后研究生的比例保持不变，该县今年计划招聘的研究生人数为.【点睛】本题主要考查学生的阅读理解能力和分析能力，从题目中提炼关键字眼“比例保持不变”是解题的关键.16、【解析】

直接利用长度型几何概型求解即可.【详解】因为区间总长度为，符合条件的区间长度为，所以，由几何概型概率公式可得，在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为，故答案为：.【点睛】解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

(1)利用正弦定理与余弦的差角公式运算求解即可.(2)根据正弦定理可得,再利用余弦定理与基本不等式求得再代入面积求最大值即可.【详解】解：（1）在中,由正弦定理得,得,又∴.即,∴,又,∴．（2）结合（1）由正弦定理可知,由余弦定理可知,所以当且仅当时等号成立,所以,所以面积的最大值为．【点睛】本题主要考查了正余弦定理与三角形面积公式在解三角形中的运用.同时考查了根据基本不等式求解三角形面积的最值问题.属于中档题.18、（1），，是偶函数（2）或【解析】

（1）先由已知求出，然后结合利用定义法判断函数的奇偶性即可；（2）讨论当时，当时对数函数的单调性求解不等式即可.【详解】解：（1）由题意得，，即，则，，则，函数的定义域为，则，是偶函数；（2）当时，在上是减函数，，，解得，所以原不等式的解集为；当时，在上是增函数，，，即，所以原不等式的解集为，综上所述，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.【点睛】本题考查了利用定义法判断函数的奇偶性，主要考查了利用对数函数的单调性求解不等式，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.19、（1）（2）【解析】

（1）首先令，得：，根据得到，即是以，的等差数列，再计算即可.（2）将题意转化为，设，判断其单调性，求出最小值即可得到答案.【详解】令，得：，.所以.因为，所以.所以，.所以是以，的等差数列.所以，.（2）因为恒成立.即恒成立.设，知，且，，即，故为关于的增函数，.所以，的最大值为.【点睛】本题主要考查数列与函数的综合，利用函数的单调性是解题的关键，属于难题.20、（1），；（2）【解析】

（1）利用坐标形式下向量的数量积运算以及二倍角公式、辅助角公式将化简为的形式，根据周期计算公式以及单调性求解公式即可得到结果；（2）分析在的值域，根据能成立的思想得到与满足的不等关系，求解出的范围即可.【详解】（1）∵，∴，∴的周期为，令，则，的单调递减区间为（2）∵，∴，在上递增，在上递减，且，∴，∴，即，若在上有解，则故：，解得.【点睛】本题考查向量与三角函函数的综