专题16 数学思考（二）（重点突围）-备战2023年小升初数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（解析板）

专题16数学思考（二）【小升初考向导航】【目录】【考向一数与形结合的规律】┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1【考向二数表中的规律】┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8【考向三事物的间隔排列规律】┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅16【直击小升初】【考向一数与形结合的规律】【例题1】（2022•高邑县）聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律：42﹣22＝（4+2）×（4﹣2）＝1272﹣32＝（7+3）×（7﹣3）＝4092﹣42＝（9+4）×（9﹣4）＝65（1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。152﹣52＝（15+5）×（15﹣5）＝（200）（2）求如图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“a2﹣b2”来计算，明明说也可以用“（a+b）×（a﹣b）”来计算。你知道明明是怎么想的吗？【分析】（1）根据给出的两个平方数的差的算式，发现规律：两个数的平方差，等于这两个数的和乘这两个数的差。据此解答。（2）因为正方形的面积＝边长×边长，两个正方形的边长分别为a、b，阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，所以聪聪得出用“a2﹣b2”计算；而明明把阴影部分的图形进行了剪拼，重新组合成一个长为（a+b）、宽为（a﹣b）的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，所以明明得出阴影面积也可以用“（a+b）×（a﹣b）“来计算。【解答】解：（1）152﹣56＝（15+5）×（15﹣5）＝200（2）阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，即阴影部分的面积＝a7﹣b2。明明的作法：明明把左图沿虚线剪开，把剪掉的小长方形拼到剩下的大长方形的右侧所以阴影部分的面积为：（a+b）×（a﹣b）。故答案为：15，5，15，。【点评】找出算式的规律、数与形的规律以及运用规律解决实际问题是解题的关键。【例题2】（2021•黔南州）如图，1个杯子的高度是15cm，把5个完全一样的杯子叠起来的高度是25cm,那么10个这样的杯子叠起来的高度是多少厘米？【分析】1个杯子的高度是15cm，把5个完全一样的杯子叠起来的高度是25cm，那么上面每个杯子露出（25﹣15）÷4＝2.5（厘米），然后求出上面9个杯子露出的高度，再加上15厘米即可。【解答】解：（25﹣15）÷4＝10÷4＝8.5（厘米）2.8×（10﹣1）+15＝22.5+15＝37.6（厘米）答：10个这样的杯子叠起来的高度是37.5厘米。【点评】本题考查数和形中的找规律问题，找到共同特征解决问题即可。【变式训练】1．（2022•岳阳）按如图所示的方式排列点阵，则第六个点阵中有（）个点。A．16 B．21 C．25 D．36【分析】规律是1，1+3，1+3+5，……第6个图形点子是：1+3+5+7+9+11。【解答】解：规律是1，1+7，……第6个图形点子是：1+4+5+7+7+11＝（1+11）×6÷4＝12×6÷2＝36故选：D。【点评】仔细观察，找到规律是解决本题的关键。2．（2022•华容县）如图，按照规律拼成下列图案，第8个图形一共是由（）A．105 B．106 C．107 D．108【分析】观察得出规律：第n幅图形共有3×（1+2+3+......n）＝n×（n+1）根小棒，据此求解即可。【解答】解：第一幅图形共有3×1根小棒；第二幅图形共有8×（1+2）根小棒；第三幅图形共有4×（1+2+2）根小棒；......第n幅图形共有3×（1+4+3+......n）＝n×（n+1）根小棒；第8个图形一共有：×8×（8+1）＝12×9＝108（根）答：第7个图形一共是由108根小棒搭配的。故选：D。【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图示，找出规律，并利用规律做题。3．（2022•留坝县）下列图案由边长相等的灰、白两色小正方形按一定规律摆成的。第10个图形有（）个灰色小正方形。A．100 B．55 C．50 D．45【分析】根据观察：第1个图形：有0个灰色小正方形，第2个图形：有1个灰色小正方形，第3个图形：有3个灰色小正方形，第4个图形：有6个灰色小正方形，……容易看出第n个图中有：n（n﹣1）/2个灰色小正方形。【解答】解：按此规律，第10个图形有：n（n﹣1）/2＝10×（10﹣8）÷2＝45（个）所以第10个图形有45个灰色小正方形。故选：D。【点评】解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律。4．（2022•电白区）如图，用小棒摆六边形，摆n个正六边形（5n+1）根小棒。【分析】根据图示，每增加一个正六边形，就增加5根小棒，据此可以总结出摆n个正六边形需要（5n+1）根小棒，据此解答即可。【解答】解：摆n个正六边形需要（5n+1）根小棒。故答案为：（7n+1）。【点评】本题考查了图形的变化规律知识，结合题意分析解答即可。明确每增加一个正六边形，就增加5根小棒是解答关键。5．（2022•管城区）用同样大小的黑色五角星按如图的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，摆第6个图案需要21个黑色五角星，摆第10个图案需要51个黑色五角星。【分析】根据规律，第2个图案黑色五角星的个数等于（6+1）个，第3个图案黑色五角星的个数等于（6+1+2）个，第4个图案黑色五角星的个数等于（6+1+2+3）个……，所以第6个图案黑色五角星的个数等于（6+1+2+3+4+5）个，第10个图案黑色五角星的个数等于（6+1+2+3+4+5+6+7+8+9）个，据此计算。【解答】解：6+1+6+3+4+5＝6+15＝21（个）6+6+2+3+2+5+6+6+8+9＝6+45＝51（个）答：摆第6个图案需要21个黑色五角星，摆第10个图案需要51个黑色五角星。故答案为：21，51。【点评】解答本题的关键是找准图形间的排列规律。6．（2022•通州区）如图是小明用吸管和图钉围成三角形的示意图。（点表示图钉，线段表示吸管）（1）围成1个三角形需要3个图钉和3根吸管；围成2个三角形需要4个图钉和5根吸管；围成10个三角形，需要12个图钉和21根吸管。（2）照这样钉下去，围成n个三角形需要（n+2）个图钉和（2n+1）根吸管。【分析】（1）根据所给图示，写出图钉个数、吸管的根数。（2）根据所给图示中图钉个数、吸管的根数发现规律，根据规律做题。【解答】（1）围成1个三角形需要3个图钉和5根吸管；围成2个三角形需要4个图钉和4根吸管，需要12个图钉和21根吸管。（2）照这样钉下去，围成n个三角形需要（n+2）个图钉和（2n+3）根吸管。故答案为：3，3，2，5，12；（n+2）。【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。7．（2020•围场县）已知表示65，表示86，那么表示58。×（判断对错）【分析】表示65，表示86，可以发现：外面的图形表示十位，里面的图形表示个位，所以〇表示6，△表示5，□表示8，据此规律解答即可。【解答】解：由题意可知：〇表示6，△表示5，所以表示85，所以原题说法错误。故答案为：×。【点评】解决此题的关键是观察图形，寻找规律，根据规律解题。8．（2014•玉林）摆1个正方形需要4根小棒，往后每多摆1个正方形就增加3根小棒，按这样的规律摆10个正方形√．（判断对错）【分析】摆一个正方形要小棒4根；摆两个正方形要小棒（4+3）根，即7根；摆三个正方形要小棒（4+3×2）根，即10根，由此得到摆n个正方形要小棒4+3×（n﹣1）＝3n+1根；然后把n＝10代入3n+1中即可求出摆10个正方形需要的小棒数．【解答】解：摆一个正方形要小棒4根；摆两个正方形要小棒（4+4）根，即7根；摆三个正方形要小棒（4+2×2）根，即10根，…，所以摆n个正方形要小棒：4+2×（n﹣1）＝3n+4（根）；n＝10，3×10+1＝31（根）；答：摆10个正方形一共需要31根小棒．原题说法正确．故答案为：√．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．9．（2022秋•大城县期末）按图的规律接着画，第6个正方形中画25个点。×（判断对错）【分析】根据图示，第2个图形有1+4＝5（个）点；第3个图形有1+4×2＝9（个）点；第4个图形有1+4×3＝13（个）点；第5个图形有1+4×4＝17（个）点；第6个图形有1+4×5＝5（个）点；据此解答即可。【解答】解：按图的规律接着画，第6个正方形中画1+3×5＝5（个）点。故答案为：×。【点评】本题考查了数与形的组合规律，结合题意分析解答即可。10．（2020•江汉区）小红用黑白两种方块照下图这样拼图．（1）观察图形并填表．图序123……图中黑方块的个数468……（2）思考问题并填空．①图序为10的图中黑方块有22个；图序为n的图中黑方块有（2n+2）个．②小红拼成的一个图中白方块有26个，这个图的图序为8．【分析】（1）根据所给图示，图1黑色方块4个；图2黑色方块4+2＝6（个）；图3黑色方块：4+2+2＝8（个）．（2）①结合图示发现黑色方块的排列规律：图1黑色方块4个；图2黑色方块4+2＝6（个）；图3黑色方块：4+2+2＝8（个）；……第n个图形黑色方块的个数为：4+2（n﹣1）＝（2n+2）个．据此解答．②图中白方块的排列规律为：图1：5个；图2：5+3＝8（个）；图3：5+3+3＝11（个）；……第n个图形白方块个数：5+3（n﹣1）＝（3n+2）个．据此计算白方块是26个是第几个图形．【解答】解：（1）填表如下：图序123……图中黑方块的个数466……（2）①图1黑色方块4个图5黑色方块4+2＝4（个）图3黑色方块：4+2+2＝8（个）……图10黑方块的个数：5×10+2＝20+2＝22（个）……第n个图形黑色方块的个数为：5+2（n﹣1）＝（8n+2）个答：图序为10的图中黑方块有22个；图序为n的图中黑方块有（2n+7）个．②白方块的排列规律为：图1：5个图2：5+3＝2（个）图3：5+2+3＝11（个）……第n个图形白方块个数：5+5（n﹣1）＝（3n+8）个3n+2＝262n＝24n＝8答：白方块有26个，这个图的图序为8．故答案为：4，8；22；8．【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．【考向二数表中的规律】【例题1】（2019春•沈阳月考）观察下列数表并回答问题．在如表中，已知每行、每列中的数都成等差数列．列行第1列第2列第3列……第1行123……第2行246……第3行369………………（1）那么位于表中的第5行的第6列的数是多少？（2）第8行的第7个数和第13行的第4个数的乘积是多少？【分析】（1）根据表格发现这组数的规律：第n行、第m列的数字为：nm，所以第5行的第6列的数是5×6＝30．（2）第8行的第7个数和第13行的第4个数的乘积是（8×7）×（13×4）＝2912．【解答】解：（1）5×6＝30答：位于表中的第8行的第6列的数是30．（2）（8×8）×（13×4）＝56×52＝2912答：第8行的第3个数和第13行的第4个数的乘积是2912．【点评】本题主要考查数表中的规律，关键根据所给图表发现这组数的规律，并运用规律做题．【例题2】（2019•杨浦区开学）如图：自然数按照顺序排列成下列的三角数阵，那么2019上方的数是多少？【分析】第1个奇数为1，第2个奇数为3，第3个奇数为5…，第k个奇数为2k﹣1，前k个奇数之和为1+3+5+…+（2k﹣1）＝k2，于是，在如图所示的三角形数阵中，前k行共有k2个奇数，前k﹣1行共有（k﹣1）2个奇数，于是第k行第1个奇数为2[（k﹣1）2+1]﹣1＝2（K﹣1）2+1．现在2×312＝1922，2×322＝2048故2019位于第32行上．第32行第1个数为1923，1923～2019共有（2019﹣1923）÷2+1＝49个奇数，因此，2019为第32行，第49个数．第31行，第48个奇数位：2×302+1+（48﹣1）×2＝1895，即2019上面的奇数位1895．【解答】第1个奇数为1，第7个奇数为3，第k个奇数为2k﹣4，前k个奇数之和为1+3+3+…+（2k﹣1）＝k7，于是，在如图所示的三角形数阵中2个奇数，前k﹣1行共有（k﹣7）2个奇数，于是第k行第1个奇数为7[（k﹣1）2+7]﹣1＝2（K﹣4）2+1．现在8×312＝1922，2×322＝2048故2019位于第32行上．第32行第1个数为1923，1923～2019共有（2019﹣1923）÷2+4＝49个奇数，因此，2019为第32行．第31行，第48个奇数位：2×302+8+（48﹣1）×2＝1801+94＝1895答：2019上方的数是1895．【点评】本题主要考查数列中的规律，关键根据所给图示，发现规律，并运用规律做题．【变式训练】1．（2022•龙岗区）观察右边的数阵，第七行第1个数是（）第一行1，2第二行3，4，5，6第三行7，8，9，10，11第四行13，14，15，17，18，20A．31 B．43 C．57 D．73【分析】根据题意可知，每行数字的个数是行数的2倍，并且这是一组从1开始的有序数列，据此规律可推算出第七行第1个数是几。【解答】解：第五行21，22，24，26，28，30第六行31，32，34，36，38，40，42所以第七行第1个数是43。故选：B。【点评】解决此题要仔细观察图中的数字规律，运用规律解题可以快速、准确的解决问题。2．（2020•涟水县）将正整数按如图的位置顺序排列：根据排列规律，则2020应在（）A．A处 B．B处 C．C处 D．D处【分析】图中的数由4种不同位置循环，用一个数除以4，余数是1，则这个数在D处，余数是2，则这个数在A处，余数是3，则这个数在B处，没有余数，则这个数在C处。【解答】解：2020÷4＝505，没有余数，答：2020应在C处。故选：C。【点评】解答此题关键在于掌握用余数确定位置方法。3．（2020•平原县）如图所示，是2017年7月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数（）A．78 B．41 C．39 D．18【分析】根据日历表中数的排列规律可知，如果圈出的中间一个数是a，则上面的是（a﹣7），下面的是（a+7），所以三个数的和是3a，即3的倍数。且中间的数符合数的排列规律（上下有数字）。据此判断即可。【解答】解：A选项，7+8＝15，78÷2＝26，不符合题意；B选项4+1＝7，不是3的倍数；C选项3+6＝12，是3的倍数，中间的数是13；D选项，18是3的倍数，中间的数是3。所以这三个数的和可能是39。故选：C。【点评】本题主要考查数列的排列规律，关键是根据日历中数的排列规律做题。4．（2022•郑州）如图，圈中有6个数按一定的规律填入，后因不慎，你认为这个数可能是26或5。【分析】观察可得：按逆时针方向有8﹣6＝2；11﹣8＝3；15﹣11＝4，故墨水涂掉的那一个数是20+6＝26，或6﹣1＝5。【解答】解：按逆时针方向有8﹣6＝2；11﹣8＝3；所以这个数可能是20+8＝26或6﹣1＝5。故答案为：26或5。【点评】解决此题的关键是由所给的条件找到规律。规律为按逆时针方向相邻两数的差为8﹣6＝2；11﹣8＝3；15﹣11＝4……。5．（2022•郑州）将自然数按如图的规律排列，则2011所在的位置是第45行第15列。【分析】根据已知数据可得出第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，同理可得出第一行的偶数列的数的规律，从而得出2011所在的位置。【解答】解：由已知可得：根据第一列的奇数行的数的规律是第几行就是那个数平方，第一行的偶数列的数的规律；因为45×45＝2025，2011在第45行，故2011所在的位置是第45行。故答案为：45，15。【点评】此题主要考查了数字的规律知识，得出第一列的奇数行的数的规律与第一行的偶数列的数的规律是解决问题的关键。6．（2021•罗湖区）如图是一张月历卡，用形如 的长方形去框月历卡里的日期数，每次同时框出3个数．框出的3个数的和最大是84，一共可以框出20种不同的和．【分析】框出3个数是27，28，29时和最大．根据月历卡可知第2，3，4，5行每行有5种不同的和，依此即可求解．【解答】解：27+28+29＝28×3＝84，5×2＝20（种）．故答案为：84，20．【点评】考查了数表中的规律，月历卡中不同的和的情况要一行一行的找，再相加进行解答．7．（2022•海宁市）观察表1，寻找规律。表2、表3分别是从表1中截取的一部分，其中a的值为30，b的值为28。【分析】由表1可以看出，第一行的每一个数字与第一列的每一个数字乘积得到其它行列的数字，据此解题。【解答】解：表二：4×5＝20，3×6＝24，可以判断出a在第五行，即a＝5×7＝30；表三：3×6＝18，8×8＝32、第七行。故答案为：30，28。【点评】此题考查了数表中的规律，认真观察表一，得出普遍规律，在表2、表3中代入数值依次推出a、b所在行和列是解决此题的关键。8．（2021•成都）观察表一，寻找规律。表二、表三分别是从表一中截取的一部分，其中a＝18，b＝30。【分析】表二反映到表一中为：3，6，9，12，15，a，所以可知后面的数比前面的数大3，所以a为15+3＝18；表三反映到表一中得5，10，15，20，25，b，所以可知后面的数比前面的数大5，所以b为25+5＝30；据此求解即可。【解答】解：a为：15+3＝18b为：25+5＝30答：a＝18，b＝30。故答案为：18；30。【点评】此题考查了数表中的规律，认真观察表一，得出普遍规律，在表二、表三中代入数值依次推出a、b所在行和列是解决此题的关键。9．（2019•衡阳）将自然数1～100排列如图表：在这个图里用长方形框出的二行六个数（图中长方形框仅为示意），如果框起来的六个数的和为429，问这六个数中最小的数是几？（用方程解）【分析】从数列中可以看出，每行7个数，从左向右由此递增，长方形框起来的六个数，最小的数是上行最左边的数，设它是a，则其他数是a+1，a+2，下行的数对应+7，a+7，a+8，a+9；加起来和为429，列出等式，即可得解．【解答】解：最小的数是上行最左边的数，设它是aa+（a+1）+（a+2）+（a+8）+（a+8）+（a+9）＝429，8a+27＝429，6a＝402，a＝67．答：这六个数中最小的数是67．【点评】此题考查了数表中的规律，认真观察，找出规律，列出等式，计算求解是解决此题的关键．10．下表中一共有50个奇数，黑线框出的5个数之和是115；仔细观察后回答问题．（1）如果框出5个数的和要是235，应该怎么框？（用笔在图中框一框）（2）一共可以框出多少个大小不同的和？【分析】（!）根据题意发现框出的5个数中横着的每相邻的两个数相差2，竖着每相邻的两个数相差20和框出的5个数的和是中间数的5倍的规律，即可得出框法，从而找到中间的一个数，进而求出其它的四个数即可得出框法；（2）原来“十”字形框左右平移一共有8个，原来的“十”字形框上下平移一共有3个，一共就有8×3＝24（个）；【解答】解：根据规律框出的5个数的和是中间数的5倍可得：中间数是235÷3＝45，其它四个数：45上面是25，左边是43，框法如下：（2）8×3＝24（个）；答：一共可以框出24个大小不同的和．【点评】解答此题的关键是，根据所给的框法，及表中数的特点，即可找出它们之间的规律，再根据规律作答即可．【考向三事物的间隔排列规律】【例题1】（2022春•英山县期末）六一儿童节，学校在教学楼上挂一串彩灯。你认为第32盏彩灯应该是什么颜色？【分析】根据题干可知，这串彩灯是4盏一个循环周期，分别按照：红色、黄色、蓝色、绿色的顺序依次循环排列，计算出第32盏彩灯是第几个周期的第几个即可。【解答】解：32÷4＝8没有余数，所以第32盏彩灯是第7周期的第4个。答：第32盏彩灯应该是绿色。【点评】根据题干得出图形的排列规律是解决此类问题的关键。【例题2】（2020秋•淮阴区期中）国庆晚会前，学校用彩色气球装饰会场，老师要求8个红气球、4个黄气球和6个绿气球依次排列。最后一共用了52个红气球，黄气球和绿气球各用了多少个？【分析】根据红气球的个数计算摆了几组零几个，即可根据组数计算黄气球和绿气球的个数。【解答】解：52÷8＝6（组）……7（个）4×6＝24（个）5×6＝36（个）答：黄气球用了24个，绿气球用了36个。【点评】得出这组气球颜色排列的周期特点，是解决本题的关键【变式训练】1．（2022•唐山）按3个红球、4个白球、5个黄球的顺序排列180个球，第160个球是（）A．红球 B．白球 C．黄球 D．不确定【分析】根据题干可知，这组球排列规律是：3+4+5＝12个球一个循环周期，分别按照：3红，4白，5黄顺序依次循环排列，计算出第160个球是第几个周期的第几个球即可。【解答】解：由题意得：3红，4白，循环周期为：4+4+5＝12（个）160÷12＝13……2所以第160个球是第14周期的第4个，是白色的。答：第160颗球是白颜色。故选：B。【点评】根据题干得出这组球的排列规律是解决此类问题的关键。2．（2021•梓潼县）按照〇□☆△〇□☆△〇□☆△……的顺序排列，第62个图形是（）A．〇 B．□ C．☆ D．△【分析】按照〇□☆△〇□☆△〇□☆△……的顺序排列，每4个图形为一组，计算第62个图形是第几组循环零几个图形，即可完成填空。【解答】解：62÷4＝15（组）……2（个）答：第62个图形是□。故选：B。【点评】先找到规律，再根据规律求解。3．（2021•德惠市）沿道路一边按4面红旗，3面黄旗，2面粉旗，第120面是（）旗。A．红 B．黄 C．粉 D．绿【分析】先计算出一个完整周期内包含旗子的数量，再用题中数据120除以周期的个数，根据余数的对应关系，余几就是周期内的第几个，余数是0，对应的就是周期内的最后一个。【解答】解：4+3+3+1＝10（面）120÷10＝12余数是0，对应的是周期内最后一面旗子。答：第120面是绿旗。故选：D。【点评】本题考查的是周期问题，通常用句中数据除以每个周期的个数，根据余数的对应关系，余几就是周期内的第几个。4．（2022•腾冲市）15个同学站成一排，按“1、2、3、4”的顺序依次重复报数。最后一个同学应该报3。【分析】每4个数字一循环，计算第15个同学是第几组零几个，即可判断报的几。【解答】解：15÷4＝3（组）……6（个）答：最后一个同学应该报3。故答案为：3。【点评】先找到规律，再根据规律求解。5．（2022•英德市）海边灯塔上的一盏照明灯以固定的规律发出亮光，如图是表示前15秒灯光明暗的变化情况：第1秒是亮的，第2、3秒是暗的……第47秒是亮的。【分析】根据题意，照明灯是按照“第1秒是亮的，第2、3秒是暗的，第5、6秒是亮，第7秒是暗……”每6个一循环，计算第47秒是第几组零几个，即可判断明暗。【解答】解：47÷6＝7（组）•••••••8（秒）答：第47秒是亮。故答案为：亮。【点评】明确排列的周期特点，是解决本题的关键，解答本题先找到规律，再根据规律求解。6．（2022•滦南县）一根门帘的串珠从上到下是按3白、2黄、1红的顺序排列起来的，共用了130颗串珠。这根门帘共用黄色串珠43颗，最下面的一颗串珠是黄色。【分析】根据题干，这串珠子的排列规律是6颗珠子一个循环周期，分别按照3白、2黄、1红的顺序循环排列，据此求出130颗珠子需要几个循环，进而求出用黄色珠子多少颗和第13