广德实验中学高二数学第二学期5月月考试卷 理（含解析）-人教版高二数学试题

-学年安徽省宣城市宁国市津河中学、广德实验中学高二（下）5月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要1．已知是z的共轭复数，且，则复数=（）A．﹣1+3iB．1﹣3iC．3+iD．3﹣i2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度3．f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（）A．﹣2B．0C．2D．44．函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值，则a的值为（）A．B．﹣1C．0D．5．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b，组成复数a+bi，其中虚数有（）A．36个B．42个C．30个D．35个6．由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（）A．B．C．D．2ln27．函数y=ex+x在点（0，1）处的切线方程是（）A．y=2x+1B．y=x+2C．y=x+1D．y=2x﹣18．给出下面四个类比结论①实数a，b，若ab=0，则a=0或b=0；类比向量，，若•=0，则=或=；②实数a，b，有（a+b）2=a2+2ab+b2；类比向量，，有（+）2=2+2•+2；③向量，有||2=2；类比复数z，有|z|2=z2；④实数a，b有a2+b2=0，则a=b=0；类比复数z1，z2有z12+z22=0，z1=z2=0．其中类比结论正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．39．函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（）A．f（a）=f（b）B．f（a）＜f（b）C．f（a）＞f（b）D．f（a），f（b）大小关系不能确定10．函数的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法（用数字作答）．12．一物体沿直线以速度v（t）=2t﹣3（t的单位为：秒，v的单位为：米/秒）的速度作变速直线运动，则该物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程是．13．下表给出了一个“三角形数阵”：依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是．14．将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有种．15．若函数在区间（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知复数z=（1﹣i）2+1+3i．（1）求z及|z|；（2）若z2+az+b=1﹣i，求实数a，b的值．17．已知函数f（x）=3x3﹣9x+5．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．18．已知（+）n的展开式的前三项的系数成等差数列；（1）求（•）n展开式中所有的有理项；（2）求（﹣）n展开式中系数的绝对值最大的项．19．某学校拟建一座长60米，宽30米的长方形体育馆．按照建筑要求，每隔x米需打建一个桩位，每个桩位需花费4.5万元（桩位视为一点且打在长方形的边上），桩位之间的x米墙面需花万元，在不计地板和天花板的情况下，当x为何值时，所需总费用最少？20．在数列{an}中，已知a1=a（a＞2），且an+1=（n∈N*）．（1）用数学归纳法证明：an＞2（n∈N*）；（2）求证an+1＜an（n∈N*）．21．已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2，在x=﹣1时有极值0（1）求常数a，b的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）方程f（x）=C在区间[﹣4，0]上有三个不同的实根时实数C的范围．

-学年安徽省宣城市宁国市津河中学、广德实验中学高二（下）5月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要1．已知是z的共轭复数，且，则复数=（）A．﹣1+3iB．1﹣3iC．3+iD．3﹣i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：由条件可得z=（2+i）（1+i）=1+3i，再根据共轭复数的定义求出复数的值．解答：解：∵，∴z=（2+i）（1+i）=1+3i，∴复数=1﹣3i，故选B．点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度考点：反证法与放缩法．专题：常规题型．分析：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．解答：解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B点评：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．3．f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是（）A．﹣2B．0C．2D．4考点：利用导数求闭区间上函数的最值．分析：由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，判断函数在区间上的增减性，比较函数值的大小，求出最大值，从而求解．解答：解：f'（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），令f'（x）=0可得x=0或2（2舍去），当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，∴当x=0时，f（x）取得最大值为f（0）=2．故选C点评：此题考查导数的定义及利用导数来求闭区间函数的最值，解题的关键是求导要精确．4．函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值，则a的值为（）A．B．﹣1C．0D．考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：题目中条件：“函数f（x）=alnx+x在x=1处取到极值”，利用导数，得导函数的零点是1，从而得以解决．解答：解：∵，∴f′（1）=0⇒a+1=0，∴a=﹣1．故选B．点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于基础题．5．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b，组成复数a+bi，其中虚数有（）A．36个B．42个C．30个D．35个考点：分步乘法计数原理．专题：计算题．分析：本题是一个分步计数问题，从集合中任取两个互不相等的数a，b，组成复数a+bi，要求是一个虚数，也就是b不能为0，先选有限制条件的元素b，不能选0，在根据两个互不相等的数a，b，根据分步计数原理得到结果．解答：解：∵a，b互不相等且为虚数，∴所有b只能从{1，2，3，4，5，6}中选一个有6种，a从剩余的6个选一个有6种，∴根据分步计数原理知虚数有6×6=36（个）．故选A点评：本题考查分步计数原理，考查复数的概念，是一个综合题，解题的关键是要求复数是一个虚数，限制了b的取值．6．由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积为（）A．B．C．D．2ln2考点：定积分在求面积中的应用．分析：由题意画出图形，再利用定积分即可求得．解答：解：如图，面积．故选D．点评：本题主要考查定积分求面积．7．函数y=ex+x在点（0，1）处的切线方程是（）A．y=2x+1B．y=x+2C．y=x+1D．y=2x﹣1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：求出函数的导函数，把x=0代入导函数求出的函数值即为切线方程的斜率，根据求出的斜率和切点坐标写出切线方程即可．解答：解：由题意得：y′=ex+1，把x=0代入得：y′|x=0=2，即切线方程的斜率k=2，且切点坐标为（0，1），则所求切线方程为：y﹣1=2x，即y=2x+1．故选A．点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．8．给出下面四个类比结论①实数a，b，若ab=0，则a=0或b=0；类比向量，，若•=0，则=或=；②实数a，b，有（a+b）2=a2+2ab+b2；类比向量，，有（+）2=2+2•+2；③向量，有||2=2；类比复数z，有|z|2=z2；④实数a，b有a2+b2=0，则a=b=0；类比复数z1，z2有z12+z22=0，z1=z2=0．其中类比结论正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．3考点：类比推理．专题：阅读型．分析：利用向量的数量积公式判断出①错；利用向量的运算律判断出②对；通过举反例判断出命题③④错．解答：解：对于①，∵与模有关还与夹角有关，故错对于②向量的运算满足完全平方公式，故对对于③，|z|2是实数，但z2不一定是实数故错对于④例如z1=i，z2=1满足z12+z22=0，但z1≠z2≠0，故错故选B点评：本题考查向量的数量积公式、向量的运算律、复数的运算律．9．函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（）A．f（a）=f（b）B．f（a）＜f（b）C．f（a）＞f（b）D．f（a），f（b）大小关系不能确定考点：利用导数研究函数的单调性．分析：先对函数进行求导数，再根据导数的正负判断函数的增减性即可得到答案．解答：解：∵，f′（x）=﹣=∴当x＜1时，f'（x）＜0，即f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减，又∵a＜b＜1，∴f（a）＞f（b）故选C．点评：本题主要考查函数的增减性和导数正负的关系，即当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．10．函数的图象大致是（）A．B．C．D．考点：对数函数的图像与性质．专题：数形结合．分析：由已知中函数的解析式，我们利用导数法，可以判断出函数的单调性及最大值，进而分析四个答案中的图象，即可得到答案．解答：解：∵（x＞0）∴（x＞0）则当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；当x=1时，f（x）取最大值，f（1）=；故选B点评：本题考查的知识点是函数的图象与性质，其中利用导数分析出函数的性质，是解答本题的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有1260种不同的方法（用数字作答）．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：先在9个位置中选4个位置排白球，有C94种排法，再从剩余的5个位置中选2个位置排红球，有C52种排法，剩余的三个位置排黄球有C33种排法，由乘法原理可得答案．解答：解：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题．先在9个位置中选4个位置排白球，有C94种排法，再从剩余的5个位置中选2个位置排红球，有C52种排法，剩余的三个位置排黄球有C33种排法，所以共有C94•C52•C33=1260．答案：1260．点评：本题考查排列组合的基本知识．分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，在高中数学中，只有这两个原理，尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之化简，达到求解的目的．12．一物体沿直线以速度v（t）=2t﹣3（t的单位为：秒，v的单位为：米/秒）的速度作变速直线运动，则该物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程是．考点：定积分．专题：计算题．分析：先求出v（t）=2t﹣3在t∈（0，5）的符号，然后分别求出每一段的定积分，最后相加即可求出所求．解答：解：∵当时，；当时，．∴物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程S==（3t﹣t2）+（t2﹣3t）=（米）故答案为：点评：本题主要考查了定积分几何意义，以及定积分的应用，解题的关键是弄清位移与路程的区别，属于基础题．13．下表给出了一个“三角形数阵”：依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是．考点：数列的应用．专题：综合题．分析：观察数表，可以发现表中数的分布规律：第n行有n个分数，分子都是n，分母是通项为2n+1的递增数列，第n第k个数是，从而得出答案；解答：解：观察数表，发现表中数的分布规律为：第n行有n个分数，且分子都是n，分母是通项为2n+1的递增数列，即第n第k个数是；所以，第10行第6个数是；故答案为：．点评：本题考查了由观察数表，寻找表中数的分布规律的问题；解答时要细心分析，由表中数的排列规律发现解题的途径．14．将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有84种．考点：计数原理的应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，用插空法分析，原问题可以转化为将10个名额排成一排，在排除两端的9个空位中，插入挡板，将其分为7组，对应7个班级的组合问题；由组合数公式计算可得答案．解答：解：根据题意，要求将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，可以转化为将10个名额排成一排，在排除两端的9个空位中，插入挡板，将其分为7组，对应7个班级的组合问题；则不同的分法有C96=84种；故答案为：84．点评：本题考查组合数公式的应用，关键是将原问题转化为组合问题，用插板法解题．15．若函数在区间（m，2m+1）上是单调递增函数，则实数m的取值范围是﹣1＜m≤0．考点：函数单调性的性质．分析：若函数变形为，只要考查函数就行了．解答：解：∵函数变形为，设，只要g（x）是单调减函数即可．画出g（x）的图象：∵解得﹣1＜m≤0故填﹣1＜m≤0．点评：研究函数的性质是解决问题的关键，此函数的性质为解决许多问题提供了帮助．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知复数z=（1﹣i）2+1+3i．（1）求z及|z|；（2）若z2+az+b=1﹣i，求实数a，b的值．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件；复数求模．专题：计算题．分析：（1）首先整理出复数的最简形式，进行复数的乘方运算，合并同类项整理出复数的代数形式，并求出它的模长．（2）首先把复数代入，整理成复数的标准形式，根据两个复数相等的条件，写出实部和虚部分别相等，求出a，b的值．解答：解：（1）z=﹣2i﹣1﹣3i=1﹣i|z|==（2）∵z2+az+b=1﹣i，∴（1﹣i）2+a（1﹣i）+b=1﹣i∴a﹣b﹣（2+a）i=1﹣i∴a=﹣1，b=2．点评：本题考查复数的代数形式的运算和复数相等的条件，注意在复数相等条件的应用中，要写成标准形式，以利于比较．17．已知函数f（x）=3x3﹣9x+5．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：（I）求出函数f（x）的导函数，令导函数大于0求出x的范围，写成区间即为函数f（x）的单调递增区间．（II）列出当x变化时，f′（x），f（x）变化状态表，求出函数在[﹣2，2]上的极值及两个端点的函数值，选出最大值和最小值．解答：解：（I）f′（x）=9x2﹣9．（2分）令9x2﹣9＞0，（4分）解此不等式，得x＜﹣1或x＞1．因此，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．（（6分）（II）令9x2﹣9=0，得x=1或x=﹣1．（8分）当x变化时，f′（x），f（x）变化状态如下表：x﹣2（﹣2，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，2）2f′（x）+0﹣0+f（x）﹣1↑11↓﹣1↑11（10分）从表中可以看出，当x=﹣2或x=1时，函数f（x）取得最小值﹣1．当x=﹣1或x=2时，函数f（x）取得最大值11．（12分）点评：求函数在闭区间上的最值问题，一般利用导数求出函数的极值，再求出函数在两个端点的函数值，从它们中选出最值．18．已知（+）n的展开式的前三项的系数成等差数列；（1）求（•）n展开式中所有的有理项；（2）求（﹣）n展开式中系数的绝对值最大的项．考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：（1）由条件求得n=8，可得（+）8的展开式的通项公式，再令x的幂指数为整数，求得r的值，可得展开式中所有的有理项．（2）根据（﹣）8展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣2）r•，再利用二项式系数的性质可得系数的绝对值最大的项．解答：解：（1）由题意可得2××=+×，求得n=8，或n=1（舍去），故（+）8的展开式的通项公式为Tr+1=•2﹣r•．令4﹣为整数，可得r=0，4，8，故有理项为T1=x4；T5=•x=x；T9=x﹣2．（2）求（﹣）8展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣2）r•，再由，求得5≤r≤6，故系数的绝对值最大的项为T6=1792，T7=1792x﹣11．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．19．某学校拟建一座长60米，宽30米的长方形体育馆．按照建筑要求，每隔x米需打建一个桩位，每个桩位需花费4.5万元（桩位视为一点且打在长方形的边上），桩位之间的x米墙面需花万元，在不计地板和天花板的情况下，当x为何值时，所需总费用最少？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：由题意可得出需打的桩位个数，进而得到墙面所需费用和所需总费用的函数表达式，再利用导数研究它的极值，进而得出此函数的最大值即可．解答：解：由题意可知，需打个桩位．（3分）墙面所需费用为：，（5分）∴所需总费用=（0＜x＜30）（9分）令，则，当0＜x＜3时，t′＜0；当3＜x＜30时，t′＞0．∴当x=3时，t取极小值为．而在（0，30）内极值点唯一，所以．∴当x=3时，（万元），即每隔3米打建一个桩位时，所需总费用最小为1170万元．（14分）点评：利用导数解决生活中的优化问题，关键是要建立恰当的数学模型，把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定．当函数定义域是开区间且在区间上只有一个极值时，这个极值就是它的最值．20．在数列{an}中，已知a1=a（a＞2），且an+1=（n∈N*）．（1）用数学归纳法证明：an＞2（n∈N*）；（2）求证an+1＜an（n∈N*）．考点：数学归纳法；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．分析：（1）运用数学归纳法，注意步骤的完整性，当n=1时，检验成立，假设当n=k（k∈N*），命题成立；证明当n=k+1也成立，注意运用假设；（2）作差比较，即为an+1﹣an，化简整理，结合（1）的结论，即可得证．解答：证明：（1）①当n=1时，a1=a＞2，命题成立．②假设当n=k（k∈N*），命题成立，即ak＞2．则当n=k+1时，ak+1﹣2=﹣2=＞0，所以当n=k+1时ak+1＞2也成立，由①②得，对任意自然数n，都有an＞2．（2）an+1﹣an=﹣an=，由（1）可知an＞2＞0，即有an+1﹣an＜0，即an+1＜an（n∈N*）．点评：本题考查不等式的证明，考查数学归纳法的运用和作差比较法的运用，属于中档题．21．已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2，在x=﹣1时有极值0（1）求常数a，b的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）方程f（x）=C在区间[﹣4，0]上有三个不