第2章椭圆的几何性质

2.5.2椭圆的几何性质

学习目标核心素养

1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性

质，并正确地画出它的图形.

通过椭圆几何性质的学习，培养直观

2.根据几何条件求出曲线方程，并利

想象，数学运算素养.

用曲线的方程研究它的性质、图形.（重

点、难点）

情境趣味导学情境导学。探新知逸©*养辱和.

畲情境引入•助学助教

奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点

处.当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处

汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在（其实什么都没

有）.所以能产生很好的听觉效果.其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几

何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？

匚感知初股口

椭圆的简单几何性质

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

\+/=1(46>0)%+'=l(a>b>0)

标准方程

BL楙,

图形尸

对称性对称轴X轴和y轴,对称中心（0,0）

范围x^\-b,b\,

yEi\—b,b]y£[—a,

4（一。,0）,A2（a,0）,31（0,一〃），4（0,—a）,A2（0,a）,

顶点

历（0,b）8（一40）,B2（b,0）

轴长短轴|8历尸为，长轴I4A2尸四

隹八、、占八、、Fl（—C,0）,-2（C,0）Fi（0,­c）,BOc）

焦距

\FIF2\=2C

离心率e==（0<e<l）

思考1:椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？

［提示］最大距离：a+c;最小距离：a-c.

思考2：椭圆方程$+冬=1(">8>0)中a,b,c的几何意义是什么？

［提示］在方程，+*=l(a>/?>0)中，a,b,c的几何意义如图所示.即a,

h,c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形.

m试身羡g

1.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“义”)

?2

⑴椭圆$+*=l(a>b>0)的长轴长等于a.()

(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值a—c.()

⑶椭圆上的离心率e越小，椭圆越圆.()

［答案］(1)X(2)V(3)V

9,2

［提示］(1)X椭圆”+*=的长轴长等于2a.

⑵J椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a+c,最小值为a—c.

⑶J离心率e=\越小，c就越小，这时。就越接近于a,椭圆就越圆.

2.椭圆6/+y2=6的长轴端点坐标为()

A.(-1,0),(1,0)B.(-6,0),(6,0)

C.(一#,0),(加，0)D.(0,_®(0,#)

D|>2+卞=1焦点在y轴上，长轴端点坐标为(0,—■\/6),(0,&).］

3.椭圆/+4y2=4的离心率为()

A亚「应n2

/A.•20R.4・2•3

A［化椭圆方程为标准形式得亍+V=1,

所以。2=4,z?2=l,所以c2=/—》2=3.

所以6=(=坐.］

4.椭圆看+得=1的焦点坐标是,顶点坐标是.

22

(0,±\斤)(±3,0),(0,±4)［由方程，+言=1知焦点在y轴上，所以屋=

16,〃=9,c2=a2—/?2=7.

因此焦点坐标为(0,+V7),顶点坐标为(±3,0),(0,±4).］

疑难问题解惑合作探究。释疑难学科素养形成

4g型J/椭圆的几何性质

【例1］求椭圆16^+25/=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶

点的坐标.

［思路探究］化为标准方程，确定焦点位置及。，力，c的值，再研究相应的

几何性质.

X2V2

［解］把已知方程化成标准方程尹+不=1,可知a=5,/?=4,所以c=3.因

,c3

此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和26=8,离心率e=z=q,两个焦点

分别是尸1(一3,0)和尸2(3,0),椭圆的四个顶点是Ai(-5,0),42(5,0),Bi(0,-4)

和&(0,4).

］........规法...........................

1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确

定焦点的位置，进而确定椭圆的类型.

2.焦点位置不确定的要分类讨论，找准。与江正确利用/=/+c2求出

焦点坐标，再写出顶点坐标.

提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍.

［J

［跟进训练］

1.求椭圆4f+9V=36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率.

［解］将椭圆方程变形为5+^=1,

.,.a=3,b=2,c='\］a2—b2=yj9—4=y［5.

...椭圆的长轴长和焦距分别为2a=6,2c=2小，焦点坐标为后(一小，0),

产20收0),

顶点坐标为4(一3,0),A2(3,O),BI(0,-2),及(0,2),离心率e=；=坐.

A大型2利用几何性质求椭圆的标准方程

【例2］求适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴与椭圆4?+第=36有相同的焦距，且离心率为手；

(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2,—4).

［解］⑴将方程4x2+9y2=36化为卷+：=1,

可得椭圆焦距为2c=2小.又因为离心率e=乎,

即当=乎，所以a=5,从而庐=/一02=25—5=20.

72

若椭圆焦点在X轴上，则其标准方程为羡+勃=1；

.22

+=L

若椭圆焦点在y轴上，则其标准方程为fe20

⑵依题意2a=2X2①即。=24

/y2

若椭圆焦点在x轴上，设其方程为”+方=1(。>〃>0),

ci=2b,

4=68,

则有4,16解得'

力2=17,

所以标准方程磕+右=1・

若椭圆焦点在y轴上，设其方程为，+胃=13>〃>0),

a=2b,

1=32,

则有16.4解得,

障+产1，序=8.

所以标准方程为d+女=1.

o3乙

规律C方法

利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项

(1)用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法.

(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明

确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是：①求出次，序的值；②确定焦点所在的

坐标轴；③写出标准方程.

(3)在求解层、〃时常用方程(组)思想，通常由已知条件与关系式次=/+,2,

e=：等构造方程(组)加以求解.

提醒：解答本例时容易忽视焦点的位置而漏解.

［跟进训练］

2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴长轴长是10,离心率是亲

(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.

［解］(1)设椭圆的方程为

5+%=1(4匕>0)或5+*=

c4

由已知得2〃=10,a=5,£=7=苧，c=4.

/./=/—，=25—16=9.

椭圆方程为点+方=1或5+根=1・

(2)依题意可设椭圆方程为

=l(a>/?>0).

如图所示，△4以2为一等腰直角三角形，。尸为斜边44的中线(高),

且|OF|=c,|4闻=242c=6,

；.c=b=3,.,.a2=b2+c2=18,

x2v2

故所求椭圆的方程为讴+g=1.

岭型3求椭圆的离心率

"呆究问题］

1.求椭圆离心率的关键是什么？

［提示］根据e=5，a2—h2=c2,可知要求e,关键是找出a,6c的等量关

系.

2.a,b,c对椭圆形状有何影响?

［提示］

【例3】已知B,B是椭圆的两个焦点，过B且与椭圆长轴垂直的直线

交椭圆于A,B两点，若是正三角形，求该椭圆的离心率.

［思路探究］由题设求得A、B点坐标，根据△ABB是正三角形得出a,b,

的关系，从而求出离心率.

X~V

［解］设椭圆的方程为u+R=l(a>b>。)，焦点坐标为Q(—c,O),F2(GO).

依题意设A点坐标为1—c,勺),

则3点坐标为(一c,

2b2

：.\AB\=~.

由△ABF'2是正三角形得2c=^义斗，

即小〃=2ag

又•・•〃=/一。2,.・.小。2-小。2_2。。=0,

两边同除以屋得小(；)+2。一小=0,

解得e=》=坐

［母题探究］

1.(变换条件)本例中将条件“过B且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B

两点，若△ABB是正三角形”改为“A为y轴上一点，且AA的中点8恰好在

椭圆上，若△ABB为正三角形”.如何求椭圆的离心率？

fV2

［解］设椭圆的方程为］+R=l(a>b>0),焦点坐标为Q(—c,0),F2(G0),

设A点坐标为(0,yo)(yo>O),

则8点坐标为(一宗?，

VB点在椭圆上，

•£+心=1

-4♦十4/b

解得济=4户一年

由△AFF2为正三角形得4层一戎簧2=3/,

即c4—8«2<?+4«4=0,

两边同除以/得e4—8e2+4=0,

解得e=y[3—1.

2.(变换条件)“若△ABB是正三角形”换成“椭圆的焦点在x轴上，且A

2

点的纵坐标等于短半轴长的,求椭圆的离心率.

92

解设椭圆方程为了十方=1(4匕＞0),Fi(-c,O),F2(C,O),

由题意知c,在椭圆上，

/4\1~5

•••茄玲=1，解得6=竽

「......规律(方法............................

求椭圆离心率的方法

(1)直接求出a和c,再求e=》也可利用求解.

(2)若。和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，

然后整理成标的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求

解.

课堂知识夯实课堂小结。提素养双基盲点扫除

r~ih必备:素养二~1

1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确

定焦点的位置，找准a、h.

2.利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.

3.求离心率e时，注意方程思想的运用.

0以致用C

1.椭圆■+气=1的离心率()

A亚B2

A-4U-16

A[«2=16,Z?2=9,(?=7,从而e="=*"・]

2.若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18,且两个焦点恰好将

长轴三等分，则此椭圆的方程是()

A.知+务=iB.薪+'=1

C.肝+得=1D.料导=1

A［由已知得a=9,2c=；X2a,.*.c=|a=3,b2=a2—c2=12.

?2

又焦点在X轴上，椭圆方程为言+3=1.］

o1/Z

3.椭圆^+加产=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则机的值为

()

A.；B.2

C.1D.4

C［椭圆，+枢产