人教A版（2019）高中数学必修第一册3.3幂函数

3.3幕函数

一、单选题。本大题共18小题，每小题只有一个选项符合题意。

1.若哥函数y=(7〃2—3«1+3)尤'"2-"2的图象经过原点，则机的值为()

A.1或2B.2C.1D.不存在

2.已知事函数y=/(x)的图象经过点(3,9),则的值为()

£

A.4B.2C.D.

24

3.如图是塞函数y=的部分图像，已知〃取;,2,-2,-g这四个值,

则于曲线。1，。2，03，04相对应的九

依次为()

cl1c

A.2,—,--,-2

22

1cc1

C.--,-2,2,—

22

£I

4.若(2m+1)4>(2_V,则实数机的取值范围是()

W+W1、

A/5-1

A.一Q0,,4-00C.(-1,2)D.,2

2

7/

5.己知哥函数/(%)=依”的图像过点，则上等于()

3

A.B.1C.一D.2

22

6.已知函数丁=%〃'2-5〃，+4(m£Z)为偶函数且在区间(0,+oo)上单调递减,则m=()

A.2或3B.3C.2D.1

，则函数g(x)=(x-2)/(x)在区间止,1］上的最小值是()

7.已知塞函数/(%)二/的图象过点

2

A.-1B.-2C.-3D.-4

8.函数/(%)=(机2—1)%/+吁3是哥函数，对任意石,/e(O,+8),,且石彳々，满足

~"")>0,若a,beR,且a+b>0,ab<。，则/(a)+/(b)的值()

x{-x2

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断

二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。

m

9.若幕函数丁二%、(相,“CN*且互素)的图象如下图所示,则下列说法中正确的是()

m1

A.0<—<lB.机是偶数，〃是奇数

n

rnrrj

c.m是偶数，〃是奇数，且一<lD.m、w是偶数,且一>1

n

10.己知函数/(%)=/图像经过点(4,2),则下列命题正确的有()

A.函数为增函数B.函数为偶函数

C.若则/(幻>1D,若。<西<々，则/叫

11.有如下命题，其中真命题的标号为()

A.若基函数y=/(x)的图象过点则7(3)〉；

B.函数/(x)="T+l(a>0且awl)的图象恒过定点(1,2)

C.函数〃力=公-1在(0,+。)上单调递减

D.若函数/(x)=f—2x+4在区间［0,向上的最大值为4,最小值为3,则实数机的取值范围是［L2］

12.已知累函数,(%)=/；Cm,neN*>m,"互质)，下列关于/(%)的结论正确的是()

A.m,“是奇数时，幕函数”X)是奇函数

B.m是偶数，”是奇数时，基函数/(九)是偶函数

C.根是奇数，”是偶数时，累函数/(%)是偶函数

D.0〈生<1时，幕函数/(九)在(0,+")上是减函数

n

E.m,“是奇数时，哥函数/(%)的定义域为R

三、填空题。本大题共4小题。

Y

13.若函数/(x)=F-----是塞函数，则。=.

ci+a+1

14.设。£{-2,-1,1,2},则使函数丁=非为偶函数的所有。的和为一

15.已知事函数/(%)=/病+时［mcN*)，经过点(2,、笈)，试确定机的值，则满足条件

/(2—a)>/(a—1)的实数。的取值范围.

16.下面命题：①幕函数图象不过第四象限；②y=x°图象是一条直线；③若函数y=2'的定义域是

{x|x<0},则它的值域是"lyVl}；④若函数>=：的定义域是{x|》>2},则它的值域是

⑤若函数>=好的值域是{y|0WyW4},则它的定义域一定是{%|—2Wx<2}.其中不正确命题的序号

是.

四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。

17.已知哥函数〃(％)=(nr-5m+l)xm+1为奇函数.

(1)求实数m的值；

/、

(2)求函数g(%)=.XG0,1|的值域.

7

18.已知幕函数y=/(x)的图象经过点(3,9),对于偶函数y=g(x)(xeH),当“0时,

g(x)=/(x)-2x.

(1)求函数y=/(x)的解析式；

(2)求当x<0时，函数y=g(x)的解析式；

19.已知哥函数/(x)=x-m2-2m+3(-2<相<2,m€z)满足：

(1)在区间(O,+")上为增函数

(2)对任意的xeR,都有〃—X)—〃x)=0,

求同时满足⑴⑵的幕函数八％)的解析式，并求当无c[0,4]时，/(九)的值域.

20.已知基函数/(%)=("?—1)2——+2在(0,+“)上单调递增.

(1)求加的值；

(2)当xe[l,2]时，记/(九)的值域为集合A,若集合6=[2—4,4—同，且4口5=0,求实数上的取

值范围.

21.函数/(x)=2、和g(x)=d的图像的示意图如图所示，两函数的图像在第一象限只有两个交点

A（xl,yl）,B（xl,y2）,xl<x2

(1)请指出示意图中曲线01?2分别对应哪一个函数；

(2)比较/(6),g(6),/(10),g(10)的大小，并按从小到大的顺序排列；

(3)设函数"(％)=/。)一8。),则函数/1(尤)的两个零点为王,马，如果石e［4b+1］,其

中。力为整数，指出。力的值，并说明理由.

22.已知幕函数/(x)=x°/)a+H左eZ,且f(x)在(0,+s)上单调递增.

(1)求实数上的值，并写出相应的函数/Xx)的解析式；

(2)若尸(x)=2/(x)—4x+3在区间［2a,a+l］上不单调，求实数〃的取值范围；

17

(3)试判断是否存在正数4,使函数g(x)=l-#'(El+Qq-Dx在区间［-1,2］上的值域为若

8

存在，求出q的值；若不存在，请说明理由

答案解析

1.D

【解析】解：由幕函数的定义得加2一3m+3=1,则加=1或加=2.

当〃z=l时，y=x^,定义域为{x|x#O},图象不过原点;

当加=2时，y=x°,其图象也不过原点，故不存在这样的加.

故选：D

2.C

【解析】解：设/■（x）=x"，由函数过点（3,9）,,3"=9,解得a=2,

.♦・仆）=/,

2

故选：C.

3.A

1_2_-2--

【解析】令分别代入29

x=2,yv1一a%=%，%=%，y4=x

得到J1—A/2,%=4,y3=—,%=，

根据图象可知6，02，03，04相对应的〃依次为：2,2

故选：A

4.D

i

【解析】...,=/=近在［0,+8）上为增函数,

1

m>——,

2

2m+1>0,

—1—A/5O.-1+^5-1+^/5

2

m+m—1>0,=《m<---------或m>——0-----<-m-<2»

222

2m+l>m2+m—1

—l<m<2

A/5-1]

即加w

故选：D.

5.A

【解析】由题知/(%)=依”是幕函数，则左=1.又图像过点行],贝岫g[=0知々=—故

1

k7cc——.

2

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查幕函数解析式的求法，考查指数运算，属于基础题.

6.A

【解析】塞函数y=x"j5,"+4为偶函数，且在(0,+8)递减，

m1—5/W+4<0>且根2-57〃+4是偶数，

由加2—5m+4<0得1<加<4,又由题设加是整数，故加的值可能为2或3,

验证知机=2或者3时，都能保证加2-5根+4是偶数，故机=2或者3即所求.

故选A

7.C

【解析】塞函数/(%)=丁的图象过点[J],所以2a=g,有£=—1.

所以/(%)=—.<?(%)=二=1——在区间不1上单调递增.

xxx1_2_

所以最小值为g=-3.

故选C.

8.A

【解析】由己知函数/(九)=(疗—加—I)/*"1、是哥函数，

可得病-根-1=1,解得相=2或根=—1,

当相=2时，f(x)=x3,当根=一1时，f(x)=x~3,

对任意的和々£(0,+8)，且%w%2,满足」"<1>0，

再一%2

函数是单调增函数，所以根=2,此时/(x)=d,

又a+Z?>0,次?<0,可知。力异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值,

则+恒大于0,故选A.

9.ABC

【解析】图象在(U)右侧上升但上升幅度比丁=%小，o(一<i,A正确;

n

图象关于y轴对称，函数为偶函数，加是偶数，九是奇数，B正确；

则C也正确，D错误.

故选：ABC.

10.ACD

【解析】将点(4,2)代入函数/(%)=/得：2=4"，则。=3.

所以，(九)=必,

显然/■(%)在定义域［0,+8)上为增函数，所以A正确.

Ax)的定义域为［0,+8),所以/(x)不具有奇偶性，所以B不正确.

当x>l时，&〉1，即/(尤)>1,所以C正确.

当若0<X]<4时,

=X]+%2+2dxi%%%

42

44

即/(七)；/(々)</［七生］成立,所以口正确.

故选：ACD.

11.BD

【解析】对于A,令/(x)=x“，则2。=；,解得：«=-1,.•./(x)=%-1,.-./(3)=|<1,A错误;

对于B,令x—1=0,即％=1时，/(1)=1+1=2,.•./(九)恒过定点(1,2),B正确；

对于C,•.•/(X)为开口方向向上，对称轴为x=0的二次函数，.・./(%)在(0,+")上单调递增，C错误;

对于D,令/（x）=4,解得：x=0或无=2；又〃“出=/⑴=3,.•.实数加的取值范围为[1,2],D

正确.

故选：BD.

12.ACE

【解析】〃6=/=而,

当相，〃是奇数时，幕函数/（%）是奇函数，故A中的结论正确；

当机是偶数，”是奇数，塞函数//（九）在x<0时无意义，故8中的结论错误

当伍是奇数，〃是偶数时，幕函数/（九）是偶函数，故C中的结论正确；

0〈二<1时，塞函数/（九）在（0,+。）上是增函数，故。中的结论错误；

n

当机，W是奇数时，哥函数=在R上恒有意义，故E中的结论正确.

故选：ACE.

13.0或—1

V*

【解析】由函数〃X）=F-----是幕函数，可得4+。+1=1，解得。=0或。=—1,

a+a+1

故答案为：。或-1.

14.0

【解析】符合题意使函数》=底为偶函数的a为-2和2,

贝I]-2+2=0.

故答案为：0

3

15.1Wa<一

2

【解析⑺的图象过点（2,J5）,.=+娟，

m2+m=2,又m^N*，••m=l.

i

即其定义域为｛x|x20｝，且在定义域上函数为增函数，

3

・••由/（2—〃）>/（。-1）得0<。—1<2—.,解得1Va<—.

2

3

故答案为：14〃<大.

2

16.②③④⑤

【解析】解:暴函数图象不过第四象限，①正确；y=x°图象是直线丁=1上去掉点(0,1)，②错误;函数y=2"

的定义域是{x|x<o},则它的值域是{y|0<y<l},③错误；函数y=：的定义域是{x|x>2},则它的

值域是1y|0<y<3},④错误；若函数丁=f的值域是{y|0WyW4},则它的定义域也可能是

{x|0<x<2},⑤错误，

故答案为：②③④⑤.

17.(1)m=0；(2)I—4.

12」

【解析】(1)♦.•函数//(%)=(加一5加+1卜崂1为暴函数，

m2—5m+l=1>解得切=0或5,

当机=0时，7z(x)=x,九(%)为奇函数,

当7〃=5时，h^x)=x6,/z(x)为偶函数,

•.•函数可九)为奇函数，.•.加=0；

(2)由⑴可知，h(x)=x,则g(无)=无+Jl—2x,xe°，g]，

令Jl-2x=t，则x=-Q广+,‘te(0»l],

则/⑴=_+2+/+g=_；(/_l)2+i,te(0,1],

函数为开口向下，对称轴为r=1的抛物线，

...当/=0时，函数/(0)=5，

当f=1,函数取得最大值为1,

二/⑺的值域为，，1,故函数g(x)的值域为，■」.

18.(1)/(尤)=/；(2)当x<0时，=+2x.

【解析】⑴设丁=/(工)=丁，代入点(3,9),得9=3“，.・・£=2,.・./(九)=d；

(2)・."(x)=%2,.•.当XNO时g(%)=%2—2x,设％<0,则一%>0,

•.1y=g(x)是R上的偶函数，

g(x)=g(-%)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,即当x＜0时，g(x)=x2+2x；

19./(x)=x4；值域是［0,256］.

【解析】因为函数在(0,+8)上递增，

所以—m2—2m+3＞0＞解得—3＜根＜1，

因为一2＜相＜2,meZ,所以，m=-l,或根=0.

又因为/(—x)=/(x),所以“X)是偶函数，

所以-病—2,”+3为偶数.

当机=一1时，一〃/—2m+3=4满足题意；

当根=0时，2—2〃z+3=3不满足题意，

所以/(力=%4,

又因为〃力=/在［0,4］上递增.

所以“X)疝n=/(°)=°,小心=7(4)=256，

故函数的值域是［0,256］.

20.(1)m=0；(2)左＞3或左V—2.

【解析】⑴为幕函数，，(根—1)2=1,.•.〃［=0或2.

当机=0时，=£在(0,+8)上单调递增，满足题意.

当机=2时，/(九)=广2在(0,+8)上单调递减，不满足题意，舍去.

m=0.

(2)由(1)知，/(%)=%2.)/⑺在［1,2］上单调递增，2=［1,4］

由于此题中5/0,要满足4「|3=0,只需4一左＜1或2—左＞4,左＞3或左＜一2.

21.(I)Ci对应的函数为g(x)=d,C2对应的函数为"x)=2'.(II)/(6),g(6),g(10),/(10)(III)

a=l,b=9

【解析】解：(I)Cl对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为/(元)=21

(II)/(6)=26=64,g(6)=63=216,/(10)=210=1024,g(10)=1034=1000

所以从小到大依次为/(6),g(6),g(10),/(10).

(Ill)计算得a=l,b=9

理由如下：

令0