阿基米德三角形及焦点三角形内切圆问题

圆锥曲线拓展——焦点三角形内切圆问题、阿基米德三角形【方法梳理】阿基米德焦点三角形性质(弦AB过焦点F时)性质1：MF⊥AB性质2：MA⊥MB性质3：MN∥x轴性质4：S△ABM最小值为p²对于点A，B:①抛物线焦点弦与抛物线的交点②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点对于点M③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形”阿基米德三角形一般性质(弦AB不经过焦点F时)【性质1】阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴．【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线【性质3】若P点轨迹为直线，且该直线与抛物线没有公共点，则定点.【性质4】阿基米德三角形的面积的最大值为.【性质5】，类型一：椭圆焦点三角形内切圆问题【例1】已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为(

)A． B． C． D．【变式训练】1．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是(

)A． B． C． D．2．若椭圆的离心率为，两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则(

)A．2 B． C．4 D．3．(多选)设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则(

)A． B． C． D．4．(多选)已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点(不在轴上)，外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则(

)A．最大时， B．的最小值为2C．椭圆的离心率等于 D．的取值范围为5．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆上任意一点，且的取值范围为.当点不在轴上时，设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的最大值为.类型二：双曲线焦点三角形内切圆问题【例2】已知点分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支第一象限于点，若的内切圆的半径为1，则直线的斜率为(

)A． B． C．1 D．【变式训练】1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且(为坐标原点)，若内切圆的半径为，则C的离心率是(

)A． B． C． D．2．(多选)已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是(

)A．双曲线的离心率B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上C．为定值D．的最小值为3．(多选)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于两点，的内切圆分别切直线于点，内切圆的圆心为，半径为，则(

)A．切点与右焦点重合 B．C． D．4．如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，且内切圆的圆心在直线上.则双曲线的离心率是(

)A． B． C．2 D．5．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆周长为.【例3】已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的右支交于两点，若内切圆与内切圆的半径的乘积为，则双曲线的离心率为()A．B．C．D．【变式训练】1．(多选)双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与双曲线右支交于两点，记和的内切圆半径分别为和，则(

)A．和的内切圆圆心的连线与轴垂直B．为定值C．若，则的离心率D．若，则的渐近线方程为2．(多选)已知，分别为双曲线的左、右焦点，M为C的右顶点，过的直线与C的右支交于A，B两点(其中点A在第一象限)，设点P，Q分别为，的内心，R，r分别为，内切圆的半径，则(

)A．点M在直线PQ上 B．点M在直线PQ的左侧C． D．3．(多选)已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则(

)A．、在直线上 B．双曲线的离心率C．内切圆半径最小值是 D．的取值范围是4．(多选)已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于、两点，若、分别为与的内心，则(

)A．的渐近线方程为B．点与点均在同一条定直线上C．直线不可能与平行D．的取值范围为5．(多选)双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且在第一象限，，的内心分别为，，其内切圆半径分别为，，的内心为.双曲线在处的切线方程为，则下列说法正确的有(

)A．点、均在直线上 B．直线的方程为C． D．6．(多选)双曲线的左、右焦点分别，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则(

)A．到轴的距离为B．点的轨迹是双曲线C．若，则D．若，则7．已知双曲线C：过点，则其方程为，设，分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点(其中点A在第一象限)，设M，N分别为，的内心，则的取值范围是．8．双曲线的中心为原点，焦点在轴上，分别是双曲线的两个焦点，过上焦点作斜率的直线交双曲线上支于点,若，的内心分别是，且，则双曲线的离心率为.类型三：阿基米德三角形【例4】设抛物线的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,分别以A,B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则|AB|=( )A.5 B.6 C.7 D.8【变式训练】1．(多选)过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点(A在第一象限)，M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是()A.的最小值为4 B.C.△NAB面积的最小值为6 D.若直线AB的斜率为，则2．已知动圆过点，且与直线相切，记动圆的圆心轨道为，过上一动点作曲线的两条切线，切点分别为，直线与轴相交于点，下列说法不正确的是(

)A．的方程为B．直线过定点C．为钝角(为坐标原点)D．以为直径的圆与直线相交3．已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是(

)A． B． C．2 D．34．(多选)已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是(

)A． B．当时，C．当时，直线的斜率为2 D．面积的最小值为4【例5】(多选)已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是(

)A． B．C． D．以为直径的圆过点【变式训练】1．已知，是抛物线上位于不同象限的两点，分别过，作的切线，两条切线相交于点，为的焦点，若，，则(

)A． B． C． D．42．(多选)设抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则(

)A．轴 B． C． D．3．(多选)已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则(

)A．抛物线的准线方程为 B．直线一定过抛物线的焦点C．线段长的最小值为 D．4．已知抛物线：，直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值为.5．过向抛物线引两条切线，切点分别为,又点在直线上的射影为，则焦点与连线的斜率取值范围是.【巩固练习】1．已知椭圆的左右焦点分别为，，P为椭圆上异于长轴端点的动点，分别为的重心和内心，则(

)A． B． C． D．22．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是圆()与的一个交点，若的内切圆的半径为a，则的离心率为(

)A． B． C．2 D．3．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点与抛物线的焦点重合，点P为与的一个交点，若△的内切圆圆心的横坐标为4，的准线与交于A，B两点，且，则的离心率为(

)A． B． C． D．4．(多选)已知双曲线的左､右焦点分别为，，P为双曲线C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B.若圆与双曲线C的渐近线相切，则(

)A．的最小值为B．为定值C．双曲线C的离心率D．当点P异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上5．(多选)已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是(

)A． B．当时，C．当时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点6．已知为坐标原点，为椭圆的左、右焦点，，是椭圆上异于顶点的一点，点是以为底的等腰的内切圆的圆心，过作于点，，则椭圆的离心率为.7．已知抛物线，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则.8．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是△的内心(三角形内切圆的圆心)，若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是．9．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若上存在点，满足(为坐标原点)，且的内切圆的半径等于，则双曲线的离心率为．10．已知点，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与该双曲线交于，两点(点位于第一象限)，点是△内切圆的圆心，则；若的倾斜角为，△的内切圆面积为，△的内切圆面积为，则为.11．已知，，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，与内切圆的圆心分别为，，半径分别为，，则的横坐标为；若，则双曲线离心率为.12．已知双曲线方程是，过的直线与双曲线右支交于，两点(其中点在第一象限)，设点、分别为、的内心，则的范围是.13．已知是抛物线：的焦点，点，过点的直线与交于，两点，是线段的中点．若，则直线的斜率．圆锥曲线拓展——焦点三角形内切圆问题、阿基米德三角形【方法梳理】阿基米德焦点三角形性质(弦AB过焦点F时)性质1：MF⊥AB性质2：MA⊥MB性质3：MN∥x轴性质4：S△ABM最小值为p²对于点A，B:①抛物线焦点弦与抛物线的交点②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点对于点M③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形”阿基米德三角形一般性质(弦AB不经过焦点F时)【性质1】阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴．【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线【性质3】若P点轨迹为直线，且该直线与抛物线没有公共点，则定点.【性质4】阿基米德三角形的面积的最大值为.【性质5】，类型一：椭圆焦点三角形内切圆问题【例1】已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】取中点，由及得到三点共线且，再根据双曲线定义及得到的比例关系，进而解出离心率.【详解】设是的中点，连接，如图，则，由，得三点共线，.由既是的平分线，又是边上的中线，得.作轴于点，，且，.故选：B.【变式训练】1．已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上，为的内心，记，的面积分别为，且满足，则椭圆的离心率是(

)A． B． C． D．【答案】B【详解】

设，内切圆半径为，，即，所以，又，.2．若椭圆的离心率为，两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则(

)A．2 B． C．4 D．【答案】A【详解】

如图，连接，，设到轴距离为，到轴距离为，则设△内切圆的半径为，则，∴不妨设，则，∴，因为椭圆的离心率为，∴，3．(多选)设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则(

)A． B． C． D．【答案】ABD【详解】如下图所示，设切点为，，，对于A，由椭圆的方程知：，由椭圆的定义可得：，易知，所以，所以，故A正确；对于BCD，，又因为，解得：，又因为为上一点且在第一象限，所以，解得：，故B正确；从而，所以，所以，而，所以，故C错误；从而，故D正确.故选:ABD．4．(多选)已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点(不在轴上)，外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则(

)A．最大时， B．的最小值为2C．椭圆的离心率等于 D．的取值范围为【答案】ABD【详解】对于A，设，，则，且，所以，则当在短轴的端点时，取得最大，且最大值为，又，所以当最大时，，即，故A正确；对于B，过点作，垂足为点G，又点为外接圆的圆心，即为三条边的中垂线的交点，则点G为的中点，由，又，同理，所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为2，故B正确；对于C，由内切圆的圆心为，则，分别是，的角平分线，则由角平分线定理可得，即，故C错误；对于D，设，，，由正弦定理可得，即，则，即，因为，又结合A有，所以，即，所以，又因为当在短轴的端点时，最大，此时，，所以，即，所以，故，故D正确．故选：ABD．

5．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆上任意一点，且的取值范围为.当点不在轴上时，设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的最大值为.【答案】【详解】，，所以，所以，解得：，设，由正弦定理可得：，，可得：，又因为，设内切圆的圆心为A，所以，所以，所以，又因为当在短轴的端点时，最大，此时，，，所以，故当时，mn取得最大值为.故答案为：类型二：双曲线焦点三角形内切圆问题【例2】已知点分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支第一象限于点，若的内切圆的半径为1，则直线的斜率为(

)A． B． C．1 D．【答案】B【详解】如图，设的内切圆的圆心为，内切圆与三边相切于，

，所以，即的内切圆与轴相切于右顶点，即双曲线的右顶点为，设直线的倾斜角为，即，则由内切圆的性质可知轴，所以在中，，所以【变式训练】1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且(为坐标原点)，若内切圆的半径为，则C的离心率是(

)A． B． C． D．【答案】C【详解】，即为，即为，可得．所以．根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，如图所示，由题意设的内切圆切三边分别于G，D，E三点，则，，．又，所以．设，则，所以，所以切点D为双曲线的右顶点，所以，．在中，由勾股定理得，整理得，即，解得，又因为，所以C的离心率为，故选：C．2．(多选)已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为、．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是(

)A．双曲线的离心率B．当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上C．为定值D．的最小值为【答案】ACD【详解】双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的渐近线为，即，因为圆与双曲线的渐近线相切，且圆心为，圆的半径为，所以，，因为，解得，则双曲线，，，，对于A选项，双曲线的离心率．A对；对于B选项，为双曲线右支上(异于右顶点)一点，设的内切圆与三边切点分别为、、，如图，由圆的切线性质知，即，可得，所以，当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上，B错；对于C选项，设双曲线右支上的动点坐标为，则，又双曲线的渐近线方程为则，即为定值，C对；对于D选项，由已知的方程是，倾斜角为，所以，则，所以，，当且仅当时等号成立，D对．3．(多选)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于两点，的内切圆分别切直线于点，内切圆的圆心为，半径为，则(

)A．切点与右焦点重合 B．C． D．【答案】ACD【详解】对于A，由切线长定理可知：，则，，故①，又②，①②得，得，即，故点与点重合，正确；对于B，，B错误；对于C，根据三角形内切圆的性质可得，即，故C正确；对于D，令，则结合A、B选项可得：，∴．故D正确．4．如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，且内切圆的圆心在直线上.则双曲线的离心率是(

)A． B． C．2 D．【答案】D【详解】如图1，取中点为Q，连接EQ，PQ.则，.因，则，因直线外一点到直线连线中垂线段最短，则为垂线.因Q为中点，E为中点，则，得.又DO为直角三角形斜边中线，则.如图2，设内切圆的圆心为I，内切圆与交点为M，与交点为T，与交点为N.则，，又，则.又由切线性质，可知，则.则离心率为.故选：D5．已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆周长为.【答案】【详解】如图所示：设内切圆半径为，切点分别为，由题意，则，所以，由双曲线定义有；又因为，即，所以，因此，从而直角三角形的内切圆半径是，所以的内切圆周长为.【例3】已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的右支交于两点，若内切圆与内切圆的半径的乘积为，则双曲线的离心率为()A．B．C．D．【答案】A解析：如图：，，，，同理内切圆切点也是T，轴，都是角平分线，，由直角三角形射影定理得，，，，故选A【变式训练】1．(多选)双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与双曲线右支交于两点，记和的内切圆半径分别为和，则(

)A．和的内切圆圆心的连线与轴垂直B．为定值C．若，则的离心率D．若，则的渐近线方程为【答案】ABD【详解】对于A，设，的内切圆圆心分别为，设圆切分别于点，过的直线与双曲线的右支交于两点，由切线长定理，可得，所以，则，所以点的横坐标为，即点的横坐标也为，同理点的横坐标也为，故轴，A正确；对于B，在中，，，所以，所以，即，B正确；对于C，由解得，即，则双曲线的离心率，C错误；对于D，，由可得，所以或(舍)，则，则，所以的渐近线方程为，D正确．2．(多选)已知，分别为双曲线的左、右焦点，M为C的右顶点，过的直线与C的右支交于A，B两点(其中点A在第一象限)，设点P，Q分别为，的内心，R，r分别为，内切圆的半径，则(

)A．点M在直线PQ上 B．点M在直线PQ的左侧C． D．【答案】ACD【详解】先证明一个结论：焦点在x轴上的双曲线焦点三角形的内切圆圆心横坐标为.过的直线与C的右支交于A，B两点，设点P为的内心，设圆P与的切点分别为，则，则，解之得则切点的坐标为.切点与双曲线C的右顶点M重合，则圆P与x轴的切点为双曲线C的右顶点M，同理可得圆Q与x轴的切点为双曲线C的右顶点M.则直线的方程为，双曲线C的右顶点M的坐标为，则点M在直线PQ上.则选项A判断正确；选项B判断错误；选项C：.判断正确；选项D：由直线的方程为，可得.判断正确.3．(多选)已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则(

)A．、在直线上 B．双曲线的离心率C．内切圆半径最小值是 D．的取值范围是【答案】ABC【详解】对A：过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，则，∵，则，又∵，则，∴，即在直线上，同理可得：在直线上，A正确；对B：∵，则，∴，又∵，则，即，∴，故离心率为，B正确；对C：∵，则，∴，双曲线的渐近线方程为，则直线的倾斜角，设直线方程为，，联立方程，消去x得：，∴，则，设内切圆半径为，其周长，根据的面积可得：，则，C正确；对D：由题意不妨设，，∵，则，令，∴，，，又∵在上单调递增，∴，D错误；4．(多选)已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，焦点到渐近线的距离为.过作直线交双曲线的右支于、两点，若、分别为与的内心，则(

)A．的渐近线方程为B．点与点均在同一条定直线上C．直线不可能与平行D．的取值范围为【答案】ABD【详解】设双曲线半焦距为，双曲线的渐近线方程为，即，双曲线的右焦点到渐近线的距离为，由题意知，所以，所以，故双曲线的方程为，故渐近线方程为，故A正确；对于B选项，记的内切圆在边、、上的切点分别为、、，

由切线长定理可得，，，由，即，得，即，记的横坐标为，则，于是，得，同理内心的横坐标也为，故轴，即、均在直线上，故B正确；对于C选项，当与轴垂直时，，故C错误；对于D选项，设直线的倾斜角为，则，(为坐标原点)，在中，.，由于直线与的右支交于两点，且的一条渐近线的斜率为，倾斜角为，结合图形可知，即，所以，，故D正确.5．(多选)双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的右支于，两点，且在第一象限，，的内心分别为，，其内切圆半径分别为，，的内心为.双曲线在处的切线方程为，则下列说法正确的有(

)A．点、均在直线上 B．直线的方程为C． D．【答案】ABD【详解】由双曲线得，设的内切圆与分别切于点，则,所以，又,所以,即圆与轴的切点是双曲线的右顶点，即在直线上，同理可得圆与轴的切点也是双曲线的右顶点，即也在直线上，故选项A正确；因为点在双曲线上，所以，点到直线的距离，点到直线的距离所以，又，所以，即，又因为为的平分线，所以直线的方程为，故选项B正确；设圆与切于点，连接，设，因为,所以,所以，即，所以，又，所以，即，所以，故选项C错误；由B知的方程为，①设，同理得的方程为，②由①②得，③因为，所以设的方程为，因为在上，所以，代入③得，所以在直线上，所以到的距离为，又到的距离为，所以,故选项D正确6．(多选)双曲线的左、右焦点分别，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则(

)A．到轴的距离为B．点的轨迹是双曲线C．若，则D．若，则【答案】ACD【详解】设圆与三边的切点为，，又，故，故，所以到轴的距离为，故A正确；过作直线的垂线，垂足为，延长交于点，因为，则为的中点且，于是，故点的轨迹是在以为圆心，半径为的圆上，故B不正确；设椭圆的长半轴长为，它们的半焦距为，并设，根据椭圆和双曲线的定义可得：，所以，在中，由余弦定理得：，即，在中，由余弦定理得：，即，由，两式相加，则，又，所以，所以，所以，即，故C正确；，即，所以，即，故D正确7．已知双曲线C：过点，则其方程为，设，分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点(其中点A在第一象限)，设M，N分别为，的内心，则的取值范围是．【答案】【详解】①由双曲线C：过点，所以所以方程为②如图：设的内切圆与分别切于，所以，所以，又，所以，又，所以与重合，所以的横坐标为，同理可得的横坐标也为，设直线的倾斜角为.则，，，当时，，当时，由题知，...因为两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，∴.且，，综上所述，.8．双曲线的中心为原点，焦点在轴上，分别是双曲线的两个焦点，过上焦点作斜率的直线交双曲线上支于点,若，的内心分别是，且，则双曲线的离心率为.【答案】【详解】如图所示，在中，设边边上的切点分别为，则纵坐标相等，且，由双曲线的性质可得，设，则，解得，所以，同理可得内心的纵坐标也为，则轴，设直线的倾斜角为，则，，，由解得，又因为，所以，所以，设双曲线方程为，，，，，则直线为，即，联立得，则，，则所以，所以，即，所以，解得类型三：阿基米德三角形【例4】设抛物线的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,分别以A,B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则|AB|=( )A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【详解】法一：因为弦AB过焦点，故点P在准线上，勾股求出P点到x轴距离，进而可知∠PFO=30°，又∵∠PFB=90°，故∠FBP=60°，由焦点弦公式可得.法二：常规解法，设直线AB的方程为，显然m是存在的，设，显然，求导：，在A点处的切线方程为…①，同理可得在B点处的切线方程为：；联立方程，解得，，，联立方程解得，，即P点在准线上，设，，考虑抛物线关于x轴对称，不妨取，代入①得：，解得或，由图可知，再代入抛物线方程得，【变式训练】1．(多选)过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点(A在第一象限)，M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是()A.的最小值为4 B.C.△NAB面积的最小值为6 D.若直线AB的斜率为，则【答案】ABD【详解】由题意知,设直线AB方程为,，联立，可得，，故，则，故当时，的最小值为4，故A正确；又，即M点纵坐标为2m,故，当时，轴，NF在x轴上，此时;当时,，，故，综合可知，,故B正确；又点N到直线AB的距离为，故，当时，取最小值4，故C错误；若直线AB的斜率为，则直线AB方程为，即，则，由于A在第一象限，故解得，故，由于同向，故，故D正确2．已知动圆过点，且与直线相切，记动圆的圆心轨道为，过上一动点作曲线的两条切线，切点分别为，直线与轴相交于点，下列说法不正确的是(

)A．的方程为B．直线过定点C．为钝角(为坐标原点)D．以为直径的圆与直线相交【答案】D【详解】设动圆圆心为，

依题意得：，即的方程为，故A正确；由得，，∴，∴切线的方程为：，即，又，∴，同理可得切线的方程为，又切线经过点，∴，故直线的方程为，∴直线过定点，故B正确；联立消去整理得，故，，则，∴为钝角，故C正确；由于直线恒过抛物线焦点，设中点为，过向直线作垂线，垂足分别为，连接，由抛物线定义，，∴，∴以为直径为圆与直线相切，故D错误3．已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是(

)A． B． C．2 D．3【答案】A【详解】抛物线的准线为，设点，对函数求导得，于是直线的方程为，即，亦即，同理，直线的方程为，而点为直线、的公共点，则，因此点，的坐标都满足方程，即直线的方程为，从而直线恒过定点，所以点到直线的距离的最大值.

4．(多选)已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是(

)A． B．当时，C．当时，直线的斜率为2 D．面积的最小值为4【答案】ABD【详解】对A，易知准线方程为，∴，：，故选项A正确.对B，设直线，代入，得，当直线与相切时，有，即，设，斜率分别为，，易知，是上述方程两根，故，故.故选项B正确.对C，设，，其中，.则：，即.代入点，得，同理可得，故：，故.

故选项C不正确.对D，同C，切线方程：；：，代入点有，，故直线的方程为，即，联立有，则，故，又到的距离，故，故当时的面积小值为，故D正确【例5】(多选)已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是(

)A． B．C． D．以为直径的圆过点【答案】ACD【简证】第一步：由性质一可得AR∥y轴，故A点横坐标为4第二步：由性质2可得:点所在直线为，故A正确，故B错；而A点在准线上，可得C对，D对附：【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线.若焦点在y轴上的抛物线，则轨迹方程为【详解】抛物线的焦点到准线的距离为，所以，抛物线的方程为，设、，由可知为的中点，所以，且，，由可得，所以，直线的斜率为，则直线的方程为，可得，联立可得，所以，，对函数求导可得，所以，切线的方程为，即，同理可知，切线的方程为，联立可得，即点，易知抛物线的焦点为，所以，，A对；因为直线过点，所以，，B错；因为，，所以，，所以，故C正确；因为，且为的中点，所以，，因此，以为直径的圆过点，故D正确. 【变式训练】1．已知，是抛物线上位于不同象限的两点，分别过，作的切线，两条切线相交于点，为的焦点，若，，则(

)A． B． C． D．4【答案】B【简证】由阿基米德三角形性质可得【常规法详解】解：抛物线的焦点，抛物线的准线方程为，如图所示，根据抛物线对称性，不妨令第二象限，Q在第一象限，根据抛物线的定义，可知所以的纵坐标为1，的纵坐标为4，则，．由得，得，所以抛物线在，两点处的切线斜率分别为和2，得到两条切线方程并联立，解得，则，所以．2．(多选)设抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则(

)A．轴 B． C． D．【答案】AC【简证】由结论1可得A对，因为AB一定不过焦点F，故B错，由结论5可得C对,由结论5可得故D错【详解】对于A选项：设,,,过点A切线为：①,过点B切线为:②,①②得化简可得轴,A选项正确.设过A点的切线为,过B点的切线为,交点为AB的中点为，所以不垂直,B选项错误；,所以,D选项错误;作抛物线准线的垂线,连接则显然,所以又因为由抛物线定义,得,故知是线段的中垂线,得到则同理可证：,，所以，即,所以,即.3．(多选)已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则(

)A．抛物线的准线方程为 B．直线一定过抛物线的焦点C．线段长的最小值为 D．【答案】ACD【详解】由抛物线可知，焦点坐标为，准线方程为，故选项A正确；设，显然直线存在斜率且不为零，设为，方程为，与抛物线方程联立，得，因为是该抛物线的切线，所以，即，且的纵坐标为：，代入抛物线方程中可得的横坐标为：，设直线存在斜率且不为零，设为，同理可得：，且的纵坐标为：，横坐标为，显然、是方程的两个不等实根，所以，因为，所以，因此选项D正确；由上可知：的斜率为，直线的方程为：，即，又，所以，所以，即，所以直线AB一定过，显然该点不是抛物线的焦点，因此选项B不正确，由题意知，直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，由得，所以，，所以，当且仅当时等号成立，故选项C正确；故选：ACD

4．已知抛物线：，直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值为.【答案】【详解】如图所示，

设，则，联立方程组整理得，所以，且，所以.由，可得，则，所以抛物线的过点A的切线方程是，将代入上式整理得，同理可得抛物线的过点的切线方程为由解得，所以，所以到直线的距离，所以的面积，当时，，所以面积的最小值为.5．过向抛物线引两条切线，切点分别为,又点在直线上的射影为，则焦点与连线的斜率取值范围是.【答案】.【简证】半代入得切点弦QR方程为，故QR过定点，所以点的轨迹为以为直径的圆点与圆相切时斜率取到最值【常规法详解】设，不妨设，由，可得，可得，则，可得切线的方程为因为点在直线上，可得，同理可得：，所以直线的方程为，可得直线过定点，又因为在直线上的射影为，可得且，所以点的轨迹为以为直径的圆，其方程为，当与相切时，由抛物线，可得，设过点与圆相切的直线的斜率为，可得切线方程为，则，解得或，所以实数的范围为.故答案为：.【巩固练习】1．已知椭圆的左右焦点分别为，，P为椭圆上异于长轴端点的动点，分别为的重心和内心，则(

)A． B． C． D．2【答案】B【详解】由椭圆可得，如图，设的内切圆与三边分别相切与，分别为的重心和内心，则，，，所以,所以2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是圆()与的一个交点，若的内切圆的半径为a，则的离心率为(

)A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由双曲线定义和得到方程组，求出，再由内切圆半径，利用面积列出方程，得到齐次方程，求出离心率.【详解】由题意知，所，又因为，与联立，得，，所以，又因为，所以，即，所以，即，所以，所以．3．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点与抛物线的焦点重合，点P为与的一个交点，若△的内切圆圆心的横坐标为4，的准线与交于A，B两点，且，则的离心率为(

)A． B． C． D．【答案】B【详解】由题设，又点与抛物线的焦点重合，即，由，则，故，即，如下图示，内切圆与△各边的切点为，所以，又，则，所以为双曲线右顶点，又△的内切圆圆心的横坐标为4，即，故，则，所以离心率为.4．(多选)已知双曲线的左､右焦点分别为，，P为双曲线C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B.若圆与双曲线C的渐近线相切，则(

)A．的最小值为B．为定值C．双曲线C的离心率D．当点P异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上【答案】BCD【详解】由题意双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1，则，(舍去)，又，所以，离心率为，C正确；设的内切圆与三边切点分别为，如图，由圆的切线性质知，所以，因此内心在直线，即直线上，D正确；设，则，，渐近线方程是，则，，为常数，B正确；由已知的方程是，倾斜角为，所以，，，当且仅当时等号成立，A错误．故选：BCD.5．(多选)已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是(

)A． B．当时，C．当时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点【答案】BD【详解】因为为准线上的点，所以，解得，故A错；根据抛物线方程得到，则，设切点坐标为，，则，整理得，同理得，所以，为方程的解，，所以，则，故B