函数的图象（教学案）（解析版）

考情解读

1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数;

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程（不等式）问题.

卜重点知识梳理，

1.描点法作图

方法步骤：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数的解析式；（3）讨论函数的性质即奇偶性、周期性、

单调性、最值（甚至变化趋势）；（4）描点连线，画出函数的图象.

2.图象变换

⑴平移变换

|y=/(x)+1|

上碎>0）

移个单位

1，=&现帛/呼）卜j嘉

（A>0）下碎>0）（人>°）

移个单位

（2）对称变换

G.、关于x轴对称“、

①y=/U）-------->尸—於）；

4°、关于y轴对称.、

②y=/U）-------->y=/-x）；

GC、关于原点对称

③y=/U）-------->y=-#—x）；

©7=a'（«>0且存1）关‘''="；物。=108环（“>0且a^l）.

自、保留*轴上方图象、］

⑤）‘一段）将*轴下方%象输折上去y—1Ax）|.

公一、保留y轴右边图象，并作其_皿，、

Oy-fix）关于〉轴蒜油图象y-■川M）.

（3）伸缩变换;

«>i.横坐标缩短为原来町看来纵坐标不变

①y=/U)o<i«l,横坐标伸长为原来扁二倍,纵坐标不变

y=j1ax).

">1,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变

②y=/(x)0<a<l,纵坐标缩短为原来,的°倍,横坐标不变

y=qf(x)-

【必会结论】

1.左右平移仅仅是相对X而言的，即发生变化的只是X本身，利用“左加右减''进行操作.如果X的系

数不是1,需要把系数提出来，再进行变换.

2.上下平移仅仅是相对)，而言的，即发生变化的只是y本身，利用"上减下加''进行操作.但平时我们

是对y=7(x)中的式x)进行操作，满足“上加下减”.

高频考点一作函数的图象

例1、作出下列函数的图象：

⑴尸团(2)j-|log2(x+l)h

2x~1

⑶「：rp(4))，=f—2|x|一1.

【解析】(1)先作出的图象，保留图象中x>0的部分，再作出的图象中x>0部分

/nW

关于y轴的对称部分，即得的图象，如图①实线部分.

(2)将函数,y=log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数,y

=|log2(x+l)|的图象，如图②.

(3)；y=2+士，故函数图象可由图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.

X1X

——]

(4)Vy=2,'.一’且函数为偶函数，先用描点法作出[0,+8)上的图象，再根据对称性作出(一

x+2x—1,x<0,

00,0)上的图象，得图象如图④.

【方法规律】画函数图象的一般方法

(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象

的关键点直接作出.

(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作

出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

【变式探究】作出下列函数的图象：

(l)j=|x—2|•(x+2)；(2)y=|log2(x+l)|；

2x-12

?—4

,2；1I

{—X2+4,X<2,

第(1)题图第(2)题图

(2)将函数y=log2X的图象向左平移1个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y

=|lOg2(x+l)|的图象,如图.

(3)原函数解析式可化为>，=2+—三，故函数图象可由图象向右平移1个单位，再向上平移2个单

X1X

位得到，如图.

(X2—2X—1,x》0,

(4)因为y=八且函数为偶函数，先用描点法作出［0,+8)上的图象，再根据对称性

［x+2x—1,x<0,

作出(-8,0)上的图象，得图象如图.

高频考点二识图与辨图

例2、［2017•全国卷HI］函数产l+x+季的部分图象大致为()

【答案】D

【解析】当xf+8时，0,1+%-*+00,y=l+x+平J-+8,故排除选项B.

当0<x<，时，y=l+x+^4>0,故排除选项A,C.

故选D.

【变式探究】⑴（2016•全国I卷）函数尸2?一e”在［-2,2］的图象大致为（）

（2）（2015•全国II卷）如图，长方形A8CD的边48=2,BC=1,。是AB的中点.点P沿着边BC,CD

与DA运动，记NBOP=x.将动点P至Ij4,B两点距离之和表示为x的函数火x）,则y=/（x）的图象大致为（）

【解析】(1求x)=2?-e叫xG[—2,2]是偶函数,

又/(2)=8-e2G(0,I),排除选项A,B.

设g(x)=2f—e"x>0,则g，(x)=4x—e'.

又g'(0)V。，gQ)>。，

・，.ga)在(o,2)内至少存在一个极值点，

.；/U)=2f—/在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C,故选D.

(2)当1时，./(x)=tanx+q4+tan%,图象不会是直线段，从而排除A,C.

当xG_4>卦寸,局=/(竽)=1+小,

^=2<2.72^2<1+^5,

•••{$《；)=/(¥)，从而排除D,故选B.

【答案】⑴D(2)B

【方法规律】函数图象的识辨

(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置;

(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;

(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;

(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复;

(5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.

【变式探究】(1)函数)，=10g2(|x|+l)的图象大致是()

1,1,,_

(2)己知a是常数，函数式》)=可/+](1—“x+2的导函数y=/(x)的图象如图所不，则函数g(x)=|a*

一2|的图象可能是()

【解析】(l)y=log2(国+1)是偶函数,当xK)时，y=log2(x+1)是增函数，且过点(0,0),(1,1),只有

选项B满足.

(2)由_/(的=3'+3(1~a)x2-ax-h2,得f(x)=x2+(l—a)x—a,

根据y=/(x)的图象知一」a

->0,/.a>l.

2

则函数g(x)=|/-2|的图象是由函数y="的图象向下平移2个单位，然后将x轴下方的图象翻折到x

轴上方得到的，故选D.

【答案】(1)B(2)D

高频考点三函数图象的应用

例3、(1)若方程x2一|x|+a=l有四个不同的实数解，则a的取值范围是.

⑵己知函数加力fs。in呼jrx,0,<x；<“l,若a，b,c互不相等'且所=则a+b+c的取值范围

是()

A.(1,2015)B.(1,2016)

C.[2,2016]D.(2,2016)

【答案】(1)(1,%(2)D

【解析】⑴方程解的个数可转化为函数y=x2—|x|的图象与直线y=l—a交点的个数，如图:

易知—(<1—a<0.1<a<*

(2)作出函数的图象，直线y=m交函数图象如图，不妨设a<b<c,由正弦曲线的对称性，可得A(a,m)

与B(b,m)关于直线x=；对称，因此a+b=l,当直线y=m=l时，由log2015x=l,解得x=2015.若满足

f(a)=f(b)=f(c),且a.b,c互不相等，由a<b<c可得l<c<2015,因此可得2<a+b+c<2016,即a+b+

ce(2,2016).故选D.

y

2■­

【感悟提升】(1)利用函数的图象研究函数的性质对于己知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性

质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应

关系.

(2)利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象

交点的横坐标；不等式f(x)<g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数

形结合思想.

|lgx|,x>0,

【变式探究】已知於)=则函数y=?Ax)—3於)+1的零点个数是

2W,x<0,

【解析】

由2fyx)-3J(x)+1=0得加r)=；或_/(x)=I

作出函数y=/(x)的图象.

由图象知与y=/(x)的图象有2个交点，y=］与y=/(x)的图象有3个交点.

因此函数y=2/(x)—Mx)+1的零点有5个.

【答案】5

高频考点四函数图象中的数形结合思想

if—11

例4、已知函数」的图象与函数丫=丘的图象恰有两个交点，则实数上的取值范围是

【解析】函数y=；_]的定义域为｛川印｝,所以当x>l时，y=x+I,当一K1时，y=-x—],当让

一1时，y=x+l,图象如图所示，

由图象可知当0<%<2且上1时两函数恰有两个交点，所以实数k的取值范围为(0,1)0(1,2).

【答案】(0,l)U(l,2)

【变式探究】已知函数人》)=仅一2|+1,g(x)="若方程y(x)=g(x)有两个不相等的实根，则实数上的取

值范围是()

A(0,I)B6，1)C.(1,2)

D.(2,+oo)

【答案】B

【解析】由己知，函数外)=|%—2|+1与g(x)=履的图象有两个公共点，画图可知当直线介于人y=\

x,/2：y=x之间时，符合题意.故选B.

真题感悟

1.【2019年高考全国I卷】已知a=log2（）.2,。=202,c=0.20-3,则（）

A.a<h<cB.a<c<b

C.c<a<hD.b<c<a

【答案】B

02

［解析】a=log20.2<log?1=0,人=2->2°=1,

0<C=0.203<0.2°=1,即0<C<1,

则a<c</?.

故选B.

02

2.【2019年高考天津】已知。=log52,Z?=log050.2,c=0.5,则的大小关系为（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】因为a=log52<logsJ^=g,

。=logo.5°2>logos0.25=2，

0.5'<c=0.5°2<0.5°.即;<c<l，

所以avccb.

故选A.

3.(2018•天津卷)已知〃=log2e,h=\n2,c=log-4，则mb,c的大小关系为()

2J

\.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【解析】法一因为〃=k)g2e>l,Z?=ln2G(0,I),c=log5=log23>k)g2e=a>l,所以

法二Iog2g=log23,如图，在同一坐标系中作出函数y=log2X,y=lnx的图象，由图知

4.（2018,全国卷III）设。=10go,2。.3,Z?=log20.3,则（）

A.a+h<ab<0B.ah<a+h<0

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

【答案】B

【解析「】:4=logo?。。>logo21=0,。=log2（）.3<log21=0,I.4〃V0.•・,"=,+g=logo,3。.2+logo.32

=logo,30.4,1=logo.30.3>logo,30.4>logo.31=0,

a+b,

A0<—7-<l,：.ab<a+b<0,

ab

5.（2018•全国I卷）已知函数yU）=log2（x2+a）.若式3）=1,则。=.

【答案】-7

【解析】由-3）=1得log2（32+a）=L所以9+〃=2,解得〃=—7.

6.（2018•全国卷HI）设a=logo.20.3,/?=log20.3,则（）

A.B.ab〈a+b<0

C.a+h<0<ahD.ah<0<a+h

【答案】B

【解析】•••〃=logo.20.3>log（）.21=0,〃=log20.3Vlog?1=0,.'."VO.;;y='+g=logo3（）.2+log（）32

=log0.30.4,1=logo,30.3>log030.4>logo.31=0,

a+b,।

A0<—7-<l,：.ab<a+b<0,

ab

7.(2017•全国I卷汜知函数Ax)=lnx+ln(2—x),则()

A危)在(0,2)上单调递增

B/)在(0,2)上单调递减

C.y=«r)的图象关于直线x=l对称

D.y=/(x)的图象关于点(1,0)对称

【答案】C

【解析】由题意知，/(x)=1nx+1n(2-x)的定义域为(0,2),Xx)=lnW2-jr)］=ln［-(x-l)2+l］,由复合

函数的单调性知，函数7(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以排除A,B；又/(2—x)=ln(2一

x)+lnx=/(x),所以人为的图象关于直线x=l对称，C正确，D错误.

1.12016高考新课标1卷】函数y=2V—阴在［—2,2］的图像大致为

【答案】D

【解析】函数f(x)=2x2-e冈在［-2,2］上是偶函数，其图像关于y轴对称，因为/(2)=8-e2,0<8-e2<l,

所以排除A、B选项；当xe［0,2］时，/'(x)=4x-e*有一零点，设为天，当xe(0,x())时，/(工)为减

函数，当xe(%,2)时，为增函数.故选D。

2.【2016年高考北京】设函数/(幻=卜一力""".

—2x,x>a

①若a=0,则f(x)的最大值为；

②若/(无)无最大值，则实数a的取值范围是.

【答案】2,(-oo,-l).

【解析】如图，作出函数g(x)=%3—3x与直线y=—2x的图象，它们的交点是

A(-1,2),0(0,0),3(1,-2),由ga)=3d-3,知x=1是函数g(x)的极小值点，

①当。=0时，/(幻=/一3乐x40,由图象可知/(x)的最大值是/(一1)=2；

-2x,x>Q

②由图象知当“2-1时，/(x)有最大值/(—1)=2；只有当a<—1时，tz3-3a<-2«,/(%)无

最大值，所以所求。的取值范围是(-8,—1).

IxI尤〈"2

3.【2016高考山东】已知函数=-其中相>(),若存在实数乩使得关于x

x-2nvc+4m,x>m

的方程/(X)=b有三个不同的根，则m的取值范围是.

【答案】(3,+oo)

【解析】画出函数图象如下图所示:

由图所示，要f（x）=b有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即

|/7T|>rrT—2m-m+4m,m2—3m>0>解得机>3。

/（3口

【2015高考安徽，理9】函数（X+C）的图象如图所示,

则下列结论成立的是（）

（A）”0,力>（）,c<0（B）〃>（）,c>0

（C）Q<0,力>0,c<0（D）。<0,〃<（）,c<0

【答案】C

（.ax+bb

"1x+c）2n八n/（0）=->0

【解析】由及图象可知，xw-c,-c>0,则c<0；当x=0时，C,

x=>0

所以沙>°；当y=。，ax+b=Q,所以a,所以。<0故。<0,b>0,c<0,选c.

【2015高考新课标2,理10］如图，长方形48。°的边43=2,BC=1,。是A8的中点，点P沿

着边BC,与OA运动，记NB°P=x.将动P到A、B两点距离之和表示为x的函数/（月，则

丁=/（好的图像大致为（）

、

1金士二，1£*^~^~^x1X“3「AX

424K424"424"424"

(A)(B)(C)(D)

【答案】B

0＜〈万

即__4时，PA+PB=Vtan2x+4H-tanx,当

【解析】由已知得，当点P在BC边上运动时,

22

三&x嘉,x丰三PA+PB=J(——―1)+1+J(—'―+1)+1

点P在CD边上运动时，即442时，VtanxvtanA:,当

n3乃,/_________

X——I---WXKTTI0

2时，尸A+〃8=2V2；当点p在AD边上运动时，即4时rA+rt>—vtanX+4—t

兀£,汽、、

X=_f(一)>/(-)

从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线2对称，且42,且轨迹非线型，故选B.

(2014•福建卷)若函数y=log,Ma>0,且#1)的图像如图所示,则下列函数图像正确的是()

y

\y=logax

上卡

AB

【答案】B【解析】由函数y=logd的图像过点(3,1),得。=3.选项A中的函数为y=G);则其

函数图像不正确；选项B中的函数为y=Y,则其函数图像正确；选项C中的函数为y=(-x)3,则其函数

图像不正确；选项D中的函数为y=log3(—x)，则其函数图像不正确.

(2014•湖北卷)已知函数段)是定义在R上的奇函数，当近0时，加)=界一自+仅一谒一3/).若

VxGR,勺(x),则实数〃的取值范围为()

A[T|]B「小，*]

c(-iI]D「坐,用

【答案】B【解析】因为当后0时，J(x)=^(\x—a2\+\x-2a2\—3a2),所以当Ogg/时，兀r)=g

当cT<x<2a2时，

7U)=~^+2a2-x—3a2)=—cT；

当定2小时，

y(x)=—a2+x—2a1—3a2)=x-3«2.

一x,OS烂

综上，7U)=<