三角函数(一轮复习教学案)

第三章三角函数

知识网络：

第一节角的概念与任意角的三角函数

考点梳理：

1.角的有关概念

(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角.

(2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角.

(3)假设“与a是终边一样的角，则”用a表示为£=2航+a(ZWZ).

2.弧度与角度的互化

(1)1弧度的角

长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

(2)角a的弧度数

在半径为r的圆中，弧长为/的弧所对圆心角为arad,则a=(.

(3)角度与弧度的换算①"。=〃焉rad；②arad=(‘警)。.

(4)弧长、扇形面积的公式

设扇形的弧长为/,圆心角大小为a(rad),半径为r,则/=四，扇形的面积为S=%=；

Az.

3.任意角的三角函数

(1)定义：设。是一个任意角，它的终边与单位圆交于点尸。，y),那么sina=^,cosa

_y

-Xttana—.

-x

(2)三角函数在各象限的符号

一全正，二正弦，三正切，四余弦.

4.单位圆与三角函数线

(1)单位圆：半径为1的圆叫做单位圆.

(2)三角函数线.

(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上,

余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).

学情自测：

1.锐角a终边上一点A的坐标是(2sin*2cos则a弧度数是()

Tt„n27t

A.2B.7C.7D.-r

363

2.(2012•江西高考)以下函数中，与函数y='一定义域一样的函数为(

）

3.假设sinaVO且tana>0,则a是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

4.弧长为3兀，圆心角为135。的扇形半径为,面积为.

5.角。的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.假设尸(4,>)是角。终边上一点，且

sinJ=-邛^，则y=.

典例探究：

例1(角的集合表示)

(1)写出终边在直线上的角的集合；

(2)a是第三象限角，求卷所在的象限.

变式训练1：

假设角。的终边与号角的终边一样，则在［0,2兀)内终边与角号的终边一样的角为.

例2(弧度制的应用)

扇形的圆心角是a,半径为R,弧长为/.

(1)假设。=60。，/?=10cm,求扇形的弧长/.

(2)假设扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最大

(3)假设a=?R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面积.

变式训练2：

半径为10的圆。中，弦AB的长为10,

(1)求弦AB所对的圆心角a的大小；

(2)求a所在的扇形弧长/及弧所在的弓形的面积S.

例3(三角函数的定义)

4

(1)角a的终边经过点P。"，—3),且(:<双%=—5，则加等于()

A.一—4D.4

(2)角a的终边在直线3x+4y=0上，求sina.cosa,tana的值.

变式训练3：

设90。<6(<180。，角a的终边上一点为P(x,小)，且cosa=勺r,求4sina—3tana的值.

小结：

一条规律

三角函数值在各象限的符号规律概•括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

两个技巧

1.在利用三角函数定义时，点户可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.

2.利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧.

三点注意

1.第一象限角、锐角、小于90。的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间

角.

2.角度制与弧度制可利用18()o=7rrad进展互化，在同一个式子中，采用的度量制度必

须一致，不可混用.

3.注意熟记0。〜360。间特殊角的弧度表示，以方便解题.

课后作业(十六)角的概念与任意角的三角函数

一、选择题

图3—1—2

1.(2013.宁波模拟)如图3—1-2,在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆。于点P,

假设NAOP=6,则点P的坐标是()

A.(cos。，sin。)

B.（-cos。，sin。）

C.（sin。,cos®）

D.（—sin夕cos。）

2.2弧度的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长是（）

2

A.2B.sin2C.—TD.2sinl

3.（2013•海淀模拟）假设6（=竹360。+仇夕=样360。一。（吼〃?eZ）,则角a与£的终边的

位置关系是（）

A.重合B.关于原点对称

C.关于x轴对称D.关于y轴对称

4.假设角a的终边在直线），=-2x上，且sina>0,则cosa和tana的值分别为（）

A.当,-2B.一乎,

C.—嗜—2D.邛,-2

5.（2013•昆明模拟）设a是第二象限角，4）为其终边上的一点，且cosa=%,则tana

=（）

A.|B.^C.—^D.—

6.点P（sin竽，cos%）在角。的终边上，且何0,2兀），则6的值为（）

A&H4“4

二、填空题

7.（2013・潍坊模拟）假设角120。的终边上有一点（一4,。），则a的值是.

8.角a的终边落在直线y=-3x（xV0）上，则鹘一烂雪=.

olllvX

9.点P从（1,0）出发，沿单位圆/+产=1逆时针方向运动号弧长到达。点，则。点的

坐标为•

三、解答题

10.角。的终边上有一点P（x,-l）（xW0）,且tan0=-x,求sin（9+cos。的值.

11.扇形。48的圆心角a为120。，半径长为6,

（1）求成的长；

（2）求AB所在弓形的面积.

12.角a终边上的点尸与A（a,2a）关于x轴对称（a>0）,角广终边上的点。与A关于直

线y=x对称，求sin«-cosa+sin^-cos^+tana-tan/?的值.

第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式

考点梳理：

1.同角三角函数的基本关系式

（1）平方关系：sin2.+cos%=1.

（2）商数关系：tana=^^（a若+&兀，kCZ）.

2.诱导公式

学情自测：

1.cos（a—兀）=一卷，且a是第四象限角，则sina=（）

12c25n12

A.适D.书

2.sin（7r+e）=一于cosQjt—。），|。|＜多则。等于（）

兀-兀一兀一兀

A.一蕾•一亚声日

3.sin585。的值为（）

A.书条.普滤

假设COSG=—,且］£（兀，竽），则tana=（）

4.

A.^B.^C.—^D.一/

5.（2012•辽宁高考）sina—cosa=也，仪£（0,兀），则sin2a=（）

A.-IB.D.1

例1（同角三角函数关系式的应用）

（1）（2013•潍坊模拟）：3c°s"=5,则sir^a—sinacosa的值是（）

3cosa-sma

22

A.5B・一5C.-2D.2

（2）（2013・银川模拟）a£（元,^）,tana=2,则cosa=

【答案】⑴A⑵一杀

变式训练1：

3

（2012•大纲全国卷）a为第二象限角，sina=5，则sin2a=（）

A.一翁B.-Z|C.1|D.57

例2（诱导人式的应用）

sin（2兀一a）sin（兀+a＞cos（兀+a）

（l）tana=2,since+cosa<0,贝小

sin（3jc-a）-cos（7t+a）

.兀、/3兀।.z

sin（cc2j*cos（2~I-a），tan（7ta）

（2）a为第三象限角，/«）=

tan（—a-7r）-sin（—a—K）

①化筒/（a）;

②假设cos（a-当）=,,求Ia）的值.

变式训练2：

（1）（2013•烟台模拟）sin6（Xr+tan240。的值等于（）

A.一坐B雪C.小一/小

（2）（2013•台州模拟次c）=asin（7tx+a）+6cos（xr+S）+4（a,b,a,夕为非零实数）,

假设犬2012）=5,则式2013）=（）

A.3B.5C.1D.不能确定

例3（sina±cosa与sina-cosa的关系）

（2013・扬州模拟）一兀＜工＜0,siri¥+cosx=5.

,__^sin2x+2sin2x,.

（1）求sinx-cosx的值；（2）求;一：的i值j/.

1—tanx

变式训练3：

—^<x<0,sinx+cosx=5.

(1)求sinx—cosx的值；

(2)求tanx的值.

小结：

一个口诀

诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限.

两个防范

1.利用诱导公式进展化简求值时，要注意函数名称和符号确实定.

2.在利用同角三角函数的平方关系时，假设开方，要注意判断三角函数值的符号.

三种方法

在求值与化简时，常用方法有：

(1)弦切互化法：主要利用公式12皿=策进展弦、切互化.

(2)和积转换法：利用(sin6±cos6)2=l±2sindcos，的关系进展变形、转化.

(3)巧用“1"的变换：l=sin2o+cos20=cos2e(l+tan2O)=tan：等.

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

一、选择题

1.(2013•郑州模拟)记cos(-80°)=公那么tanl(X)o=()

A11一巳kck

A-kB-•石寸.一石?

2.(2013.温州模拟)假设cosg+9)=孚且⑹＜，则tanJ=()

A.一小B.^C.一雪D.小

3.(2013.济南模拟)a£(一0),sin(—a—竽)=乎则sin(一兀-a)=(

)

A禹杀邛D..平

4.(2013•保定模拟)tan0=2,则si/O+sin&os。一2cos2。=()

A.一,B3c.一(D.,

sinO+cos。sin6cos。

5.(2013.普宁模拟)假设=2,则的值为()

sin。—cos。cos3/?sii?。

6.假设since是5『一lx—6=0的根,

3兀3兀,

sin(—ay)sin("y—a)tan"(2K—a)

则------；-------；--------------二

兀兀)

cos(2—«)cos(2+a)sin(n+a)

A.1B.|C.^D.^

二、填空题

7.sin6+a)=坐，则sin(苧一㈤的值为.

8.(2013・青岛模拟加憾=2,则7sin2a+3cos2a=.

9.sin(x+奇=：,则sin(-^+x)+cos2(^—x)=.

［解析】原式=-S式哈+x)+COS2(1+x)=—1+(1—^2)=|1.

三、解答题

l-sin(x-^)+cos(x+^)+tan|n

io.函数yu)=

COSX

(1)求函数y=./(x)的定义域；

(2)设tana=一§,求加)的值.

8

11.tan(a+y7t)=a.

.1513

sin(~y7i+a)+3cos(a—~yn:)>?

求证：.20'22=布・

sin("y7t—a)—cos(a+-y7t)

12.在△ABC中，假设sin(2兀一A)=—，5sin(7r—5),yf3cosA=—^/2cos(n—B),求△ABC

的三个内角.

第三节三角函数的图象与性质

考点梳理：

1.周期函数和最小正周期

对于函数式x),如果存在一个非零常数7,使得定义域内的每一个x值，都满足"+D

=©),那么函数/U)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.假设在所有周期

中，存在一个最小的正数,那么这个最小的正数叫做/U)的最小正周期.

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx

U

图象、“/2P尸

斗一口一；2」|1莘

定义域

值域

单调性

最大值和最小值

奇偶性

对

对称中心

称

性

对称轴

最小正周期

学情自测:

1.函数y=tan3x的定义域为（）

3兀

A.{小工会+3E,jt€Z}B.{x\x^+kit,kH}

兀兀kn

C.{x|x#—4+E,左£Z}D.{x|x#&+了，攵£Z}

57r

2.函数_/0）=2<：0$（》+5_）是（）

A.最小正周期为2n的奇函数B.最小正周期为2n的偶函数

C.最小正周期为2兀的非奇非偶函数D.最小正周期为兀的偶函数

3.（2012.福建高考）函数段）=sin（x—7T力的图象的一条对称轴是（）

兀C兀c兀C兀

A.x=^B.x=^C.x=-1D.x=-2

■jTjr

4.对比大小：sin（—jg）sin（—jg）.

TT

5.函数y=2—3cos（x+R的最大值为,此时x=.

典例探究：

例1（三角函数的定义域和值域）

（1）（2012.山东高考）函数尸2sin管一$（0«）的最大值与最小值之和为（）

A.2一4B.0

C.-1D.一1一小

（2）函数）'=嬴匕的定义域为-

\

变式训练1:

⑴函数y=、2siar—1的定义域为.

（2）当xe/，磊时，函数y=3—sinx—2cos2》的最小值是,最大值是.

例2〔三角函数的单调性〕

„__一"，~（sinx-cosx）sin2x

（20］2■北乐局考）函数式*）=而^.

（1）求/U）的定义域及最小正周期；

（2）求大x）的单调递减区间.

变式训练2:

7T

（2013・武汉模拟）函数y=sin（§—2x）,求：

（1）函数的周期；

（2）求函数在［-m0］上的单调递减区间.

例3（三角函数的奇偶性、周期性和对称性）

设函数式x）=sin（（yx+9）（@>0,\（p\<^）,给出以下四个论断：

①它的最小正周期为几；

②它的图象关于直线x=吉成轴对称图形；

③它的图象关于点冷0）成中心对称图形；

④在区间［―*0）上是增函数.

以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题

（用序号表示即可）.

【答案】①②二③④或①@=②④，

变式训练3：

函数式x）=sin（u-$—1,则以下说法正确的选项是（）

A./U）是周期为1的奇函数

B.4x）是周期为2的偶函数

C.#x）是周期为1的非奇非偶函数

D./U）是周期为2的非奇非偶函数

小结：

两条性质

1.假设1/（x）=Asin（cox+夕）（4,co#0）,则

（1次用为偶函数的充要条件是伙WZ）：

（2求x）为奇函数的充要条件是0=E（%ez）.

2.对称性：正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称

轴上，正切函数的图象只是中心对称图形.

三种方法

求三角函数值域（最值）的方法：

（1）利用siar、cosx的有界性;

⑵化为y=Asin（cox+p）+k的形式，逐步分析。x+°的范围，根据正弦函数单调性写出

函数的值域：

（3）换元法：把sinx或cos看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域（最值）问题.

课后作业（十八）三角函数的图象与性质

一、选择题

1.（2013・银川模拟）以下函数中，最小正周期为兀，且图象关于直线尸:对称的函数是

（）

7T71XTC兀

A.y=2sin（2x+1）B.y=2sin（2x—^）C.y=2sin（1+RD.y=2sin（2x—§）

TT

2.函数y=tanq—x）的定义域是（）

717r713兀

A.[x\x^^]B.{x\x^—^}C.keZ）D.彳，kGZ]

3.函数y=sin2x+siiu：-1的值域为（）

A.[—1,1]B.[―I，—1]C.[―I，1]D.[—1,.

4.（2013・日照质检）函数y=sin2x的图象向右平移矶9>0）个单位，得到的图象关于直线

尤=*对称，则9的最小值为（）

.'jyD.以上都不对

5.（2013.北京模拟）函数yU）=siar+小cosx,设。=若），"=启）,c=庶）,则b,c

的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

6.函数兀v）=2sin（ox+9）,xGR,其中s>0,一兀（pWir.假设火x）的最小正周期为6w,,

且当x=5时，人无）取得最大值，则（）

A._/（x）在区间[―2TT,0]上是增函数

B._/U）在区间[―3m—川上是增函数

C.火X）在区间[3n,5nJ上是减函数

D.火x）在区间[4TT,6TT]上是减函数

二、填空题

TT

7.（2013♦延吉模拟次v）=Asin（Gx+8）,y（a）=A，加）=0,|a—用的最小值为丞则正数公

7r

8.函数y（x）=3sin（s-不）（①>0）和g（x）=2cos（2x+9）+l的图象的对称轴完全一样，假

设xG[0,方，则40的取值范围是.

9.函数./U）=cosxsinA（xeR）,给出以下四个命题：

①假设於1）=—/（X2），则/1=一必②AX）的最小正周期是2兀；

③/U）在区间[一?系上是增函数；&x）的图象关于直线》=当对称.

其中真命题是.

三、解答题

10.函数fix）=siorcosx+sin2x,

⑴求心的值；

（2）假设xd[0,多，求益）的最大值及相应的x值.

JT

11.设函数./U）=sin（2x+3）（一九V8V0），y=/U）图象的一条对称轴是直线x=g，

⑴求Q

（2）求函数y=段）的单调增区间.

12.（2013・潍坊模拟）向量a=（Asincux,Acoscox）,5=（cos仇sinff）,flx）=ab+lf其中A

>0,。>0,。为锐角.人©的图象的两个相邻对称中心的距离为:，且当x=去时，式x）取得

最大值3.

（1）求加）的解析式；

（2）将Hx）的图象先向下平移1个单位，再向左平移9侬>0）个单位得g（x）的图象，假设

g（x）为奇函数，求（p的最小值.

第四节函数y=4sin（3x+q）的图象及三角函数应用

考点梳理：

1.y=AsinQx+9）的有关概念

y=4sin（5+9）（A振幅周期频率相位初相

>0,①>0）,无£

T2兀

[0,+8）表示一个AT=­CDX+(P

(D9

振动量时

2.用五点法画y=Asin（0x+p）一个周期内的简图

3.由尸sinx的图象变换得到y=Asin（s+8）（其中A>0,幻>0）的图象

思考：

1.五点作法作y=Asin（5+p）的图象，首先确定哪些数据

【提示】先确定5：+9，即先使①工+0等于0,71,芸2兀，然后求出X的值.

2.在图象变换时运用“先平移后伸缩〃与“先伸缩后平移〃两种途径，向左或向右平

移的单位个数为什么不一样

学情自测：

1.简谐运动於）=2sin生+8）（3〈分的图象经过点（0,1），则该简谐运动的最小正周期7

和初相（P分别为（)

兀兀兀71

A.7=6,0=dB.7=6,9=券.T=6兀,T=6n,（p=q

2.的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y=sins的图象，则。的值为

（）A.IB.4C.］D.2

3.将函数y=sin光的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图

象上所有的点向右平行移动合个单位，得到图象的函数解析式为（）

A.y=sin（2龙一%）B.y=sin（2x一言）C・y=sin（%一聆）D.y=sin（%一京）

TT

4.函数y=Asin（s+9）（G>0,I9IV5）的局部图象如图3—4—1所示，则（）

图3—4—1

«兀八.兀一八兀--兀

A.co=l,3=%B.U）=\,p=_gC.co=2,0=%D.co=29（p=-《

5.（2012・安徽高考）要得到函数〉=8$（2；1+1）的图象，只要将函数y=cos2x的图象（）

A,向左平移1个单位B.向右平移1个单位

C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位

典例探究：

例1（函数y=Asin（«we+°）的图象变换）

（1）（2012•浙江高考）把函数y=cos2x+l的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标

不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（）

（2）（2013•大连模拟）设”>0,函数y=sin（wc+$+2的图象向右平移专个单位后与原图象重

合，则。的最小值是（）

243

A.1B5C.1D.3

变式训练1：

（1）（2013・济南模拟）要得到函数产sin（2x一6的图象，只需将函数产sin左的图象（）

A.向左平移自个单位B.向右平移自个单位

C.向左平移,个单位D.向右平移袁个单位

⑵（2013•青岛质检）将函数y=sin（x一令的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不

变），再将所得图象向左平移m个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）

17r7t11Jt

A.y=sin（g-1）B.y=sin（2x—j）C.y=sin/D.y=sin（那一不）

例2（作函数尸AsinQx+p）的图象）

函数/（x）=cos2%—2sinxcosx—sin2x.

图3—412

⑴将外）化为y=Acos（ftzx+e）的形式；

⑵用“五点法〃在给定的坐标中，作出函数人x）在［0,川上的图象.

7T

变式训练2：函数危）=sin（2x+,）.

（1）求函数y=於）的单调递增区间；

（2）画出函数卜=於）在区间［0,IT］上的图象.

例3(求函数y=4sin(“x+9)的解析式)

(1)(2013・无锡模拟)函数/)=Asin(tox+e)(A,(o,「为常数，A>0,。>0)的局部图象如图3

—4—3所示，则10)的值是.

图3-4-3

(2)(2013•厦门模拟)函数人¥)=小m(m+9)(4>0,0<8<5)的局部图象如图3—4—4所示，P、

Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(2,A),点R的坐标为(2,0).假设NPRQ

=号，则y=/(x)的最大值及9的值分别是()

图3—4—4

A.2小,巾,jC.y/3,*D.2小,全

变式训练3：

如图3—4—5是函数y=Asin(ox+0)+2(4>0,。>0)的图象的一局部，它的振幅、周

期、初相各是()

图3—4—5

A.A—3,7=冬0=—A=l,T=与，夕=芋

C.A=l,T=与，9=一乎D.A=1,T=与，夕=一：

3"45r0

例4(三角函数模型的简单应用)

如图3-4-6为一个缆车示意图,该缆车半径为4.8m,圆上最低点与地面距离为0.8m,60

秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动。角到。8,设B点与地面

间的距离为

(1)求〃与。间关系的函数解析式；

(2)设从OA开场转动，经过f秒后到达08,求/?与f之间的函数关系式，并求缆车到

达最高点时用的最少时间是多少

图3—4—6

变式训练4：

以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出

厂价格是在6元根基上按月份随正弦曲线波动的，3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂

价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元根基上按月份随正弦曲线波动的，并

且5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m

件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大并说明理由.

小结：

一种方法

M■—/?7

在由图象求三角函数解析式时，假设最大值为M,最小值为m,则A=-^,

27r

3由周期T确定，即由石'=7求出，p由特殊点确定.

一个区别

由y=sior的图象变换到y=Asin(3x+9)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期

变换(伸缩变换)，平移的量是阳个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是日

(。>0)个单位.原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的.

课后作业(十九)函数y=Asin(“x+9)的图象及三角函数模型的应用

一、选择题

1.(2013•珠海模拟)要得到函数产sin(x一奇的图象可将函数产sin(x+奇的图象上的所

有点()

A.向右平移袁个长度单位B.向左平移专个长度单位

C.向右平移g个长度单位D.向左平移W个长度单位

图3—4—7

2.函数/U）=Asin（2x+9）（A,°£R）的局部图象如图3—4—7所示，那么|0）=（）

A.—^B.—1C.一申D.—y［3

jr

3.（2013・威海质检）函数火x）=4sin@x+9）（其中4>0,MIC］）的图象如图3-4-8所示，

为了得到函数g（x）=cos2x的图象，则只要将函数的图象（）

图3—4—8

A.向右平移点个单位长度B.向右平移盍个单位长度

C.向左平移吊个单位长度D.向左平移自个单位长度

4.（2013•青岛模拟）函数火X）=ACOS（5+0）（A>0,3>0,0<p<7t）为奇函数，该函数的

局部图象如图3—4—9所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则,次1）的值为（）

图3—4一9

A.一坐B.一坐C.小D.—

7FJT

5.（2013•吉安模拟）函数,*x）=2sin（ox+@（①>0）与函数g（x）=cos（2x+9）（l9|V/）的对称

轴完全一样，则9的值为（）

A.；B.—久扣.甘

图3—4—10

6.函数yU）=Atan（Gx+3）（G>。，1初芍），>=段）的局部图象如图3—4—10,则人为）

=（）

A.2+小B.小C坐D.2一小

二、填空题

7.函数,/W—an®。〉。）的图象的相邻两支截直线y=浙得线段长为:，则巧=

JTTTJT

8.（2013•荆州模拟次X）=COS（2X+9）,其中0引0,2兀），假设式不）=/卬，且7U）在区间行

会上有最小值，无最大值，则9=.

9.（2013•长沙模拟）假设将函数产sinax+卷（勿>0）的图象向右平移全个单位长度后，

TT

与函数y=sin（«w+R的图象重合，则a>的最小值为.

三、解答题

10.函数y（x）=2cos2x+2小sinxcosx-1.

（1）求7U）的周期和单调递增区间；

（2）说明7U）的图象可由y=sinx的图象经过若何变化得到.

jr

11.（2013•杭州模拟）设函数/（x）=cos（Gx+8）（①>0,—/V8V0）的最小正周期

为兀，且心=坐

图3—4—11

（1）求口和9的值；

（2）在给定坐标系中作出函数y（x）在［0,川上的图象；

(3)假设乎，求X的取值范围.

12.函数_/(x)=q5sin(<wx+p)—cos((ox+9)(0<9<n，。>0)为偶函数，且函数y=/(x)图

象的两相邻对称轴间的距离为看

⑴求感)的值;

(2)将函数y=/(x)的图象向右平移看个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原

来的4倍，纵坐标不变，得到函数、=8任)的图象，求g(x)的单调递减区间.

考点梳理：

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

2.形如asiru+bcosx的式子化简

4siii¥+bcosx=7片+〃sin(x+()(其中sin。=^吊c*

yja2+h^

思考：

假设since+cosyS=A?bcosa+sin夕=〃，你能用相、〃表示sin(a+£)吗

【提示】由sina+cos夕=//得sin2a+cos2/?+2sinacosA=m2,

由cosa+sin^=77得cos2a+sin2^+2cosasin^=rr,

/.2+2sin(a+份=nr+z?2,sin(a+£)=^(nr+n2-2).

学情自测：

1.sin340sin26。一cos340cos26。的值是()

A.^B.-^C.—^D.-2

2.cos28°cos730+cos62°cos17。的值是()

A._吴隼冬坐

3.tan(a+4)=3,tan(a一份=5,则tan2a=()

4TT

4.假设cosa=—,,a是第三象限角，则sin(a+R=()

A.1010^,1()510

.____e、rsina+cosa1…

5.(2012•江西昌考)假设---------=5，则tan2a=()

Sina—cosa2

3344

A-B-c-D-

-44-33

噬例探穷•

例1(三角・函数式的化简)

化简：(l)sin5O0(l+V3tanlO°)；

g£

2

(1+sin0+cos0)(sincos

⑵----------------------(OVJV兀).

•\/2+2cose

变式训练1;_____________

化简：(1内2+2cos8+2yj1—si、8；

2COS4X_2COS2X+2

(2)

2tan(^—x)sin2(x+^)

例2（三角函数的给值求值）

（1）（2012•江苏高考）设a为锐角，假设cos（a+67T=亍4则sinQa+五7T）的值为.

⑵（2013・烟台模拟）cos（a—6+sina=¥^,则sin（a+卷）=.

【答案】⑴喀（2）-1

变式训练2：

jr37r7T337r5

0<P<2<a<~^,cos1—a）=W，sin（^~+/?）—求sin（a+£）的值.

例3（三角函数的给值求角）

兀a1也

0<a<2<^<?c>tan^—2>cos（^—a）=JQ.

（1）求sina的值；（2）求£的值.

变式训练3：

cosa=1,cos（a—份且0V夕Va<],试求角力的值.

小结：

一点注意

三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注南的范围是防止增解的有效措施.

两个技巧

1.拆角、拼角技巧：2a=（a+夕）+（a一夕），a=（a+4）一夕，?:=（0：+亨

冶+夕）.

2.化简技巧：切化弦，“1”的代换等.

三种变化

1.变角：设法沟通所求角与角之间的关系.

2.变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”、"升寂与降幕”等.

3.变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.

课后作业（二十）和角公式

一、选择题

、'士一士,、,3—sin70°

1.（2013・济南模拟甲_©os?[0。=（）

2.在△ABC中，tanA+tanB+A/3=y[?>tanAtanB,则C等于（）

.兀-2兀一兀-n

AjB.yC.^D,?

3.（2013•温州模拟）设a=gcos6°一当sin6°,b=2sinl3°cosl3°,11-cos50°

则

有（）

A.a>b>cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b

47T

4.假设sin®一夕）sin//—cos（a—夕）COS£=5，且。是第二象限角，贝ijtanq+a）等于（）

A.7B.-7C.^D.一：

5.（2013•烟台模拟）a为锐角，cosa=9，贝|1@n（：+26（）=（）

A.-3B.—^C.一却.-7

6.(2013.嘉兴模拟)假设OVaV^,—*£<0,cos(；+a)=/cos(：—，=^,则cos®

+多=()

A也B-0蛀D-亚

二、填空题

7.(2013•南京模拟)tan(x+/)=2,则黯的值为.

ILdl

1-tan2xI14

=-^―=2(1—

8.sin(0+^)=|,。金哈，|TI),则COS6=.

i3

9.(2013•苏北四市模拟)假设cos(a+夕)=§,COS(Q—0=;，则tana・tanQ=.

【三、解答题

1兀

10.函数危)=2sinqx—5)，x£R.

⑴求娼5jr5的值；

(2)设匿:£[0,与，火3。+)=*,犬3在+2兀)=?,求cos(a+夕)的值.

11.(2013•黄冈模拟)函数J(x)=sin(①式+。)(①>0,OWOWTC)为偶函数，其图象上相邻的

两个最低点间的距离为2TL

(1)求/U)的解析式；

(2)假设a£(—?$,%+节=g，求sin(2a+号)的值.

7兀37r

12.函数«x)=sin(x+4)+cos(x-1),xeR.

(1)求./U)的最小正周期和最小值；

447r

(2)cos0—G)=§,cos伊+a)=—0<a<y?^2,

求证：昭)尸—2=0.

第六节倍角公式与半角公式

考点梳理：

中主_.这包.这

1.用cosa表示cos2，tanf

1—cosaoa1+cosa1—cosa

Sln-^^—,cos-=——,tan_=___

2.用sina,cosa表示tan.

asin-1-cosa

tan2-1+cosa-sina'

3.辅助角公式

asina+bcosa=-\/a2+/?2sin(a+9)(其中tang=g).

4.T的妙用

7t7T

sin2a+cos2a=1,cos2a+2sin2a=1,1=2cos2a—cos2a,sin/=cosO=tana=1.

tan4"；"詈一的推导过程吗

21+cosa

学情自测：

1.假设sin76o=m,用含团的式子表示8S7。为()

1+/H1—m/1+/H/1-\-m

A.2B.2C.土弋2D，2

2.对于函数/(x)=2sia¥cosx,以下选项中正确的选项是()

A.兀v)在。，方上是递增的B.於)的图象关于原点对称

C.-)的最小正周期为2江).段)的最大值为2

3.化简M2+cos2—sin」的结果是()

A.—coslB.coslC.小coslD.—A/5cos1

4.(2012•山东高考)假设9W［：,与，sin26=平，则sin®=()

A.|B.|C.^D|

5.(2013•台州模拟涵数上)=sin2(2x—力的最小正周期是

典例探究：

例1(三角函数式的化简)

化简：(-41-cos2a

sin2a,

tang

变式训练1：

函数^.如果awg,71),则次cosa)+y(—COSG)可化简为

例2(三角函数式的求值)

工上sin47°-sinl7°cos30o

⑴(2012・重庆图考)------向下------=()

A.一乎B.一.半

(2)(2013・合肥模拟)cos。-a)=Mc(£(0,?),则一c?2a=________

sin(,+a)

【答案】(1)C(2)y1

变式训练2:

si苣-2cos]=0.(l)求taar的值；(2)求-----干"-----的值.

V2cos(^+x)-sinx

例