二次函数近两年热点压轴题总结（二）

二次函数近两年热点压轴题总结（次热）

（按热点顺序由前往后排，本册30题是次热）

注意：要根据个人情况，安排时间，有选择地学习。每册后面都有详细讲解，但是请先做再

看答案。思考的过程就是对知识进行优化组合的过程，即使得不到最终答案，也得到了充分

训练。

若为应急，也可以前几天先看答案，理解后，再盖住答案完整把题目做出来。后面也要慢慢

先做题目再看答案！切记！切记！！

1.（2014•黄冈）已知：如图，在四边形OABC中，ABIIOC,BC_Lx轴于点C,A（1,-

1）,B（3,-1）,动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动.过

点P作PQ垂直于直线OA,垂足为点Q,设点P移动的时间t秒（0<tV2）,AOPQ与四

边形OABC重叠部分的面积为S.

（1）求经过0、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；

（2）用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；

（3）如果将AOPQ绕着点P按逆时针方向旋转90。，是否存在3使得AOPQ的顶点。或

顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）求出S与t的函数关系式.

2.（2015•南京）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、

线段CD分别表示该产品每千克生产成本yi（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x

（单位：kg）之间的函数关系.

（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；

（2）求线段AB所表示的yi与x之间的函数表达式；

（3）等产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

AW元

120

60

42夕

o90130X，依

3.(2014•衢州)如图，y=ax2+bx(axO)的图象经过点A(1,4),对称轴是直线

x=一旦线段AD平行于x轴，交抛物线于点D.在y轴上取一点C(0,2),直线AC交抛

2

(2)求点B坐标和坐标平面内使△EOD-△AOB的点E的坐标；

(3)设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将4BPF沿边PF

翻折，使△BPF与^DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的工？

4

4.(2014・河南)如图，抛物线y=-x?+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(5,0)两点，

直线广-*3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过

点P作PF_Lx轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若PE=5EF,求m的值；

(3)若点日是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P,使点E落在y轴上？若存在,

请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

5.(2014•梅州)如图,已知抛物线丫=热2-1-3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),

84

与y轴的交点为C.

(1)直接写出A、D、C三点的坐标；

(2)若点M在抛物线对称轴上，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；

(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、

P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

6.(2014•邵阳)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-(m+n)x+mn(m>n)与x轴

相交于A、B两点(点A位于点B的右侧)，与y轴相交于点C.

(1)若m=2,n=l,求A、B两点的坐标；

(2)若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,-1),求NACB的大小；

7.(2014•襄阳)如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D

(3,4),E(0,4).点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴x=l交x轴于

点B.连接EC,AC.点P,Q为动点，设运动时间为t秒.

(1)填空：点A坐标为；抛物线的解析式为.

(2)在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点

Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点

随之停止运动.当t为何值时，4PCQ为直角三角形？

(3)在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P

做PF_LAB,交AC于点F,过点F作FG±AD于点G,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ.当

t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

图①图②

8.(2015•攀枝花)如图，已知抛物线y=-x?+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两

点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D,使得△BCD的面积最大？若存

在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由.

(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q,使得4QMB与4PMB的面积相等？若存在，求

出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

9.(2014•仙桃)已知抛物线经过A(-2,0),B(0,2),C(20)三点，一动点P从

2

原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP,过点A作直线BP的垂线交y

轴于点Q.设点P的运动时间为t秒.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当BQ=1AP时，求t的值；

2

(3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M,使AMPQ为等边三角形？若存在，请

直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由.

10.(2014•宿迁)如图，己知抛物线y=ax?+bx+c(a>0,c<0)交x轴于点A,B,交y轴

于点C,设过点A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D.

(1)如图1,已知点A,B,C的坐标分别为(-2,0),(8,0),(0,-4)；

①求此抛物线的表达式与点D的坐标；

②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求ABDM面积的最大值；

(2)如图2,若a=l,求证：无论b,c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标.

11.(2015•大庆模拟)已知抛物线y=x2+bx+c的顶点为P,与y轴交于点A,与直线OP交

于点B.

(1)如图1,若点P的横坐标为1,点B的坐标为(3,6),试确定抛物线的解析式；

(2)在(1)的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且SAABM=3,求点M的

坐标；

(3)如图2,若点P在第一象限，且PA=PO,过点P作PD±x轴于点D.将抛物线y-x2+bx+c

平移，平移后的抛物线经过点A、D,该抛物线与x轴的另一个交点为C,请探究四边形

OABC的形状，并说明理由.

12.(2014•资阳)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的

交点为B(0,3),其顶点为C,对称轴为x=l.

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；

(3)将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度(0<m<3)得到另一个三角形，将所得的三

角形与△ABC重叠部分的面积记为S,用m的代数式表示S.

13.(2014・济宁)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(5,0)、B(-1,0)两点，过

4

点A作直线AC_Lx轴，交直线y=2x于点C；

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求点A关于直线y=2x的对称点A，的坐标，判定点A，是否在抛物线上，并说明理由；

(3)点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA，于点M,是否存在这样

的点P,使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理

14.(2014♦苏州)如图,二次函数y=a(x2-2mx-3m2)(其中a,m是常数,且a>0,m

>0)的图象与x轴分别交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y轴交于C(0,-3),

点D在二次函数的图象上，CDIIAB,连接AD,过点A作射线AE交二次函数的图象于点

E,AB平分NDAE.

(1)用含m的代数式表示a；

(2)求证：柜为定值；

AE

(3)设该二次函数图象的顶点为E探索：在x轴的负半轴上是否存在点G,连接GF,以

线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足

要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.

15.(2015•济宁)如图，OE的圆心E(3,0),半径为5,OE与y轴相交于A、B两点(点

A在点B的上方)，与x轴的正半轴交于点C,直线1的解析式为y=\x+4,与x轴相交于点

D,以点C为顶点的抛物线过点B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)判断直线1与OE的位置关系，并说明理由；

(3)动点P在抛物线上，当点P到直线1的距离最小时.求出点P的坐标及最小距离.

16.(2015♦衡阳)如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+l相交于A、B两点，且点

A在x轴上，点B的横坐标为2,连结AM、BM.

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)判断AABM的形状，并说明理由；

(3)把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点.若将(1)中抛物线平移，使其顶

点为(m,2m),当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点.

17.(2015•临淄区校级模拟)设抛物线丫=2*2+5*-2与x轴交于两个不同的点A(7,0)、

B(m,0),与y轴交于点C.且NACB=90度.

(1)求m的值；

(2)求抛物线的解析式，并验证点D(1,-3)是否在抛物线上；

(3)已知过点A的直线y=x+l交抛物线于另一点E.问：在x轴上是否存在点P,使以点

P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若

不存在，请说明理由.

18.(2015•孝感)在平面直角坐标系中，抛物线y=-&2+bx+c与x轴交于点A,B,与y

2

轴交于点C,直线y=x+4经过A,C两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在AC上方的抛物线上有一动点P.

①如图1,当点P运动到某位置时，以AP,AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在

抛物线上，求出此时点P的坐标；

19.(2015・内江)如图，抛物线与x轴交于点A(-工，0)、点B(2,0),与y轴交于点C

3

(0,1),连接BC.

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP_Lx轴于点P,设点N的横坐标为t(-1<

3

t<2),求△ABN的面积S与t的函数关系式；

(3)若-l<t<2且存0时4OPN-ACOB,求点N的坐标.

3

20.(2014・济南)如图1,抛物线y=-'x2平移后过点A(8,0)和原点，顶点为B,对

16

称轴与x轴相交于点C,与原抛物线相交于点D.

(1)求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴防

(2)如图2,直线AB与y轴相交于点P,点M为线段OA上一动点，NPMN为直角，边

MN与AP相交于点N,设OM=t,试探究：

①t为何值时4MAN为等腰三角形；

②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少.

图2

21.(2015・葫芦岛)如图，直线y=-至x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+至x+c

44

经过B、C两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当ABEC面积最大时，请求出点E的

坐标和△BEC面积的最大值？

(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M,连接AM,点Q是抛

物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是

平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

备用图

22.(2014•深圳)如图，直线AB的解析式为y=2x+4,交x轴于点A,交y轴于点B,以A

为顶点的抛物线交直线AB于点D,交y轴负半轴于点C(0,-4).

(1)求抛物线的解析式；

(2)将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E,与y轴的交点记为F,

①求当△BEF与△BAO相似时，E点坐标；

②记平移后抛物线与AB另一个交点为G,则SAEFG与SAACD是否存在8倍的关系？若有

请直接写出F点的坐标.

23.(2010•河南)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,

0)三点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m,AAMB的面积为S.

求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值.

(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点

P、Q、B、。为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.

2

24.(2015•桂林)如图，已知抛物线y=-&2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,8)、B(8,

2

0)和点E,动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开

始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点。时，

点C、D停止运动.

(1)直接写出抛物线的解析式：；

(2)求aCED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最

大？最大面积是多少？

(3)当ACED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P(点E除外)，使△PCD的面积等

于ACED的最大面积？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

25.(2015•德州)已知抛物线y=-mx2+4x+2m与x轴交于点A(a,0),B(B，0),且看玲=

-2,

(1)求抛物线的解析式.

(2)抛物线的对称轴为1,与y轴的交点为C,顶点为D,点C关于1的对称点为E,是否

存在x轴上的点M,y轴上的点N,使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形(保

留作图痕迹)，并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由.

(3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边

26.(2015♦濠江区一模)如图，抛物线产-y+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交

于点C,且OA=2,OC=3.

(1)求抛物线的解析式；

(2)作Rt/kOBC的高OD,延长0D与抛物线在第一象限内交于点E,求点E的坐标；

(3)①在x轴上方的抛物线上，是否存在一点P,使四边形OBEP是平行四边形？若存在,

求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②在抛物线的对称轴上，是否存在上点Q,使得ABEQ的周长最小？若存在，求出点Q的

坐标；若不存在，请说明理由.

27.（2015•铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x?+bx+c的图象与x轴交于点A（1,0）和

点B与y轴交于点C（0,3）,抛物线的对称轴与x轴交于点D.

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P,使APBC为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标）；

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N

从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达

点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，4MNB面积最大，试求出最

大面积.

28.（2015•重庆）如图，抛物线y=-x?+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）,

与y轴交于点C,点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E.

（1）求直线AD的解析式;

（2）如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG_LAD于点G,作FH平行于

x轴交直线AD于点H,求AFGH周长的最大值；

（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A,M,P,

Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形.若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的

坐标.

29.（2014•台州）某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、

B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售.A类杨梅的包装成本为1万

元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x>2）之间的

函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的

函数关系是s=12+3t,平均销售价格为9万元/吨.

（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；

（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛

利润为w万元（毛利润=销售总收入-经营总成本）.

①求w关于x的函数关系式；

②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？

(3)第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利

润，并求出最大毛利润.

30.(2015•云南)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+bx+c(a#0)与x轴相交于A,

B两点，与y轴相交于点C,直线y=kx+n(kxO)经过B,C两点，己知A(1,0),C(0,

3),且BC=5.

(1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式)；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以B,C,P三点为顶点的三角形是直角三角

形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

二次函数近两年热点压轴题总结(二)

参考答案与试题解析

1.(2014•黄冈)已知：如图，在四边形OABC中，ABIIOC,BC_Lx轴于点C,A(1,-

1),B(3,-1),动点P从点O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动.过

点P作PQ垂直于直线OA,垂足为点Q,设点P移动的时间t秒(0<tV2),△OPQ与四

边形OABC重叠部分的面积为S.

(1)求经过0、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；

(2)用含t的代数式表示点P、点Q的坐标；

(3)如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90。，是否存在3使得AOPQ的顶点。或

顶点Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；

(4)求出S与I的函数关系式.

【考点】二次函数综合题；三角形的面积；等腰直角三角形.

【专题】压轴题.

【分析】(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx(aM),然后把点A、B的坐标代入求出a、b的

值，即可得解，再把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点M的坐标；

(2)根据点P的速度求出0P,即可得到点P的坐标，再根据点A的坐标求出NAOC=45。,

然后判断出△POQ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点Q的坐标即可；

(3)根据旋转的性质求出点O、Q的坐标，然后分别代入抛物线解析式，求解即可；

(4)求出点Q与点A重合时的t=l,点P与点C重合时的t=1.5,t=2时PQ经过点B,然

后分①0〈区1时，重叠部分的面积等于△POQ的面积，②1VK1.5时，重叠部分的面积等

于两个等腰直角三角形的面积的差，③1.5Vt<2时，重叠部分的面积等于梯形的面积减去

一个等腰直角三角形的面积分别列式整理即可得解.

【解答】解：(1)设抛物线解析式为y=ax?+bx(a#0),

把点A(l,-1),B(3,-1)代入得，

a+b=-1

9a+3b=-1

1

a-

3

解得

__4

3

/.抛物线解析式为y=1x2-Wx,

33

y=Ax2-Wx=1(x-2)2-W,

3333

顶点M的坐标为(2,-J)；

3

(2)•.•点P从点O出发速度是每秒2个单位长度，

OP=2t,

・••点P的坐标为(230),

•••A(1,-1),

ZAOC=45°,

.,.点Q到x轴、y轴的距离都是k)P=L2t=t,

22

点Q的坐标为(t,-t)；

(3)△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90。，

...旋转后点0、Q的对应点的坐标分别为(2t,-2t),(3t,-t),

若顶点O在抛物线上，则工x⑵)2-9(2t)=-2t,

33

解得t=J(t=0舍去)，

2

t=1时，点O(1,-1)在抛物线y=lx2-&上，

233

若顶点Q在抛物线上，则L(3t)2-久(3t)=-t,

33

解得t=l(t=0舍去)，

,t=l时，点Q(3,-1)在抛物线y'x?-&上.

33

(4)点Q与点A重合时，OP=1x2=2,t=2+2=l,

点p与点C重合时，OP=3,t=3+2=1.5,

t=2时，OP=2x2=4,PC=4-3=1,此时PQ经过点B,

所以，分三种情况讨论：

①OVtWl时，S=SAoPQ=i<(2t)x@=f2,

22

②1cts1.5时，S=SAOP,Q--SAAEQ,=—x(2t)-_lx(-J^t-2=2t-1；

222

(3)1.5<t<2时，S=S梯形OABC-SABGF=—X(2+3)xl-Ax[l-(2t-3)]2=-2(t-2)2+—=

222

-2t2+8t-皂；

2

（4海图

【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三

角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难点在于（4）随着运动时间

的变化，根据重叠部分的形状的不同分情况讨论，作出图形更形象直观.

2.（2015•南京）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、

线段CD分别表示该产品每千克生产成本yi（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x

（单位：kg）之间的函数关系.

（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；

（2）求线段AB所表示的yi与x之间的函数表达式；

（3）等产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

Ay/元

120

60

42

O90130工，依

【考点】二次函数的应用.

【专题】压轴题.

【分析】(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产

成本与销售价相等，都为42元；

(2)根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；

(3)利用总利润=单位利润x产量列出有关x的二次函数，求得最值即可.

【解答】解：(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克

生产成本与销售价相等，都为42元；

(2)设线段AB所表示的yi与x之间的函数关系式为y=kix+bi,

・.,y=kix+bi的图象过点(0,60)与(90,42),

%!=60

90k1+b产42

'k『-0.2

••,

0=60

二这个一次函数的表达式为；y=-0.2x+60(04x490)；

(3)设y2与x之间的函数关系式为y=k2x+b2,

,••经过点(0,120)与(130,42),

%2=120

，

"130k2+b2=42

b2=120

这个一次函数的表达式为y2=-0.6x+120(04x4130),

设产量为xkg时，获得的利润为W元，

当04x490时，W=x[(-0.6x+120)-(-0.2x+60)]=-0.4(x-75)2+2250,

当x=75时，W的值最大，最大值为2250；

当904x4130时，W=x[(-0.6x+120)-42]=-0.6(x-65)2+2535,

由-0.6V0知，当x>65时，W随x的增大而减小，.•.904x4130时，W<2160,

当x=90时，W=-0.6(90-65)2+2535=2160,

因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250.

【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难

度不大.

3.(2014•衢州)如图,二次函数丫=2*?+5*(a#0)的图象经过点A(1,4),对称轴是直线

x=一旦线段AD平行于x轴，交抛物线于点D.在y轴上取一点C(0,2),直线AC交抛

2

物线于点B,连结OA,OB,OD,BD.

D

(2)求点B坐标和坐标平面内使AEOD，&AOB的点E的坐标；

(3)设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将小BPF沿边PF

翻折，使△BPF与4DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的工？

4

【考点】二次函数综合题.

【专题】压轴题.

【分析】(1)运用待定系数法和对称轴的关系式求出a、b的即可；

(2)由待定系数法求出直线AC的解析式，由抛物线的解析式构成方程组就可以求出B点

的坐标，由相似三角形的性质及旋转的性质就可以得出E的坐标；

(3)分情况讨论当点B落在FD的左下方，点B,D重合，点B落在OD的右上方，由三

角形的面积公式和菱形的性质的运用就可以求出结论.

【解答】解：(1)1•y=ax?+bx(a#0)的图象经过点A(1,4),且对称轴是直线x=-g

2

'a+b=4

•・一_b__3，

~2^~1

解得：卜口，

lb=3

二次函数的解析式为y=x2+3x；

(2)如图1,

,点A(l,4),线段AD平行于x轴，

・•.D的纵坐标为4,

4=X2+3X,

xi=-4,X2=l,

D(-4,4).

设直线AC的解析式为y=kx+b,由题意，得

(4=k+b,

I2=b

解得:k=2

b=2

y=2x+2；

当2X+2=X2+3X时，

解得:xi=-2,X2=l(舍去).

y=-2.

B(-2,-2).

­.00=472-B0=2如,BD=2A/10-0A=V17.

1,DO2=32,BO2=8,BD2=40,

­.DO2+BO2=BD2,

••ABDO为直角三角形.

「△EOD~△AOB,

ODJE二道

•・ZEOD=ZAOB,

而=0A=2a-2'

•.ZAOB-ZAOD=ZEOD-ZAOD,

ZBOD=ZAOE=90°.

即把△AOB绕着O点顺时针旋转90。，OB落在OD上B，，OA落在OE上Ai

Ai(4,-1),

/.E(8,-2).

作△AOB关于x轴的对称图形，所得点E的坐标为（2,-8）.

当点E的坐标是（8,-2）或（2,-8）时，△EOD-&AOB；

(3)由(2)知DO=4近BO=2&,BD=2VTo«NBOD=90。.

若翻折后，点B落在FD的左下方，如图2.

SAHFP=—SABDP=-^SADPF=-^SAB-PF=SADHP=SAB'HF,

422

DH=HF,B'H=PH,

在平行四边形BTPD中，PD=B，F=BF=」BD=Ji^；

2

若翻折后，点B,D重合，SAHFP=」SABDP,不合题意，舍去.

2

若翻折后，点B落在OD的右上方，如图3,

SAHFP=—SABDP=-^SABPF=^SADPF=—SAB'PF=SADHF=SAB'HP

4222

B'P=BP,B'F=BF,DH=HP,B'H=HF,

四边形DFPB，是平行四边形，

B'P=DF=BF,

B'P=BP=B'F=BF,

四边形B，FBP是菱形，

FD=B,P=BP=1BD=V10>根据勾股定理，得

2

OP2+OB2=BP2,

(4圾-PD)2+(2圾)2=(5/lO)2,

解得PD=3圾，PD=5亚>4正(舍去)，

综上所述，PD=S^i或PD=3圾时，将ABPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的

面积是△BDP的面积的」.

4

图1

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，菱形的

判定及性质的运用，旋转的性质的运用，分类讨论思想的运用.等底、等高的三角形的面积

的运用，解答时运用三角形的面积关系求解是关键.

4.(2014•河南)如图，抛物线y=-x?+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(5,0)两点，

直线y=-卫x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过

4

点P作PF_Lx轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若PE=5EF,求m的值；

(3)若点E，是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P,使点E，落在y轴上？若存在，

请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【专题】代数几何综合题；压轴题.

【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式；

(2)用含m的代数式分别表示出PE、EF,然后列方程求解；

(3)解题关键是识别出当四边形PECE，是菱形，然后根据PE=CE的条件，列出方程求解;

当四边形PECE，是菱形不存在时，P点y轴上，即可得到点P坐标.

【解答】方法一：

解：(1)将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：

「「b+c=。，解得产4.

••・抛物线的解析式为：y=-X2+4X+5.

(2),・,点P的横坐标为m,

P(m,-m2+4m+5),E(m,-—m+3),F(m,0).

4

PE=|yp-yE|=|(-m2+4m+5)-(-—m+3)|=|-m2+—m+2|,

44

EF=|yE-yF|=|(--m+3)-0|=|-—m+3|.

44

由题意，PE=5EF,即：|-m2+l^m+2|=5|-Jm+3|=|-22m+15|

444

①若-m2+—in+2=--l^m+15,整理得：2m2-17m+26=0,

44

解得：m=2或m=L；

2

②若-n?+Um+2=-(-Km+15),整理得：n?-m-17=0,

44

解得：m=t屈或m=上返.

22

由题意，m的取值范围为：7<mV5,故m=U、m=1一倔这两个解均舍去.

22

m=2或m=

2

(3)假设存在.

作出示意图如下:

,点E、E关于直线PC对称，

N1=N2,CE=CEf,PE=PE\

•,*PE平行于y轴，N1=Z3,

Z2=Z3,PE=CE,

/.PE=CE=PE/=CE/,即四边形PECE'是菱形.

当四边形PECE，是菱形存在时，

由直线CD解析式y=-2x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.

过点E作EMIIx轴，交y轴于点M,易得△CEM-△CDO,

二嫂，，即上吐三?，解得CE“|m|,

0D-CD4~54

U场

fYPE-m，

4=|4

25

m1-9^

44

①若-m2+—m+2=—m,整理得：2m2-7m-4=0,解得m=4或m=-A；

442

(2)^-m2+—m+2=--m,整理得：m2-6m-2=0,解得mi=3+J五，m2=3-VTL

44

由题意，m的取值范围为：故m=3+JTT这个解舍去.

当四边形PECE，是菱形这一条件不存在时，

此时P点横坐标为0,E,C,E三点重合与y轴上，菱形不存在.

综上所述，存在满足条件的点p,可求得点p坐标为(-▲,皂)，(4,5),(3-2Vii

24

-3)

方法二：

(1)略.

(2)略.

(3)若E关于直线PC的对称点E在y轴上，则直线CD与直线CE关于PC轴对称.

二点D关于直线PC的对称点D，也在y轴上，

...DD'_LCP,•1,y=-Jx+3,

4

D(4,0),CD=5,

OC=3,

OD，=8或OD，=2,

①当OD，=8时，D-(0,8),设P(t,-t2+4t+5),D(4,0),C(0,3),

PC±DD\KPCXKDD口-1,

.-t2+4t+5-38-0,

-------------x---=-b

t-0-4

2t2-7t-4=0,

ti=4,t2=—,

2

②当OD，=2时，D1(0,-2),

设P(t,-t2+4t+5),

「PCJLDD',KPCXKDD/=-1,

.-t2+4t+5-3、，0+2,।

--------------x——--1，

t4-0

ti=3+VTLt2=3-Vll>

・点P是X轴上方的抛物线上一动点，

-l<t<5,

.,•点P的坐标为(-工，豆)，(4,5),(3-VT1-2®-3).

24

【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、点的坐标、

待定系数法、菱形、相似三角形等多个知识点，重点考查了分类讨论思想与方程思想的灵活

运用.需要注意的是，为了避免漏解，表示线段长度的代数式均含有绝对值，解方程时需要

分类讨论、分别计算.

5.(2014•梅州)如图，已知抛物线y=&2-2x-3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),

84

与y轴的交点为C.

(1)直接写出A、D、C三点的坐标；

(2)若点M在抛物线对称轴上，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；

(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、

P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【专题】代数几何综合题；压轴题.

【分析】(1)令y=0,解方程卫X?--x-3=0可得到A点和D点坐标；令x=0,求出y=-3,

84

可确定C点坐标；

(2)找到点D关于抛物线对称轴的对称点A,连结AC,根据待定系数法可得直线AC的

解析式，令x=l,求得抛物线对称轴与直线AC的解析式的交点坐标，即为所求点M的坐

标；

(3)根据梯形定义确定点P,如图所示：①若BCIIAPi,确定梯形ABCP1.此时Pi与D

点重合，即可求得点P1的坐标；②若ABIICP2,确定梯形ABCP2.先求出直线CP2的解

析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标.

【解答】解：⑴1/y=Jx2-Jx-3,

84

当y=0时，A2-Jx-3=0,

84

解得xi=-2,X2=4.

当x=0,y=-3.

A点坐标为（4,0）,D点坐标为（-2,0）,C点坐标为（0,-3）；

（2）如图1,连结AC.

•・•点D关于抛物线对称轴的对称点A,

由轴对称-最短路线问题可知，抛物线对称轴与直线AC的解析式的交点坐标，即为所求

点M的坐标，

设直线AC的解析式为：y=kx+b,

：A点坐标为（4,0）,C点坐标为（0,-3）,

.14k+b=0

jb=-3'

解得k=4.

b=-3

故直线AC的解析式为：y=^x-3,

4

令x=l,则y=&-3=-2

44

故点M的坐标（1,--）；

4

（3）结论：存在.

在抛物线上有两个点P满足题意：

①如图2,若BCIIAP1,此时梯形为ABCP1.

由点C关于抛物线对称轴的对称点为B,可知BCIIx轴，则Pi与D点重合，

Pi（-2,0）.

「PiA=6,BC=2,

PiAxBC,

四边形ABCP1为梯形；

②如图3,若ABIICP2,此时梯形为ABCP2.

rA点坐标为（4,0）,B点坐标为（2,-3）,

直线AB的解析式为y=2x-6,

2

可设直线CP2的解析式为y=1x+n,

将C点坐标（0,-3）代入，得n=-3,

直线CP2的解析式为y=£x-3.

2

点P2在抛物线y=32-卫x-3上，

84

•3X2_3x_3_3x_3

842

化简得：x2-6x=0>

解得xi=O（舍去），X2=6,

二点P2横坐标为6,代入直线CP2解析式求得纵坐标为6,

P2（6,6）.

•••ABHCP2,AB3CP2,

四边形ABCP2为梯形.

综上所述，在抛物线上存在一点P,使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯

形；点P的坐标为（-2,0）或（6,6）.

图1

【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点坐标求

法，轴对称-最短路线问题，梯形的判定.综合性较强，有一定难度.运用数形结合、分类

讨论及方程思想是解题的关键.

6.(2014•邵阳)在平面直角坐标系xOy中，抛物