2025版高考数学一轮总复习考点突破第九章概率与统计9.5随机事件与概率

第九章概率与统计9.5随机事务与概率考点一互斥、对立事务的推断例1【多选题】有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事务E为“只订甲报纸”，事务F为“至少订一种报纸”，事务G为“至多订一种报纸”，事务H为“不订甲报纸”，事务I为“一种报纸也不订”，下列命题正确的是（BC）A.E与G是互斥事务 B.F与I是互斥事务，且是对立事务C.F与G不是互斥事务 D.H与I是互斥事务解：对于A，E，G事务有可能同时发生，不是互斥事务.故A错误.对于B，F与I不行能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事务，且是对立事务.故B正确.对于C，F与G可以同时发生，不是互斥事务.故C正确.对于D，H与I也可以同时发生，不是互斥事务.故D错误.故选BC.【点拨】互斥事务、对立事务的判定方法：①利用基本概念;②利用集合的观点.两个事务A与B是互斥事务，有如下三种状况：①若事务A发生，则事务B就不发生；②若事务B发生，则事务A就不发生；③事务A，B都不发生.两个事务A与B是对立事务，仅有前两种状况.因此，互斥未必对立，但对立确定互斥.概率是频率的稳定值,当试验次数越来越多时,频率越趋近于概率.变式1（1）某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事务A：“他选择政治和地理”，事务B：“他选择化学和地理”，则事务A.是互斥事务，不是对立事务 B.是对立事务，不是互斥事务C.既是互斥事务，也是对立事务 D.既不是互斥事务，也不是对立事务解：事务A与事务B不能同时发生，是互斥事务，他还可以选择化学和政治，不是对立事务.故选A.（2）【多选题】下列结论正确的是（ABC）A.若A，B互为对立事务，PA=B.若事务A，B，C两两互斥，则事务A与B∪C.若事务A与B对立，则PD.若事务A与B互斥，则它们的对立事务也互斥解：若A，B互为对立事务，PA=1，则A为必定事务，故B为不行能事务，则P若事务A，B，C两两互斥，则事务A，B，C不能同时发生，则事务A与B∪C也不行能同时发生，则事务A与B∪若事务A与B对立，则PA∪B若事务A，B互斥但不对立，则它们的对立事务不互斥，故D错误.故选ABC.考点二概率的基本性质例2某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示.人数012345人及以上概率0.10.160.30.20.20.04（1）求派出医生至多2人的概率；解：设事务A=“不派出医生”，事务B=“派出1名医生”，事务C=“派出2名医生”，事务D=“派出3名医生”，事务E=“派出4名医生”，事务F=“派出5名或5名以上医生”，则事务A，B，C，D，E，F彼此互斥.PA=0.1，P“派出医生至多2人”的概率为PA（2）求派出医生至少2人的概率.[答案]（方法一）“派出医生至少2人”的概率为PC（方法二）“派出医生至少2人”的概率为1−【点拨】求困难的互斥事务的概率一般有两种方法.①干脆法.②间接法（正难则反，特别是“至多”“至少”型问题，用间接法求解较简洁）.变式2（1）（教材题改编）从某班学生中任选一人，其身高小于160cm的概率为0.2，身高在[160,175]（单位：cm）内的概率为0.5A.0.8 B.0.7 C.0.3 D.0.2解：由题意，知身高小于160cm的概率、在[160,175]（单位：cm）内的概率和超过175（2）【多选题】已知事务A，B，且PA=0.4,PA.假如B⊆AB.假如B⊆AC.假如A与B相互独立，那么PD.假如A与B相互独立，那么P解：对于A，由B⊆A，得PAB对于B，由B⊆A，得PA对于C，假如A与B相互独立，那么PAB=PAP对于D，由选项C及事务关系，知PAB=1−考点三古典概型例3【多选题】有两批种子，甲批种子15粒，能发芽的占80%，乙批种子10粒，能发芽的占70%，则下列说法正确的有（A.从甲批种子中任取两粒，两粒都能发芽的概率是22B.从乙批种子中任取两粒，至多一粒能发芽的概率是7C.从甲、乙两批种子中各任取一粒，至少一粒能发芽的概率是47D.将两批种子混合后，随机抽出一粒，能发芽的概率为19解：由题意，得甲批种子有15×80%=对于A，从甲批种子中任取两粒，两粒都能发芽的概率为C122C对于B，从乙批种子中任取两粒，至多一粒能发芽的概率为C32C对于C，从甲、乙两批种子中各取一粒，至少一粒能发芽的概率为1−C3对于D，将两批种子混合后，随机抽取一粒能发芽的概率为C121C251【点拨】求古典概型的概率的关键是求试验的样本点的总数和事务A包含的样本点的个数，这就须要正确列出样本点，样本点的表示方法有列举法（列表法、树状图法）以及排列、组合法.变式3（1）[2024年全国乙卷]某学校举办作文竞赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为（A）A.56 B.23 C.1解：甲、乙两位同学各抽取1个主题,结果有6×6=36（种）.其中抽到的主题不同的结果有6×5=（2）从集合{3,4,6}中随机取一个数记为a，从集合{0,1A.112 B.16 C.1解：基本事件有n=3×4=12（个）．因为向量m=a,b与向量n=（3）[2024年新课标Ⅰ卷