初中数学教学案例（黄前进）

学科：初中数学

二次函数>=加+比+，的图象教学案例

湖南省湘西自治州凤凰县第一中学黄前进

一、案例实施背景：

本节课是2013年12月4日（星期三）笔者在凤凰县第一中学

九年级203班上的一堂新授课，所用教材为人教版义务教育课程标

准实验教科书九年级数学（下册）。

二、案例主题分析与设计

本节课是人教版义务教育课程标准实验教科书九年级数学（下

册）第二十六章第1.4的内容----二次函数y=ox2+bx+c的图象。在

学习本节之前，学生们已从简单到复杂，由浅入深地系统学习了二次

函数y=ax?、y=ax2+ky=a（x-h）2y=a（x-力尸+左的图象及性质，

为本节课奠定了知识基础，提供了探索的经验，同时我们还学过了配

方法，从而也得到了方法支持。

本节课的学习可以说是从特殊到一般的归宿，数形结合的思想、

平移变换的思想将得到再一次的提升，学生的动手能力和创新意识也

得到进一步的发展，可见整堂课是思想、方法的“大会战”，其重要

性已不言自明。

《数学课程标准》强调：数学教学是数学活动的教学，是师生

之间、生生之间交往互动与共同发展的过程；动手实践，自主探索，

合作交流是孩子学习数学的重要方式；合作交流的学习形式是培养孩

子积极参与、自主学习的有效途径。本节课将以学生自主讨论、合作

学习为主导，培养学生合作性学习精神。

三、案例教学目标

1、知识与技能：

(1)能通过配方把二次函数丁=办2+"+以。工0)化成^=。(%—/1)2+后的

形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。

(2)会利用对称性画出二次函数的图象。

(3)会用利用确定y="+Zu+c(a工0)的对称轴和顶点坐标。

2、过程与方法：

通过思考(新问题转化为旧知识)、探究、归纳、尝试等过程，

让学生从中学会探索新知识的方式方法。

3、情感态度价值观：

经历求二次函数y=公+c(a/0)的对称轴和顶点坐标的探究

过程，渗透配方法和数形结合的思想方法，感悟了=办2+以+。3/0)与

)，=”/之间的内在关系，体会用先确定顶点坐标再对称取值画出的抛

物线的对称美。

三、案例教学重点难点

教学重点：利用配方法求y=狈2+bx+c的对称轴及顶点坐标，同时用

描点法画它的图象。

教学难点：利用配方法推导抛物线顶点坐标的过程。

四、案例教学过程

一、复习旧知，引入新知

(设计意图：温故知新，学生新的认识只有扎根于已有的认知才会有

生命力，才会在调节已知与未知的平衡中求得发展，新知的学习才会

成为他们的需求。问题(1)是复习巩固，问题(2)用以制造认知冲

突，调起学生探索的胃口，顺势揭题。)

1、求下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

⑴y=g(x+2『

(2)y=-2(x-l)2+3

解：(1)y=g(x+2)2的开口方向向上，对称轴为直线x=-2,顶点坐

标(-2,0)

(2)y=-20-1)2+3的开口方向向上，对称轴为直线x=l,顶点坐标

(-1,3)

2、你知道二次函数y=-2/+4x+6的开口方向、对称轴和顶点坐标。

解：y=-2x2+4x+6

=-2(x2-2x)+6

=-2(x2-2x+l-l)+6

=-[2(%-l)2-l]+6

=-2(x-l)2+8

因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=l,顶点坐标为(1,8).

(教学说明：在教学中，第(1)小题我采用的是随机提问的方式进

行的，同时我还叫了班上数学成绩最差的学生来回答。第(2)小题

估计有大部分学生一时难以回答，我上课时出现的情况也是如此，于

是我便引导学生把以上的函数与y=a(x-02+女对照，唤起想象，展开

探索，引导学生想到可以通过配方来处理，从而解决问题。)

二、探索发现，学习新知

(设计说明：承接前面的问题，设置了一道画图题，由于导入环节已

经烘托出了配方的情景，让学生能马上找到合适的切入点，即先确定

顶点，再找对称点，以保证画出的图美观。通过问题2、3揭示它与

y=的之间存在的关系，再通过问4、5从特殊到一般，把二次函

数的对称轴、顶点坐标公标推导出来，从规范好一般形式的二次函数

图象的画图步骤。)

问题1:请画出y=-212+4元+6的图象

分析：

(1)先用配方法将y=-2/+4%+6化成顶点式：y=a(x-h)2

y=-2x2+4x4-6

=—2(x~-2x)+6

=-2(X2-2X+1-1)+6

=-[2(X-1)2—l]+6

=-2(x-+8

(2)根据顶点式确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。

问题2:根据所画的图象，你能说出抛物线)，=-2(x-l)2+8是由y=-2/通

过怎样平移得到的吗？

解：把)，=-2炉先向右平移1个单位，再向上平移8个单位后得到

y=-2(x-l)2+8

问题3:根据所画的图象，你能看出抛物线y=-2/+4x+6的中y随x

的变化趋势吗？

解：当x<l时，y随x的增大而增大；当x>l时，y随x的增大而减

小。

问题4:你能确定抛物线y=+8x+c(aw0)的对称轴及顶点坐标。

解：y=ax2+bx+c

=a(，+—x)+c

a

2b/b、z/b、2

=ax2+-x+(—)-(—)2+c

a2a2a

故抛物线y=+加；+0(〃。0)的对称轴及顶点坐标：

对称轴为直线y=-2,顶点坐标(上，包I)

2a2a4。

问题5:根据前面的经验，你知道怎样画抛物线>=数2+法+c(aHO)的

图象了吗？

解：(1)用配方法把函数化成y=a(x-〃)2+々的形式

(2)利用顶点式确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标

(3)利用对称点描点画图

(教学说明：教师引导学生体会这样画图的优越性，画一般的二次函

数的图象，若确定没有顶点坐标而随意取值，往往不能展示图象的全

貌。)

三、深化练习，巩固新知：

(设计说明：设计练习意在引导学生灵活使用配方法或顶点坐标应对

看似不相关的问题，把本节课深入。)

1、二次函数y=f2-2x的对称轴是.

2、二次函数^=2/_2彳-1的图象的顶点是,当x时,

y随x的增大而减小.

3、抛物线y=_4》一6的顶点横坐标是-2,贝.

4、抛物线y=a/+2x+c的顶点是(g,-l),贝！U、c的值是多少？

答案：1、直线x=T2、(^,--),x>g3、-14、

a=-3,c=-㊁

3

(教学说明：在教学时要注意发挥学生独立思考与合作交流的作用，

在独立思考的基础上，展开交流，以保证每一个同学都有话可说，不

让优秀生唱独角戏，其他学生成为看客。)

四、反思小结，观点提炼

1、形如y=ax2+"+c(awO)的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定：

(1)对于二次项系数为1或二次函数解析式容易配方时，可以采用

配方法来确定顶点坐标及对称轴方程

(2)当a、b、c比较复杂时，可用公式法：

抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线y=,顶点坐标

（b4ac-b~）

2a'4a

2、思想方法提炼:

（1）配方法（2）公式法（3）数形结合的思想（4）平移变

换的思想

五、分层作业，各有收获

必做题：1、已知抛物线y3x+』，求出它的对称轴和顶点坐标,

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并画出函数的图象.

选做题：

1、当a<0时，求抛物线y=/+2ax+l+2/的顶点所在的象限.

2、已知抛物线>=——4x+〃的顶点A