概率论与数理统计(昆工版)辅导(昆工版)辅导第一,二三章

概率统计学习辅导戴琳秦叔明付英姿昆明理工大学应用数学系第一章随机事件与概率一基本概念和内容样本空间：试验的所有可能结果的集合。事件之间的关系及运算：，互斥必互逆，互逆不一定互斥。随机事件的运算满足的运算规律：（1）结合律：（2）交换律：（3）分配律：概率的古典定义：设随机试验下样本空间的样本点数为有限数，且中每个样本点出现的可能性相同，若事件含有个样本点则概率的几何定义：设随机试验下样本空间为中一区域，，且中每个样本点出现的可能性相同，则概率的公理化定义：设随机试验下样本空间为，对任一事件赋予值满足：（1）非负性：；（2）规范性：；（3）可列可加性：若则称的概率。概率的加法公式：；当概率的减法公式：若逆事件概率公式：条件概率：设为事件发生的条件下事件发生的条件概率。乘法公式：；全概率公式：设为任一事件，则逆概率公式：（贝叶斯公式）设为任一事件，则独立性：若事件，则称事件独立。若事件独立，且。若事件独立，则有重伯努利试验：若随机试验只有两种可能结果：事件发生或不发生，则称这样的试验为伯努利试验，将伯努利试验在相同条件下重复进行次，则称试验为重伯努利试验。二项概率公式：设随机试验则在重伯努利试验中，事件恰好发生次（的概率为：二基本题型例1掷一颗骰子，观察出现的点数，请写出该随机试验的样本空间例2生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。写出该随机试验的样本空间例3设相互独立，则恰好出现一个的概率为（。）例4设一批产品中一、二、三等品各占60％，30％，10％，从中随机的取出一件，结果不是三等品，则取到一等品的概率为（03级题）注：以分别表示任取一件产品为一、二、三等品，则例5设为三个事件，则不发生应表示为。例6已知两个事件满足条件，注:由例7（1）设为三个事件，则至多两个发生应表示为（2）设为三事件，试用的运算表示事件中至少有两个发生：,或（3）设为二事件，则注（4）设10件产品中有4件不合格，从中任取两件，已知两件中有两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格的概率为。注：：两件均不合格，：一件合格，两件中有一件是不合格品即；两件中有一件是不合格品，另一件也是不合格即，故例8设发生的频率与概率，则当例9设为三个事件，则都发生应表示为例10设为两事件，且，则的最大值为注：当例11设表示“甲种产品畅销”表示“乙甲种产品滞销”，则“甲种产品畅销或乙甲种产品滞销”用表示为例12设为二事件，化简下列事件：例13电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。解例14张奖券中有张有奖的，个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。解法一：试验可模拟为个红球，个白球，编上号，从中任取个构成一组，则总数为，而全为白球的取法有种，故所求概率为解法二：令—第人中奖，—无一人中奖，则，注意到不独立也不互斥：由乘法公式故所求概率为例1520运动队，任意分成甲乙两组（每组10队）进行比赛，已知其中有两个队是一级队，求这两个一级队：被分在不同组()的概率，；（2）被分在同一组()的概率。解;或：因故例16从一批由45件正品，5件次品组成的产品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率。解例17设袋中有个黑球，个白球，现随机地从中取出一球，分别就（1）抽取后放回，（2）抽取后不放回，求出第次取出的一个球是黑球的概率。解（1）（2）例18在上任取一点，求该点到原点的距离不超过的概率。答案：解：此为几何概率问题：,所求事件占有区间，从而所求概率为.例19在长度为的线段内任取两点，将其分成三段，求它们可以构成三角形的概率。SHAPE解且，又例20在区间内任取两个数，求这两个数的积小于的概率。SHAPE解例21设为二事件，设解故例22设为二事件，设解例23设解（1）若若（2）若若与相互独立，则例24电路由电池组与两个并联的电池组串联而成，设电池组损坏的概率分别为，求电路发生断电的概率是多少？（为相互独立工作的电池组）解设分别表示电池组损坏，电路发生断电可表示为，故例25飞机投炸弹炸敌方弹药仓库，已知投一弹命中号仓库的概率分别为，求飞机投一弹没有命中仓库的概率。解设{命中仓库}，则{没有命中仓库}，又设{命中第i仓库}则，根据题意（其中两两互不相容）故=0.01+0.02+0.03=0.06所以即飞机投一弹没有命中仓库的概率为0.94例26某市有50％的住户订日报，有65％的住户订晚报，有85％的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时定这两种报纸的住户的百分比。解由已知有，例27一批零件共100个，次品率10％,连续两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。解设{第一次取得次品}，{第二次取得正品}，则{第二次才取得正品}，又因为，则例28设随机事件且解例29三人独立的破译一密码，他们能单独译出的概率分别为求此密码被译出的概率。解以分别表示第一，二，三人独立地译出密码，：表示密码被译出，则例30两人独立的去破译一密码，已知各人能译出的概率为则两人中至少有一人能破译密码的概率为，例31有三个元件独立的工作，每个元件的可靠性都是将三个元件并联成一个系统，求并联系统的可靠性。解则例32求下列系统（如图所示）的可靠度，假设元件的可靠度为，各元件正常工作或失效相互独立解(1)系统由三个子系统并联而成，每个子系统可靠度为，从而所求概率为；（2）同理得.例33三台机器相互独立的运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为，求这三台机器中至少有一台发生故障得概率。解记台机器未发生故障，三台机器中至少有一台发生故障，则例34设为二事件，设解例35设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为，活到25年以上的概率为，问现在25岁的这种动物，它能活到25年以上的概率为多少？解例36某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为％，40年内发生特大洪水的概率为％，求已过去了30年未发生特大洪水的地区在未来10年内发生特大洪水的概。解发生特大洪水的时刻。例37设甲袋中有2只白球，4只红球，乙袋中有3只白球，2只红球，今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球。（1）问取到白球的概率是多少？（2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？解“首先从甲袋中取到白球”收到信号“然后从乙袋中取到白球.”;由题设:于是:由贝叶斯公式有:;例38设甲袋中有3只正品2只次品，乙袋中有2只正品2只次品，先从甲袋中任取一只放入乙袋，再从乙袋中任取一只产品，求第2次取到正品的概率。解甲袋中取到正品，乙袋中取到正品，例39一批产品共有10件正品和2件次品，任取两次，每次取一件，取后不放回，求第2次取出的是次品的概率。解分别表示第一次、第二次取得的是次品，则例40一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同类产品，产量各占总产量的25％，35％，40％，次品率各为5％，4％，2％。现任取一件产品发现是次品，求该次品是由甲车间生产的概率？解设分别表示产品由甲、乙、丙三个车间生产的，表次品，则：例41有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球，由甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球。（1）求取到白球的概率；（2）若发现从乙袋中取出的是白球，问从甲袋中取出放入乙袋的球是白球的概率。解设表“甲袋取出放入乙袋的球是白球”，表“甲袋取出放入乙袋的球是黑球”表“乙袋中取出白球，”，则：例42甲乙丙车间生产同一种螺钉，每个车间产量分别占产量的25％，35％，40％，若每个车间成品中的次品率分别占产量的5％，4％，2％，全部产品中任意抽出一螺钉，试问它是次品的概率是多少？全部产品中任意抽出恰好是次品，试问这个次品是甲车间生产的概率是多少解（1）分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。抽出的一个是次品由贝叶斯公式有:例43一批元件，，其中一等品占95％，二等品占4％，三等品占1％，它们能工作500h以上的概率分别为90％，80％，70％，求任取一元件能工作500h以上的概率。解分别为任抽一元件是一、二、三等品。抽出的一个能工作500h以上例44某厂用甲乙丙三地收购而来的药材加工生产一种中成药，三地供货量分别占40％，35％，25％，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70，和0.85，（1）求从该厂产品中任取一件是优等品的概率。（2）若取一件是优等品的概率，求它的材料来自甲地的概率。解（1）分别为任意抽出原材料是由甲、乙、丙三地收购产的。生产出的药品是优等品（2）由贝叶斯公式有:例45设工厂甲和工厂乙的产品的次品率分别为1％和2％，现从由甲和乙的产品分别占60％和40％的一批产品中随机的抽取一件，求（1）取到的产品是次品的概率。（2）若取到的产品发现是次品，求该次品是工厂甲生产的概率解分别表示所取产品是甲厂、乙厂生产，，取到次品，则，例46三人同时向一敌机射击，击中的概率分别是0.4，0.6和0.7；一人击中，敌机被击落的概率为0.2；二人击中，敌机被击落的概率为0.6；三人击中，敌机必被击落；求（1）敌机被击落的概率。（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率。解用表示第人击中，，则用表示恰有人击中，；表示敌机被击落，则例47某厂产品有70％，不需调试即可出厂，另30％，需经调试，调试后有80％，能出厂，求：（1）该厂产品能出厂的概率。（2）任取一出厂产品未经调试的概率。解“任取一产品，.不需调试即可出厂”“任取一产品，调试后能出厂”;“任取一产品，能出厂.”;“任取一产品，不能出厂”由题设:于是:由贝叶斯公式有:;例48进行一系列独立试验，假设每次试验成功的概率度、都是求在试验成功2次之前已失败了3次的概率。解:表示试验成功2次时的试验次数，,试验成功2次之前已失败了3次的概率等价于：前面4次成功了1次且第5次必成功。例4910个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，求直到第次才取出次红球的概率。解例50灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个使用1000小时后，最多只有一只坏了的概率。解记P=P{灯泡使用在1000小时以上完好}:3个使用1000小时后坏了的只数。则～例51某人有两盒火柴，每盒中各有根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现一盒已经用完时，试求另一盒还有根的概率。(02级试题)解注：可看作重贝努力试验，每次试验中取了第一盒（即用完的那一盒）中一根火柴的概率为，取了第二盒中一根火柴的概率也为，设所求事件为，则相当于“第一盒（即用完的那一盒）中取了根火柴，第二盒（即用完的那一盒）中取了根火柴，”的事件，故三扩展题型例1甲乙丙三人各射一次靶，记“甲中靶”；“乙中靶”；“丙中靶”则用上述三事件的运算分别表示下列事件(1)甲未中靶：；(2)甲中靶而乙未中靶(3)三人中只有丙未中靶：;(4)三人中恰好一人中靶：(5)三人中至少一人中靶;(6)三人中至少一人未中靶或(7)三人中恰好两人中靶：;(8)三人中至少两人中靶(9)三人中均未中靶：;(10)三人中至多一人中靶(11)三人中至多两人中靶例2设随机事件的概率分别为表示的对立事件，那么（1990考研数学1）解将题设代入得，又。例3已知则事件全不发生的概率为（1992考研数学1）解由于是全不发生的概率为：例4从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？解将这五双靴子分别编号分组，则表示：“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有不能配对只能是：一组中选i只，另一组中选4-i只，且编号不同，其可能选法为例5设两两相互独立的事件、满足条件：且已知（1992考研数学1）解将已知代入有：，故例6设两个相互独立的事件则（2000考研数学1）解由已知有（1）又：将代入（2）得（3）由的独立性及（3）有（4）代入（1）有从而，故：例7设是小概率事件，即是给定的任意小的正数，试证明：当试验不断地重复进行下去，事件总会发生（以概率1发生）。解设事件表示第次试验中事件出现次试验中，事件至少出现一次的概率为当试验不断地重复进行下去，事件发生的概率为：例8袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机的从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率是（1997考研数学1）解表第二人取得黄球，则例9设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格平，则另一件也是不合格品的概率是（1993考研数学1）解设“”“”“”则例10随机地向半圆为正整数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率为（1991考研数学1）解以，由题设知，点落在图所示的阴影部分，由于在极坐标下，图形的面积：例11考虑一元二次方程分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率（1996考研数学4）。解一枚骰子掷两次，其基本事件总数为36，方程有实根的充分必要条件是，即由表可见，方程有实根的基本事件总数为123456使的基本事件数012466使的基本事件数0101001+2+4+6+6=19。于是方程有实根的概率为：方程有重根的充分必要条件是，即故：方程有重根的概率为例12用某种检验方法检查癌症，根据临床记录，患癌症者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.95，无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90，若据统计，某地癌症的发病率为0.0005，试求用此法检查结果为阳性者而而实际患癌症的概率。解“患癌症.”“未患癌症”;“检查结果为阳性”;由题设:于是:由贝叶斯公式有:;例13设工厂的产品的次品率分别为1％和2％，现从由的产品分别占60％和40％的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于厂生产的概率是（1996考研数学1）解“取到的产品是由厂生产的”，“取到的产品是由厂生产的”，“取到的产品是次品”则由贝叶斯公式：第二章一维随机变量及其分布一基本概念及内容随机变量的分布函数：设是一个随机变量，是任意实数，称为的分布函数。由分布函数的定义得：设离散型随机变量则称离散型随机变量的概率分布或分布律。分布律满足：（1），……～0-1分布～二项分布～泊松分布～几何分布～超几何分布定义：若随机变量在某期间连续的取值，且对任意的存在可积函数使；则称为概率密度函数的连续型随机变量。概率密度函数的性质：在～均匀分布～指数分布～正态分布：其分布函数：～标准正态分布：其分布函数：若～正态分布：若～正态分布：求离散型随机变量的函数的分布律的方法：可用定义求之，也可在概率分布表上补充一行的函数值，然后将取值相同的概率相加即得。求连续型随机变量的函数的概率密度的方法：一分布函数法：求出求的表达式，从而求出：二公式法：（1）当是单调可导函数时，则：（2）当是非单调可导函数，设其分两段单调，其反函数为则：二基本题型例1：填空题（1）设随机变量的分布律为）则（2）一均匀骰子在重复掷10次后，表示点3出现的次数，则服从：参数为的二项分布，分布律为（3）设随机变量X的概率密度为，Y表示对的三次重复观察中事件出现的次数，则=例2设随机变量的分布律为，1例3设随机变量例4设随机变量的分布密度为例5设例6设随机变量相互独立同分布，且=例7若求解：例8已知随机变量服从二项分布，即～则的分布律为例9已知随机变量在区间[1，3]上服从均匀分布，则的概率密度函数为例10设随机变量～～例11设离散型随机变量的分布律为且则例12已知随机变量在（0，5）上服从均匀分布，则方程：有实根的概率为例13在测试灯泡的寿命的试验中，试写出样本空间并在其上定义一个随机变量。解样本空间表示灯泡的寿命（h）是随机变量。例14报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元，报馆每天给报童1000份报，并规定不得把卖不出的报纸退回，设为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示。{报童赔钱}=,例15设随机变量的分布函数，试求（1）解例16设连续型随机变量的分布函数为其中试求（1）常数，（2）求（3）求的概率密度解（1）即，因为：（2）（3）例17设随机变量～求：（1）常数,(2)的分布函数，（3）落在区间的概率。解（1）因，（2）当时当时，当时：故（3）例18设随机变量的概率密度试求（1）随机变量落在区间内的概率，（2）的分布函数解故的分布函数为例19设随机变量的概率密度为试求（1）系数的分布函数，（3）内的概率。解因为例20用表示某商店从早晨开始营业起到第一个顾客到达的等待时间（以分计），的分布函数是（1）求（2）求（3）求概率密度解；（3）例215个乒乓球中有两个是新的，3个是旧的，若果从中任取3个，其中新的乒乓球的个数是一个随机变量，求这个随机变量的概率分布律.解表示从中任取3个，其中新的乒乓球的个数；则的可能取值为0.1，2。例22某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射击，不命中就一直射击到用完5发子弹，求所用子弹数X的分布律。解：即例23一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数的分布律。解：例24袋中有标号为从袋中任取一球，该球的标号为一随机变量，试求的分布律。解：袋中球的总数为标号为故分布律为：例25从1到10中任取一个数字，若取到数字的概率与成正比，即解：由归一性：例26已知随机变量服从参数为λ=1的泊松分布，试求满足条件的自然数.解：或由查附表得例27某公路一天内发生交通事故的次数服从泊松分布，且一天内发生一次交通事故与发生两次交通事故的概率相等，求一周内没有发生交通事故的概率。解：一天发生交通事故服从参数为的泊松分布，且一周内发生交通事故的次数记为则服从二项分布，故一周内没有发生交通事故的概率为例28一台仪器在10000工作时内平均发生10次故障，试求在100工作时内故障不多于两次的概率。解：，（每个工作时内发生故障的概率）工作时内发生故障的次数，～例29设～现对进行3次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率。(1989考研数学4）解：表示对进行3次独立观察，观察值大于3的次数，则～，例30进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为，失败的概率为，（1）将试验进行到出现一次成功为止，以表示所需的试验次数，求的分布律。（2）将试验进行到出现次成功为止，以表示所需的试验次数，求的分布律。解（1）第次成功，前次全失败。（2）第次成功，前次成功次。例31设随机变量的概率密度为，表示对的三次重复观察中事件出现的次数，则解：故例32设随机变量在[1，6]内服从均匀分布，求方程有实根的概率。(1989考研数学1)解：方程有实根，等价于：方程有实根的概率为例33已知随机变量服从正态分布服从标准正态分布，求解：由37页例3知服从正态分布，又已知服从标准正态分布.例34已知随机变量服从参数为的指数分布，且落入区间（1，2）内的概率达到大，求解：服从参数为的指数分布，则例35设随机变量～;求解：由35页（5）式有：例36～（1）求（2）求使得解：（1）由得，又例37随机变量的分布律为：X-2-1013求的分布律。解的所有可能取值为0，1，4，9，由概率的可加性，有：41019X-2-1013得的分布律为0149例38设随机变量服从参数为0.7的0—1分布，求的分布律。解：参数为0.7的0—1分布。例39设随机变量的概率密度函数为的概率密度函数解：对任意的.，所以：例40设随机变量服从,求随机变量在]内的概率密度函数（1993考研数学1）解法一（分布函数法）当时：，所以：解法二（公式法）在（0，2）单增，由于反函数在（0，4）可导，，从而由公式得 例41设随机变量的概率密度函数为的概率密度函数（1995考研数学1）解：当时：当时：所以：例42设X～的概率密度，解当时，三扩展题型例1设随机变量若的取值范围是（2000考研数学3）解：若则根据密度函数的定义有:故假设即：结论成立。；即结论不成立。同理时，结论也不成立。综上所述的取值范围是[1，3]。例2设在一次试验中，事件至少发生一次的概率为，而至多发生一次的概率为。（1987考研数学1）解：以发生的次数，则服从二项分布从而：，至少发生一次的概率为至多发生一次的概率为例3某射手对目标独立射击3次，至少命中一次的概率为则该射手的命中率为。(1998考研数学1)（工大07级试题）注：表示“对目标独立射击3次，命中的次数。”表示“任一次射击命中”记：～于是：立例4设随机变量服从参数为的二项分布，随机变量服从参数为的二项分布，若（1997考研数学4）。解：由题设有：从而例5设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为求在50头已感染的羊群中发病头数的分布律。解：把观察一头羊是否发病作为一次试验，发病率，不发病率，由于对50头感染羊来说是否发病，可以近似看作相互独立，所以将它作为50次重复独立试验，设50头羊群中发病的头数为，则，的分布律为例6已知随机变量的概率密度函数则的分布函数（1990考研数学1）解：随机变量的分布函数当当故的分布函数例7设随机变量服从均值为10，均方差为0.02的正态分布，已知则落在区间（9.95，10.05）内的概率为（1988考研数学1）解：由已知得，故例8若随机变量分布，且（1991考研数学1）解：由已知有：故有，因而：。例9假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，以概率0.20定为不合格品不能出厂，现该厂生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求：全部能出厂的概率；其中恰好有两件不能出厂的概率；其中至少有两件不能出厂的概率；（1995考研数学4）解：对新生产的每台仪器，记仪器能出厂，则：设为所生产的台仪器中能出厂的台数，则作为次独立试验成功（仪器能出厂）的次数，服从二项分布故例10某地抽样调查表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分;96分以上占考生总数的2.3％，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。（1990考研数学4）附表：00.51.01.52.02.53.00.5000.6920.8410.9330.9770.9940.999其中是标准正态分布函数.解：设表示考生的外语成绩，由已知～现求因为：故于是所求概率为：例11设电源电压（单位服从，在三种情况下电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001，0.2，求：（1991考研数学5）（1）该电子元件损坏的概率α；(2)该电子元件损坏时,电压在200至240的概率β。解：(2)例12某仪器装有三只独立工作的同型号的电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，分布密度为试求，在仪器最初使用的200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率。（1989考研数学5）解：记只仪器在使用的最初200小时损坏，只仪器的寿命。。由已知有：例13已知的概率密度为试求（1）未知系数,(2)的分布函数(3)落在区间内取值的概率。解：（1）（2）例14设随机变量的概率密度函数为求随机变量的概率密度函数（1988考研数学1）。解：由定义有：故所求的概率密度函数例15设～的概率密度，（2）求的概率密度，解故的概率密度(2)因则，当时，例16设随机变量在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量的概率密度函数（1988考研数学4）。解：由已知有对任意实数有：当是不可能事件，有：是必然事件，有：故例17设随机变量的指数分布，证明：在区间（0，1）上服从均匀分布。（1995考研数学5）证：已知又当当当时，有：故即在区间（0，1）上服从均匀分布。第三章二维随机变量及其分布一概念定理性质二维离散型随机变量的联合概率分布记为满足：二维离散型随机变量的边缘概率分布记为：当是二维离散型随机变量时：相互独立等价于：对的所有可能取值，即：反之，若存在不独立。二维连续型随机变量的分布函数可表为：，非负函数称为二维连续型随机变量的联合概率密度或概率密度。概率密度满足：（4）在的连续点处，有二维连续型随机变量的边缘分布；连续型随机变量相互独立等价于：几乎处处成立。对二维离散型随机变量，有的概率分布为：对二维连续型随机变量，有的概率密度为：若相互独立，则若随机变量相互独立，依次服从泊松分布从泊松分布若各相互独立的随机变量～则服从正态分布进一步有～若随机变量相互独立，其分布函数分别为则的分布函数为：的分布函数为：二基本题型例1离散随机变量相互独立同分布，求的概率.解.即使两个离散随机变量相互独立同分布,一般不会以概率1相等.例2(1)设二维随机变量在矩形域内服从均匀分布，当时，的边缘密度(2)若服从二维正态分布。其密度为：则相互独立的充分必要条件是例3设二维随机变量的概率分布如下表：01200.060.150.0910.350.21求；(2)随机变量是否相互独立？（3）求。解：（1）;(2)求得的边缘分布如下表：01200.060.150.090.310.140.350.210.70.20.50.31故相互独立；（3）例4设二维随机向量的可能值为，且取这些值得概率依次为试求二维随机向量的分布律和边缘分布律。0200001001解：所求二维随机向量的分布律和边缘分布律如表所示。例4设令求的联合概率分布。解:因为:,.例5设二维随机变量的概率分布如下表：121021求的边缘分布律。（2）求的条件下的条件分布律及的条件下的条件分布律。解:的边缘分布律为的边缘分布律为的条件下的条件分布为的条件下的条件分布为例6随机变量在矩形域上服从均匀分布，求二维联合概率密度及边缘概率密度.随机变量及是否独立？解按题意具有联合概率密度,,及是独立的.事实上,若服从区域上的均匀分布，则只有当为矩形区域：时，与分别服从上的均匀分布，且与独立，反之亦然.例7设二维随机变量的概率密度函数为=求边缘概率密度.解对任意，当或时,对任意，，可知边缘概率密度为：；例8随机变量的分布函数为=.求：（1）的概率密度；（2）边缘概率密度.（3）随机变量与是否独立？解由分布函数的性质有=0=1从而对任意的；有，于是，有，，独立。例9两人相约7点到8点之间会面，先到者至多等20分钟，过时不候，设每人在这段时间内任何时刻到达的可能性相同，且两人到达的时刻是独立的，求两人会面的概率。解:表示甲，已两人到达的时刻，～，概率密度为：因独立，故联合密度为：会面的概率为：例10设二维随机变量的联合密度为：试问是否独立。解：当从而：例11进行打靶试验，设弹着点的坐标相互独立，且都服从分布，规定点落在区域得2分，点落在区域得1分，点落在区域得0分，以记打靶的得分，写出的联合概率密度，并求的分布律。解：因为与相互独立，所以的联合概率密度为所以，的分布律为:例12设随机变量的联合密度试求（1）常数；（2）解（1）因例13设二维随机变量的概率密度函数为（1）求常数的边缘概率密度。（3）解（2）的边缘概率密度为当，===，当，===，可知边缘分布密度为：==（3）例14设随机变量的概率密度函数为：（1）求,(2)问是否相互独立？解：（画图）当时，故（2）独立。例15一仪器由二个部件构成，以和分别表示二个部件的寿命（单位：千小时），已知和的联合分布函数（1990考研数学4）（1）与是否独立？（2）两个部件的寿命都超过100小时的概率解（1）和的分布函数分别为由于，故独立。例16设随机变量相互独立，均服从同一分布，试证：证：设是连续型随机变量，记故例17设随机变量相互独立同分布，都在区间[1,3]上服从均匀分布，记事件.且求常数解例18（1）和是相互独立同分布的随机变量，且求的概率分布.解（1）的可能取值为2，3，4.且故有:（2）由已知易得例19设的概率分布如下表：YX-YXX+Y-2-10-1-31-20-1-1030求（1)X+Y的概率分布，（2）X-Y的概率分布。解：略。例20设随机变量相互独立，且服从期间[0，1]上的均匀分布，求的概率密度。解在[0，2]中取值，按卷积公式的分布密度为：如图，从而：例21设随机变量～;～,～,且相互独立，求解：由62页～，故由34页有例22某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为，设各周的需要量是相互独立的，试求两周需要量的概率密度.解表第周的需求量，各相互独立。设两周的需求量为，则要而故故例23设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从分布，随机的选取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率.解设为选取的第只电子管的寿命，则～令则所求概率为=（由独立性）=[]而因此三扩展题型例1在一只箱子中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样，我们定义随机变量,如下：试分别就（1）、（2）两种情况，写出和的联合分布律．并问随机变量和是否相互独立？解（1）放回时，（2）不放回抽样，放回抽样时，两次抽样相互独立；不放回抽样，不相互独立．例2设为二随机变量，且则（1995考研数学1）。解：记由例3设随机变量相互独立，且同分布求行列式的概率分布。（1994考研数学4）解：记独立同分布：，随机变量有三个可能值-1，0，1，易见：，于是，行列式的概率分布律为-1010.13440.73120.1344例4设是相互独立的随机变量，～～证明～证明：例5平面区域由曲线及直线所围成，二维随机变量在上服从均匀分布，求关于的边缘密度在处的值。（1998考研数学1）解：例3图例3图例6设随机变量的联合概率密度为求的联合分布函数（1995考研数学4）解：如图记则当时，有当时，有当时，有当时，有当时，有故的联合分布函数为例7设随机变量的概率密度为：（1）是否相互独立，（2）求的概率密度。解：（1）（2）例8设二维随机变量的概率密度为（1）求随机变量的密度（2）求概率，（1992考研数学4）例4图解：（1）当时，例4图当时，故（2）如图例9设二维随机变量在矩形上服从均匀分布，试求边长为（1999考研数学4）例5图解：由已知有，随机变量的密度函数为例5图记，，如图有：当时，当时，当时，所以随机变量的分布函数：所以随机变量的密度函数：例10设随机变量相互独立，且服从参数为的指数分布，求解：的联合密度为第四章随机变量的数字特征一基本概念及内容离散型随机变量的数学期望：若绝对收敛，则若绝对收敛，则连续型随机变量的数学期望：若绝对收敛，则，若绝对收敛，则二维离散型随机变量的函数数学期望：二维连续型随机变量的函数数学期望：当方差：，离散型随机变量的方差：连续型随机变量的方差：若个相互独立的随机变量～则～协方差：相关系数：常见随机变量的概率分布期望与方差名称概率分布期望方差0-1分布二项分布泊松分布几何分布均匀分布指数分布正态分布定理：当且仅当随机变量之间存在线性关系，即时，当，称不相关。独立一定不相关，但不相关不一定独立。二维正态随机变量的概率密度函数中的参数就是的相关系数。对二维正态随机变量来说，“不相关”与“”是等价的。切比雪夫不等：:设有：大数定理：设随机变量相互独立，……，则序列依概率收敛于即贝努利大数定理：次重复独立试验序列中事件发生的频率依概率收敛于事件发生的概率独立同分布的中心极限定理：设随机变量相互独立同分布，且，则即：当很大时特别的：若则有二基本题型例1填空(1)设随机变量～，～且相互独立，则对任意常数，有服从的分布是(2)设随机变量相互独立，其中服从正态分布服从参数为的指数分布，记则(3)已知随机变量～，～则(4）设随机变量独立，在[0.6]上服从均匀分布，服从，服从参数为的泊松分布，记，则(1989考研数学5)(5)设随机变量服从参数为的泊松分布，且，则有(6)设随机变量(7)设随机变量的期望(8)设随机变量的分布律为5题表02则(9)设相互独立，且服从同一分布，其数学期望为(10)设连续型随机变量的概率密度函数为的数学期望为1，的方差为注（1987考研数学1）例2设服从如下表的概率分布：X-1012概率求解：例3某保险公司规定，若在一年内顾客的投保事件发生，该公司就赔偿顾客元，若在一年内事件发生的概率为，为使该公司的期望收益值等于的10％，问该公司应该要求顾客交多少保险费？解：表公司收益：：表一个顾客所交保费，则例4设随机变量的概率密度分别为：求.（2）又设相互独立，求解：例5设的分布密度为解==例6设随机变量相互独立，其概率率密度分别为：求.解：例7设的联合概率密度为解：由例8验证是某个随机变量的概率密度，但具有这概率密度的随机变量的数学期望不存在。证明：（1）显然，且所以是一个分布密度,（2）而；所以的数学期望不存在。例9一工厂生产的某种设备的寿命(以年计)服从指数分布，概率密度为工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备获毛利100元，调换一台设备厂方需化费300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.(练习册5)售出设备一年内调换，表示调换费用。则：=（元）例10某车间生产的圆盘直径在期间上服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。(理工大02级试题)解：直径～记圆盘面积,则例11．设的分布律如下表:123-10.20.10.00.300.10.00.30.410.10.10.10.30.40.20.41解（1）的边际分布见表上，故1×0.4+2×0.2+3×0.4；-1010.20.100.40.10.10.1=-1×0.3+1×0.3=0.（2）的可能取值为.易知的分布律如表为故=-1×0.2×0.1×0.1+×0.1+×0.1+1×0.1=，解法2：（3）=-1-2-301230.20.100.40.10.10.1的可能取值为-1，-2，-3，0，1，2，3.且有如表的概率分布：=-1×0.2+（-2）×0.1+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.2所以=5解法2=+例13已知二维随机变量的联合分布律为，其中未知（64学时无此题）012-10.10.10.210.30.2求，（2）求的边缘分布律，（3）判断的独立性，（4）求解：（1）（2）求得的边缘分布律见下表012-10.10.10.20.410.30.20.60.40.30.31（3），不独立（4）例14是相互独立同分布的随机变量，且求的数学期望。(1994考研数学1)解：记则：，，故例15设随机变量的概率密度为求：例16设系统由元件并联而成，分别表示的寿命（以h记）并设相互独立，且服从同一分布，其概率密度函数为求系统的寿命的数学期望。解:的分布函数为则的分布函数于是的密度函数为例17一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数的期望与方差。。解：例18设试验成功的概率为将试验独立重复进行到出现一次成功为止，以表示试验所需的次数，求（习题四12）（练习册7）某流水生产线上每个产品不合格的概率为，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为（2000考研数学1）解：====其中“′”表示对的形式导数.，例19．设随机变量服从参数为的泊松分布，且求（练习册1）例20设为随机变量，c是常数，若（由于时取到最小值。（1997考研数学5）证明：因为所以：例21设随机变量的概率密度为：已知求.解：由再由由（1）（2）解得代入的表达式中有例22设随机变量～,随机变量服从（0，4）上的均匀分布，并且相互独立，求，解：由已知及75页例476页例7有；又相互独立，再由73页知：例225家商店联营，它们每两周售出的农产品的数量（以㎏记）分别为相互独立，（1）求5家商店两周的总销售量的均值和方差。（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少千克该产品？解：（1）记（2）～例23设随机变量服从某一期间上的均匀分布，且（1）求的概率密度。（2）求；（3）求解：（1）故（2）（3）例（习题19）重复掷一均匀硬币次，记为正面出现的次数，为反面出现的次数，求的相关系数。解：例24设两随机变量的方差分别为，相关系数为，求解：由77页：例25设随机变量的概率密度为求：解：故例25已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞平均数是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200～9400之间的概率。解：由83页知：例26设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5㎏，均方差为0.1㎏，问5000只零件的总重量超过2510㎏的概率是多少？解：设5000只零件的重量分别为记,则(近似)～例27据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机的取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总合大于1920小时的概率。解：75页例5：～70页例3：由87页定理6：记,则例28设是相互独立的随机变量，它们相互独立，且都服从泊送分布，，则用中心极限定理计算（精确到2位小数）。解：因～，故，所以例29．对敌人的防御阵地进行100次轰炸,每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量,其数学期望是2,方差是1.69,求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率.（练习册五3）解：第次轰炸命中目标的次数为,则独立同分布,且,命中的总次数,(近似)～,例30一部件包括10部分，每部份的长度是一个随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望是2㎜，均方差是0.05，规定总长度为时产品合格，试求产品合格的概率。解：由87页定理6例31设是相互独立同分布的随机变量，若，用中心极限定理求的近似值。例32设保险公司的老年人寿保险一年有１万人参加，每人每年交４０元，若老人死亡，公司付给家属２０００元，设老人年死亡率为０．０１７，试求保险公司在这次保险中亏本的概率．（练习册五4）设老人死亡数为，公司亏本当且仅当即，于是，，亏本的概率：．例33设独立同分布随机变量，期望为，方差，令，（1）验证（2）验证；（3）验证（1），=（3）三扩展题型例1已知离散型随机变量服从参数为2的泊松分布，即，则随机变量的数学期望（1990考研数学1）。解：服从参数为2的泊松分布的随机变量的数学期望为故由已知有从而：例2设一次试验成功的概率为进行100次重复独立试验，当时，成功次数的标准差最大，其最大值为。（1998考研数学4）解：因为若令例3已知离散型随机变量服从参数为的泊松分布，且已知（1994考研数学4）。解：因为，由题设有即。例4设随机变量上服从均匀分布；随机变量则方差（2000考研数学3）解：，由随机变量函数的数学期望公式有：故例5设是两个相互独立且服从正态分布的随机变量，则随机变量的数学期望（1996考研数学1）解：记，则因为相互独立服从正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态分布，故～，从而：例5设随机变量服从瑞利分布，其概率密度为其中是常数.求，例6设随机变量独立同分布，则行列式：（1999考研数学3）解：因为，其中为的全排列，的逆系数，又随机变量独立同分布，故又和式是正、是负各一半，故例7假设有十只同种电子元器件，其中有两只废品，从这批元件中任取一只，若是废品，则扔掉重新任取一只；若仍是废品，则扔掉再任取一只；试求在取到正品前，已取出的废品数的数学分布，数学期望和方差。（1988考研数学4）解：（1）取到正品前已取出的废品数，则的可能取值为0，1，2。，从而：故的分布律为：0120.8（2）（3）例8设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天就停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元，发生一次故障仍可获利润5万元，发生二次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？（1996考研数学4）解：表示一周5个工作日里发生的故障天数，则～；若表示所获利润，则例9设随机变量的概率密度为已知事件求常数求的数学期望。（1993考研数学4）解：（1）由假设有：又由已知（2）例10设是相互独立且服从同一分布的随机变量，已知的分布律为，又设123123写出二维随机变量的分布律求随机变量的数学期望。解：由题设有：，，故二维随机变量的分布律如表的分布律123120300易得的边缘分布律：故例11设二维随机变量上服从均匀分布，记（1）求的联合分布，（2）求的相关系数（1999考研数学3）解：（1）由已知有，二维随机变量故的联合分布律01001故的联合分布如表（2）由的联合分布表得的边缘分布：，从而，又故例12设二维随机变量内服从均匀分布，求关于的边缘概率密度函数及随机变量（1990考研数学1）解：由已知有，关于的边缘概率密度是从而例13设随机变量（！）求（2）求是否相关？（3）是否独立？为什么？（1993考研数学1）解（1）（2）（3）对给定的显然事件中，且，所以，不独立。例14设是试验的两个随机事件，且定义随机变量如下：证明：若必定是相互独立的。例15设随机变量的密度函数为其中都是二维正态密度函数，且它们对应的相关系数分别为它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0，方差都是1。（1）求随机变量的密度函数（可直接利用二维正态密度的性质）（2）问是否独立？为什么？（2000考研数学4）解：由已知有，边缘密度函数都是标准正态分布：故：同理，即～～故随机变量，即所以不相关，没有线形关系。（3）由已知有于是而，所以不独立。例16设随机变量相互独立，试求的相关系数（其中是不为零的常数）。解：因为同理因独立，故同理故：例17对于随机变量存在，证明（Cauchy-Schwarz）不等式：证明：对任意的有故即。例18某保险公司多年的统计资料表明：在索赔户中被盗户占20％，以表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数。写出的概率分布；利用德莫弗—拉普拉斯定理，求被盗索赔户不少于14户，且不多于30户的概率的近似值。（1998考研数学4）[附表]设是标准正态分布函数00.51.01.52.02.50.5000.6920.8410.9330.9770.994解：（1）有～（2）由中心极限定理有

例18设是来自总体的简单随机样本，已知，证明：当充分大时，随机变量近似服从正态分布，并指出其分布参数。（1996考研数学4）。解：记的简单随机样本，且由独立同分布的中心极限定理有：即：从而且例19随机的选取两组学生，每组80人，分别在两个实验室测量某种化合物的值，每个人测量的结果是随机变量，它们相互独立且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均（1）求（2）求解：（1）由87页定理6（2）第五章数理统计学的基本概念一基本概念和内容若是来自总体（分布函数为）的样本，则的联合分布函数为若总体是连续型随机变量，概率密度函数为则的联合密度函数为样本阶原点矩；样本方差若是来自正态总体总体的样本，则～；理解：个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为分布。分布的可加性：若～～相互独立，则～若～若～～相互独立，～；若～～相互独立，则～。方便理解，可形式的记为～；～标准正态分布的上分布的上分布的上若是来自正态总体总体的样本，分别为样本均值和样本方差，则（1）～～（3）～定理：设是分别来自正态总体的两个相互独立的样本，则（1）～（2）～其中（3）～；其中：二基本题型例1(1)设随机变量相互独立且都服从正态分布而分别是来自总体的简单随机样本，则统计量服从参数为9的分布。(练习册六1（5）注：同理：故～(2)设～为样本容量为10的样本均值，则～(3)设随机变量～～(4)设是来自总体～且相互独立，统计量则例2设从总体抽样得到一个大小为10的样本，其值为：4.5，2.0，1.0，1.5，3.4，4.5，6.6，5.0，3.5，4.0。计算解：例3设是来自总体的样本，求变量样本均值的数学期望与方差。解：由于是来自总体的样本，故，，例4设总体服从正态分布,为使样本均值大于70的概率不少于90％，其样本容量至少应取多少？解：由104页（3.3）因为，从而例5设总体～均未知，已知样本容量,样本均值解：由于未知，需用统计量，由104页定理4，例6在正态总体中抽取2个独立样本，样本均值分别为，又样本容量分别为10，15，则理工大02级试题）注：～～独立。，例7在正态总体中抽取16个独立样本，均未知，为样本方差，则注：例8在正态总体中抽取个独立样本，（1）已知（2）解：（1）由99页定理1有，故：（2），故例9设为泊松分布的一个样本，为样本均值和样本方差，求的分布律。例10在总体中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值落在50.8至53.8之间的概率。解：～例11设是来自正态总体的样本，求下列统计量的抽样分布：（1）解：（1）（2）相互独立，三扩展题型例1在天平上复称一重为的物品，设各次称量结果相互独立且服从正态分布次称量结果的算术平均值，则为使的最小值应不小于自然数(1999考研数学3)解：～～例2设的简单随机样本，是样本均值，记则服从自由度为分布的随机变量是（）。（1994考研数学4）。解：～～又～由分布的定义有分布，即～，故选例3从正态总体的样本，若要求样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量至少应取多大？（1998考研数学1）附：标准正态分布表1.281.6451.962.330.9000.950.9750.990解:～～例4设的简单随机样本证明:统计量服从自由度为2的分布.(1999考研数学3)。解：已知：若～～独立，则～若设～，则～～，并且～～，又由正态总体的性质知～又因为独立，由分布的定义知：～例5～～从2总体中抽样本，得下列数据：；，求解：二总体方差相等，故～，其中：，又，,，所以查表：，故第六章参数估计一基本概念和内容矩估计：设是来自连续总体～的样本，若总体有两个待估计的参数，且则令设是来自离散总体～的样本，若总体有两个待估计的参数，且则令若的无偏估计。若有效。正态总体均值，方差的置信期间待估参数统计量置信期间均值已知）双侧：单侧下限单侧上限均值未知）双侧：单侧下限单侧上限均值已知双侧：单侧下限单侧上限均值未知双侧：单侧下限：单侧上限：方差（未知）双侧：单侧下限单侧上限方差比（未知）双侧：单侧下限单侧上限二基本题型例1填空题(1)设是来自总体的一个样本，，若的无偏估计，则(2)设总体的方差为1，根据来自的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则的数学期望的置信度等于0.95的置信区间为（4.804，5.196）。（附：(3)设是总体的样本，设为总体均值的无偏估计量，则中较为有效的是(4)设是总体～的样本值，且均未知，则的置信度为的置信区间为(5)设随机变量和独立同分布，记则随机变量和得相关系数为(6)设是来自均值为的泊松分布总体的样本且未知，设都是的估计量，则中是无偏的，且无偏估计量中较为有效的是(7)设是来自总体～的样本且已知，未知，则的置信度为的置信区间为(8)设是来自均值为，方差为的总体的样本，下列的无偏估计量中，最有效的是例2随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以㎜计）：试求总体均值均值及方差的矩估计.解：令故;例3设滚珠轴承直径服从正态分布，从某天的产品里随机的抽出5个，量得直径（单位㎜）如下：14.6，15.1，14.9，15.2，15.1。若知道直径的方差是0.05，试找出平均直径的置信度为0.05的置信区间。（已知解：设直径置信期间例4设有一批零件，其长度～，为了估计参数今从中抽取9件，测得样本均值，样本方差，求的置信度为95％的置信区间.()解：而～，故，故的置信度为95％的置信区间为，即例5设总体的概率分布为是来自总体个样本，求参数的矩估计量。解：例6设总体的分布律为为未知参数，今从该总体中抽取一随机样本，求的矩估计。解：令例7设是来自参数为的泊松分布总体～的一个样本，试求的极大似然估计和矩估计，(教材111页例4)解：先求极大似然估计：;，令再求矩估计：～，令例8设总体的概率密度为是来自总体个样本，是样本值，求参数的矩估计及最大似然估计。解：为的矩估计令为最大似然估计例9是来自正态总体的样本,求μ的最大似然估计。解：例10设总体的概率分布为，…；是来自总体个样本，求参数的极大似然估计.为最大似然估计例11设总体的概率密度，其中未知参数为α.，设为其样本值，试求α的极大似然估计和矩估计，（1997考研数学1）解：矩估计，令极大似然估计，，例12设是来自参数为的指数分布的总体的概率密度，：（1）的矩估计，（2）的极大似然估计。解：矩估计，令极大似然估计：，，例13设总体的概率密度，其中为未知参数，是总体的样本值，求的极大似然估计。（类似03级试题）解：极大似然估计，当时似然函数才能取到最大值，故，令例14设总体的概率密度，其中为未知参数，是总体的样本值，求的极大似然估计。解：极大似然估计，当时似然函数才能取到最大值，故，令例15设是来自参数为的指数分布的总体的概率密度，其中未知参数为，试求的极大似然估计和矩估计。解：矩估计：令极大似然估计，，令例16设总体服从二项分布，其分布律为：是来自总体个样本，求(1)参数的矩估计量。(2)的极大似然估计。解：（1）令为最大似然估计例17设总体的概率分布为0123其中是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3。求的极大似然估计和矩估计，(练习册七4)解：矩估计：令，又（抽样时，出现一次，出现两次，出现一次，出现四次，）例18设是来自总体的样本，指出中那几个为总体均值均值的无偏估计，判断上述无偏估计中那一个较为有效？解：设总体的均值，方差，则（1）均为的无偏估计，最有效。例19设是来自总体～的一个样本，试确定常数，使为的无偏估计。(练习册七6)解：(独立同分布于);例20设的两个独立的无偏估计，且的2倍，试找出常数的无偏估计，并在所有这些估计中方差最小。解：由已知有例21设总体～，样本观察值：求总体均值的置信度为0.95的置信区间（1）已知（2）未知解：（1），的置信度为的置信区间为查表（2）未知，的置信度为的置信区间为查表例22设总体～,现从总体取得容量为4的样本值：1.2，3.4，0.6，5.6，（1）若已知，求μ的置信水平为99％的置信期间。解：由117页（3.3）因为，故μ的置信水平为1-α=0.99（α=0.01）的置信期间为（即（2）若已知σ未知，求μ的置信水平为95％的置信期间。解：由117页（3.5）因为，故μ的置信水平为1-α=0.95（α=0.05）的置信期间为（即三扩展题型例1设总体的概率密度，其中为未知参数，是已知常数是总体的简单随机样本，求的极大似然估计。（1991考研数学4）解：极大似然估计，当时似然函数才能取到最大值，故，令例2某自动包装机包装洗衣粉，其重量服从正态分布，今随机抽查12袋测得其重量（单位：g）分别为：1001，1004，1003，1000，997，999，1004，1000，996，1002，998，999。（1）求μ的置信水平为99％的置信期间。解：由117页（3.5）因，故置信水平为1-α=0.99（α/2=0.005）的置信期间为（即（2）求的置信水平为95％的置信期间。解：1-α=0.95（α=0.025）例3设总体的简单随机样本。（1）求的矩估计，（2）求的方差。（1999考研数学4）解：（1）记为的矩估计（2）因为的方差为例4假设新生婴儿（女孩）的体重服从正态分布，随机抽取15名新生婴儿，测得其体重（g）为:3100,2520,3000,3000,3600,3160,3560,3320,2880,3560,3320,2880,2600,3400,2540.求新生婴儿体重的置信水平为95％的置信期间。解：(1)置信水平为1-α=0.95（α/2=0.025）的置信期间为（即例5假设0.50，1.25，0.80，2.00是总体的简单随机样本。已知服从正态分布。（1）求，（2）求的置信度为0.95的置信期间；（3）利用上述结果求的置信度为0.95的置信期间；（2000考研数学3）解：（1）由已知有的概率密度为又从而有(2)因为故其中于是有，故的置信度为0.95的置信期间为（-0.98，0.98）。（3）因是单增的，从而故的置信度为0.95的置信期间例6随机的抽取9发炮弹作试验，炮口速度的样本标准差,设炮口速度服从正态分布，，求的置信度为0.95的置信区间解：～，故：查表，所以例7随机地从批导线中抽取4根，又从批导线中抽取5根，测得电阻为：批导线：0.143，0.142，0.143，0.137;批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140设测定数据分别来自分布，且两样本相互独立，又均为未知，试求的置信度为0.95的置信区间解：由题中条件有;由页式，的置信度为的置信区间为第七章假设检验一基本概念和内容小概率事件原理：概率很小的事件在一次试验中不大可能出现，反之，若小概率事件在一次试验中出现了，则认为不合理。原假设：要检验的假设备择假设：原假设的对立面，记为第一类错误：为真而拒绝第一类错误：为假而接受正态总体均值方差的检验法原假设备择假设检验统计量拒绝域检验法检验法检验法已知检验法未知）检验法检验法检验法置信期间与假设检验的关系：给定显著水平，其检验的接受域可视为对应参数的置信水平为的置信期间。分布拟和检验：原假设：:一般可不写。步骤：（1）将总体的取值域分成个互不重叠的小期间，记作：（2）把落入第的样本个数记为（3）根据原假设，算出落入引入统计量若中含未知参数，则在原假设下，先用最大似然估计法估计出未知参数，以估计值作为参数值，然后依据中所假设的分布函数，求出，取统计量检验：（皮尔逊定理）若真时，统计量近似服从分布，而统计量近似服从分布，其中是被估计的参数个数。当真时，或不应太大，故的拒绝域为或，其中是被估计的参数个数。秩和检验：在检验，若两总体的概率密度至多相差一个平移，则可等价的检验假设：；（1）设分别从两总体抽取容量分别为，混合两组样本得：，那么第一组样本各元素的秩的和称为秩和（2）计算秩和思考题1.在统计假设检验中,如何确定零假设和备选假设?答在实际问题中,通常把那些需要着重考虑的假设视为零假设.(1)如果问题是要决定新提出的方法是否比原方法好,往往将原方法取为零假设,而将新方法取为备选假设;(2)若提出一个假设,检验的目的仅仅是为了判别这个假设是否成立,此时直接取此假设为零假设即可.从数学上看,原假设与备选假设的地位是平等的,但在实际问题中,如果提出的假设检验仅仅控制了第一类错误的概率,那么选用哪个假设作为零假设,要依据体问题的目的与要求而定,它取决于犯两类错误将会带来的后果,一般地可根据以下三个原则选择哪个作为零假设:(1)当目的是需要从样本观察值取得对某一论断强有力的支持时,把这一论断的否定作为零假设;(2)尽量使后果严重的一类错误成为的一类错误;(3)把由过去资料提供的论断作为零假设,这样当检验后的最终结论为拒绝时,由于犯的一类错误的概率被控制而显得有说服力或造成危害较小.二基本题型例1填空题（1）假设检验中，记为原假设，则称为犯第一类错误。（2）一台机床加工轴的椭圆度服从正态分布，机床经调整后随机抽取20根轴测量其椭圆度，计算得，问调整后机床加工轴的平均椭圆度有无显著降低（）？对此问题，假设检验问题应设为：（4）设总体～，其中未知，取得样本，记为样本均值，为样本方差，对假设检验（在显著水平下）取统计量，则拒绝域为例：设是来自总体～的样本且未知，检验假设（备选假设）时应选用统计量若，则拒绝假设（设检验水平为例设是来自总体～的样本且未知，检验假设（备选假设）时应选用统计量(5)设是来自正态总体的简单随机样本，均未知，记检验使用统计量（1995考研数学4）注：若成立，由定理～，而（7）设总体～～已知，对假设进行检验时，通常采用的统计量是，它服从分布。例2某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的每袋葡萄糖重量是一个随机变量，假设它服从正态分布。当机器正常时，其均值为0.5千克，标准差为千克。某日开工后为检验包装机是否正常，随机的抽取它所包装的糖9袋，称得净重为（千克）问在显著水平下，检验机器是否正常？（（教材147页1题）（理工大07级试题）解：又：由样本算得从而有：，于是不拒绝假设即认为包装机工作正常。例3某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（％）：3.25，3.27，3.24，3.26，3.24；设测定值总体服从正态分布，问在下能否接受假设：这批矿砂的镍含量均值为3.25。（解：原假设：故接受例4设考生成绩服从正态分布，抽得36位考生成绩，平均分为66.5分，标准差为15分，问在水平0.05下，是否可认为平均成绩为70分？给出检验过程。参考数据如下表所示。(1998考研数学1）0.950.975351.68962.0301361.68832.0282解：检验：，而～，故，若成立，则且又故不否认原假设，即认为平均成绩为70分。例5设在木材中抽出100根，得到样本平均数为问该批木材的直径能否认为在12㎝以上？（已知标准正态分布函数。解：；此检验问题的拒绝域为；而故拒绝即认为该批木材的直径不大于12㎝例6要求一种元件使用寿命不得低于1000今从一批这种元件中随机抽取25件，测得其寿命平均值为950已知该种元件寿命服从标准差为的正态分布，试确定这批元件是否合格？设总体均值为（）解:因为拒绝域为，又故拒绝原假设，认为这批元件不合格。例7一位小学校长在报纸上看到这样的报道：“这一城市的初中生平均每周看电视”，她认为她所领导的学校，学生看电视的时间明显小于该数字，为此她向100名学生作了调查，得知平均每周看电视的时间样本标准差问是否可以认为这位校长的看法是对的？取（注：这是大样本的检验问题，由中兴极限定理知道不论总体服从什么分布，只要方差存在，当近似的服从正态分布。解：检验假设：，又近似～。查表，而故拒绝即认为校长看法对。例8设总体～待检验的原假设为对于给定的显著水平，若拒绝域为下面的情形，则相应的备选假设是什么？（1）拒绝域：（2）拒绝域：（1995考研数学4）解：由题设，原假设选择分布的统计量，若拒绝域为，则属于单边检验中的右侧检验，故对应的备择假设为若拒绝域为，则属于双边检验，对应的备择假设为例9假设某厂生产的揽绳，其抗拉强度，现从改进工艺后生产的一批揽绳中随机抽取10根，，测量其抗拉强度，算出样本均值方差当显著水平时，能否据此样本认为：（1）新工艺生产的揽绳比过去生产的揽绳抗拉强度有显著提高？解：检验假设：，近似～。查表，而故拒绝新工艺生产的揽绳。抗拉强度有显著提高。（2）新工艺生产的揽绳抗拉强度，其方差有显著变化？解：检验假设：这里而显然未落在拒绝域中，故接受，认为方差没有显著变化。例10已知炼铁厂在生产正常情况下，铁水碳的质量分数为7％，方差为0.03，现测了10炉铁水，测得其平均碳的质量分数为6.97％，方差为0.0375，设铁水碳的质量分数服从正态分布，试问生产是否正常？（）解：先检验假设：这里而显然未落在拒绝域中，故接受，认为方差没有显著变化。再检验假设：，近似～。查表，而故接受均值没显著变化。检验假设：，近似～。查表，而故接受均值没显著变化。例11机器加工某种零件，规定零件长度100㎝，标准差不超过2㎝，每天定时检查机器的运行情况。某日抽取10个零件，测得其平均长度㎝，样本标准差，问该日机器工作是否正常（取）解：先检验假设：这里，而显然未落在拒绝域中，故接受，认为方差没有显著变大。再检验假设：，近似～。查表，而故接受均值没显著变化。检验假设：，近似～。查表，而故接受均值没显著变化。例12某种导线，要求其电阻的标准差不超过今在生产的一批导线中取样品9根，测得设总体为正态分布，问在显著水平下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大？解：检验假设：这里而显然落在拒绝域中，故在下，拒绝，认为这批导线的标准差显著地偏大。例13机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋标准含量为500克，标准差不得超过10克，某天开工后，随机抽取9袋，测得净重如下（单位：克）：497，507，510，475，515，484，488，524，491，假设检验（）（练习册第八章6）解：（1）查表，而，故接受（2）这里而显然落在拒绝域中，故拒绝，认为。例14一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药后至开始起作用的时间间隔较原有止痛片至少缩短一半，因此厂方提出需检验假设:此处分别是服用原止痛片和服用新止痛片后开始起作用的时间间隔的总体均值，设两总体均为正态分布且方差分别为已知值，现分别在两总体中取一样本和，设两样本独立，试给出上述假设的拒绝域，取显著水平为解：～；～若真，则～；从而～故显著水平为的拒绝域为例15测得两批电子器件样品的电阻（单位：）为设这两批器件的电阻总体分别服从分布,且两样本独立。检验假设（）在（1）的基础上检验假设（）解：（1）拒绝域为这里显然：故接受即认为二正态总体方差相等。（2）拒绝域为而故在下，认为两批器材的电阻值没有显著差异。例16有两台机器生产金属部件，分别在两台机器生产的金属部件中各取一容量为的样本，测得部件重量（㎏）的样本方差分别为设两样本相互独立，两总体分别服从分布，均未知，试在显著水平下检验假设解:由于两总体均服从正态分布,又未知,故检验统计量为.拒绝域为代入得故接受.三扩展题型例1据记载某大城市为了确定养猫灭鼠的效果，进行调查结果如下：养猫户：119户，有老鼠活动的15户；无猫户：418户，有老鼠活动的58户；问：养猫与否对大城市家庭灭鼠有无显著差异（）。（提示：使用二项分布，但是未知，当很大时，两个二项分布均值差近似服从正态分布，对均值差进行假设检验。）解：设又记养猫户，无猫户的家中有老鼠活动的的概率分别为，则～～相互独立。问题等价于在检验假设：又很大，由中心极限定理知：～～从而～即～当为真，即时，有～因很大，故分别为总体的样本方差，于是在成立的条件下，近似的有～的拒绝域为由题设知，在养猫户中有15户家中有老鼠活动，即样