2025版新教材高中物理第2章机械振动4单摆课内探究新人教版选择性必修第一册

4．单摆探究对单摆的回复力及运动特点的理解要点提炼1.回复力来源单摆的回复力是重力沿圆弧切向的分力F＝mgsinθ供应的。2．单摆做简谐运动的推证(1)在随意位置P，则有向线段eq\o(OP,\s\up6(→))为此时的位移x，重力G沿圆弧切线方向的分力G1＝Gsinθ供应摆球以O点为中心做往复运动的回复力。(2)在摆角很小时，sinθ≈θ＝eq\f(x,l)，G1＝Gsinθ＝eq\f(mg,l)x，G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回＝G1＝－eq\f(mgx,l)。令k＝eq\f(mg,l)，则F回＝－kx。因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动。(摆角一般不超过5°)(1)单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方向的分力，回复力不是摆球所受的合外力。(2)单摆的摇摆不肯定都是简谐运动，只有单摆做小角度(摆角小于5°)摇摆时才认为是简谐运动。典例剖析1.如图所示，O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摇摆，B点为运动中的最低位置，则在摇摆过程中(D)A．摆球在A点和C点处，速度为零，合力也为零B．摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零C．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大D．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大解析：摆球在重力和细线拉力作用下沿圆弧AC做圆周运动，在最高点A、C处速度为零，所受合力不为零，在最低点B处，速度最大，细线上拉力最大。A错，D对；摆球的回复力F＝mgsinθ中，θ为摆线偏离竖直方向的角度，所以摆球在摇摆过程中，在最高点A、C处回复力最大，在最低点B处回复力为零。B、C错。对点训练❶将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的、倾角为α的斜面上，其摆角为θ，如图所示，下列说法正确的是(A)A．摆球做简谐运动的回复力为F＝mgsinθsinαB．摆球做简谐运动的回复力为F＝mgsinθC．摆球经过平衡位置时合力为零D．摆球在运动过程中，经过平衡位置时，线的拉力为F′＝mgsinα解析：摆球做简谐运动的回复力由重力沿斜面的分力沿圆弧的切向分力来供应，则回复力为F＝mgsinθsinα，故选项A正确，B错误；摆球经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项C错误；设摆球在平衡位置时速度为v，由动能定理得mgsinα(l－lcosθ)＝eq\f(1,2)mv2，由牛顿其次定律得F′－mgsinα＝meq\f(v2,l)，由以上两式可得线的拉力为F′＝3mgsinα－2mgsinαcosθ，故选项D错误。探究对单摆周期公式的理解及应用要点提炼1.单摆的周期单摆的振动周期与振幅和质量无关，只确定于摆长与该处的重力加速度g，T＝2πeq\r(\f(l,g))。2．对摆长的理解(1)实际的单摆摆球不行能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l＝L＋eq\f(d,2)，L为摆线长，d为摆球直径。(2)等效摆长。图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摇摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sinα，这就是等效摆长，其周期T＝2πeq\r(\f(lsinα,g))。图(b)中，乙在垂直纸面方向摇摆时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摇摆时，与丙等效。3．影响g的主要因素(1)g由单摆所在的空间位置确定。由g＝Geq\f(M,r2)知，g随所在地球表面的位置和高度的改变而改变，高度越高，g的值就越小，另外，在不同星球上g也不同。(2)g还由单摆系统的运动状态确定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为a，则重力加速度的等效值g′＝g＋a；若升降机加速下降，则重力加速度的等效值g′＝g－a。4．定量探究：单摆周期与摆长的关系(1)试验要点(2)留意事项①要保证单摆在同一竖直平面内摇摆。②摇摆偏角尽量不要大于5°。③悬线上端不要随摆球摇摆，肯定要使之固定。④测量线长时要将其挂好后再测量。⑤起先计时的位置选在摆球经过平衡位置时。⑥测量周期时，一般测单摆振动30～50次全振动的时间，再求周期。⑦处理数据时，一般作出L－T2的关系图像，找出周期与摆长的关系。典例剖析2.正在修建的房顶上固定的一根不行伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发觉当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摇摆，如图所示，从小球第1次通过图中的B点起先计时，第21次通过B点用时30s；球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1m，当地重力加速度g取π2m/s2；依据以上数据，求：(1)小球运动的周期T。(2)房顶到窗上沿的高度h。解析：(1)小球30s内完成全振动的次数：n＝eq\f(1,2)×(21－1)＝10，故小球运动的周期T＝eq\f(t,n)＝3s。(2)设小球以窗上沿为悬点做单摆运动的周期为T1，以房顶为悬点做单摆运动的周期为T2，由题意知，T1＝2πeq\r(\f(l,g))，T2＝2πeq\r(\f(l＋h,g))，故T＝eq\f(T1,2)＋eq\f(T2,2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π\r(\f(l,g))＋2π\r(\f(l＋h,g))))，解得h＝3m。答案：(1)3s(2)3m对点训练❷如图所示，曲面AO是一段半径为2m的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于O点，AO弧长为10cm，现将一小球先后从曲面的顶端A和AO弧的中点B由静止释放，到达底端的速度分别为v1和v2，经验的时间分别为t1和t2，那么(B)A．v1<v2，t1<t2B．v1>v2，t1＝t2C．v1＝v2，t1＝t2D．以上三项都有可能解析：因为AO弧长远小于圆弧半径，所以小球从A、B处沿圆弧滑下可等效成小角度单摆的摇摆，即做简谐运动，等效摆长为2m，单摆的周期与振幅无关，故有t1＝t2，只有重力做功，有：mgh＝eq\f(1,2)mv2，所以v＝eq\r(2gh)，故v1>v2。选项B正确。不同系统中的等效重力加速度：在不同运动系统中，单摆周期公式中的g应理解为等效重力加速度，其大小等于单摆相对系统静止时的摆线拉力与摆球质量之比。①向下加速g等＝g－a(a<g)②向上加速g等＝g＋a③存在向上电场g等＝eq\f(mg－qE,m)④存在向下电场g等＝eq\f(mg＋qE,m)⑤存在磁场g等＝g⑥等量异种电荷g等＝g⑦微小圆弧l等效＝Rg等效＝gR≫x案例如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，其中推断正确的是(C)A．T1>T2>T3>T4 B．T1<T2＝T3<T4C．T1>T2＝T3>T4 D．T1<T2<T3<T4解析：图(1)中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面的分力(mgsinθ)