总体离散程度的估计高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

9.2用样本估计总体

9.2.4总体离散程度的估计

第九章

统计

导问题导入

平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法.但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策.这节课学习数据的另一大重要特征:离散程度离散程度简单理解就是数据聚在一块还是分散开聚在一块分散开导问题导入问题1:有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中环数如下：甲：78795491074乙：9578768677如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价？445777899105667777889从数据看，甲、乙射击成绩的平均数、众数、中位数均为7.无差异从统计图看，甲的成绩比较分散，波动较大；乙的成绩比较集中，比较稳定.有差异思新知探究甲：78795491074乙：9578768677

445777899105667777889一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差.甲命中环数的极差=10-4=6，乙命中环数的极差=9-5=4可以发现甲的成绩波动范围比乙的大.思考1：如何度量成绩的这种差异呢?

极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，所含的信息量很少，极差度量出的差异误差较大.思新知探究思考2：你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗?我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远.因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度.思新知探究思考3：如何定义“平均距离”?

平均距离：含有绝对值,运算不太方便，改用平方代替思新知探究方差、标准差的定义则这组数据的方差为①为了计算方便，还可把方差写成由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致.为了使二者单位一致，我们对方差开平方.注：s≥0；s=0时表示这组数据的每个数据都是相等的.设一组数据是x1,x2,…,xn，②这组数据的标准差为思新知探究计算:两位射击运动员的方差甲：78795491074乙：9578768677①计算平均值②计算每个数据与平均值的差的平方③将所有平方相加④将上述平方和除以数据个数（样本容量）思新知探究思考4：标准差和方差是怎样刻画数据的离散程度的？特征：标准差和方差刻画了数据的______程度或波动幅度．标准差（或方差）越大，数据的离散程度越____，越不稳定；

标准差（或方差）越小，数据的离散程度越____，越稳定．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用

.离散大小标准差思新知探究问题2:有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中环数如下：甲：78795491074乙：9578768677如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？

甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小.

由此可以估计，乙比甲的射击成绩稳定.计算可得：s甲=2，s乙≈1.095

如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置.如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则可以选甲.s甲>s乙思新知探究样本和总体的方差、标准差

思新知探究样本和总体的方差、标准差

如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体方差为

在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的.就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准差.在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性.思练习巩固1.甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50，100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为（

）A.s1＞s2＞s3B.s1＞s3＞s2C.s3＞s1＞s2D.s3＞s2＞s1思练习巩固2.样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其方差为（

）D.2

思练习巩固4.（多选）高一某班的同学在学习了“统计”后，进行了交流讨论.甲同学说：“平均数是刻画一组数据集中趋势最主要的指标.”乙同学说：“众数刻画了总体中个体的稳定或波动程度.”丙同学说“方差越小，表明个体越整齐，波动越小.”丁同学说：“两组样本数据对比分析时，极差较大的一组数据其方差也较大.”其中说法正确的是（

）A.甲B.乙C.丙D.丁思典例解析例1甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示：（1）分别求出两人得分的平均数与方差；（2）根据图形和（1）中计算结果，对两人的训练成绩作出评价.思典例解析

思例2(1)若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为8，则2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的平均数为()A．8 B．15C．16 D．32B(2)若样本数据x1，x2，…，x10的方差为8，则2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的方差为()A．8 B．15C．16 D．32C(3)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则2x1－1，2x2－1，…，2x10－1的标准差为()A．8 B．15C．16 D．32D典例解析思归纳小结数据平均数标准差方差x1，…，xnax1+b，…，axn+b

平均数、方差的性质思新知探究分层抽样的方差（以分两层的样本为例）把第一层样本记为:x1，x2，…，xm，平均数记为x，方差记为sx2;把第二层样本记为:y1，y2，…，yn，平均数记为y，方差记为sy2;把总样本数据的平均数记为z，方差记为s2

.则思典例解析例3甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差200，乙队体重