机械零件的工作能力分析概述课件

第一节零件轴向拉伸或压缩变形时的工作能力分析

第二节零件剪切与挤压变形时的工作能力分析

第四节零件扭转变形时的工作能力分析第五节零件疲劳强度简介

机械零件的工作能力分析概述

第三节零件弯曲变形时的工作能力分析

失效——机械零件丧失预定的功能或达不到预期要求的性能。

常见的失效形式

：

断裂或塑性变形、过量的变形、失稳；过度磨损、过热；打滑、联接松动；运动精度达不到要求等等。

工作能力——机械零件抵抗可能出现失效的能力。

包括

：

强度——零件在外力作用下抵抗断裂破坏的能力。

刚度——零件在外力作用下抵抗变形的能力。

稳定性——零件在压力作用下维持原有形态平衡的能力。

分析对象

：

杆件——长度远大于横截面尺寸的零件，如轴、立柱、梁等。

等直杆——轴线为直线且横截面不变的杆件。

本章主要分析机械零件在外力作用下产生拉压、剪切与挤压、弯曲、扭转的基本变形和常见组合变形时的强度、刚度及稳定性问题，建立相应的工作能力判定条件。

一、轴向拉伸或压缩概念

第一节零件轴向拉伸或压缩变形时的

工作能力分析

二、内力分析与应力分析

三、材料的力学性能

四、轴向拉伸（压缩）强度分析实例

五、轴向拉伸（压缩）变形简介一、轴向拉伸或压缩概念

轴向拉伸或压缩

——杆件受到外部沿轴线方向的拉力或压力作用而沿轴向伸长或缩短的变形。

轴向力——轴向拉力或压力。

简易吊车的拉杆CD产生拉伸变形简易吊车

螺纹夹具中的螺杆产生压缩变形螺纹夹具

汽缸盖螺栓联接中的螺栓产生拉伸变形汽缸盖的联接螺栓

拉压杆的受力图和变形形式均可简化为：二、内力分析与应力分析 1．轴力和轴力图

外力——作用在杆件上的载荷和约束反力。

内力——由外力引起的拉杆内部的相互作用力。

截面法——假想用平面截开杆件确定内力的方法。

设一拉杆受外力F1、F2的拉伸作用而平衡。

假想用一平面m-m截切杆件为两段，所取的任一段也应保持平衡。

在外力F1作用下，左段的截面上必然受到右段作用的内力FN。

由左段杆的平衡方程：∑F=0，FN－F1=0求得FN=F1

截面上的内力是分布力，其合力FN与轴线重合——轴力。

将上述结果推广到左段轴上有多个轴向外力作用的情形，其结论为：

截面m-m上的轴力等于左段轴上所有轴向外力的代数和，即

FN=∑F

确定外力F的正负号：

指向离开该截面时取正；反之取负。

规定轴力的正负号：

轴力是由外力作用产生的杆件各部分之间的相互作用力，即截切处左、右两侧的轴力互为作用和反作用。

为拉力者取正，即轴力方向背离截面；

为压力者取负，即轴力方向指向截面。

因此，取左、右段计算时轴力的符号一致。

轴力图——表示轴力随横截面位置变化规律的图形。

轴力图的构成：

横坐标x——平行于杆件轴线；

纵坐标FN——垂直于杆轴线；表示横截面的位置。正值轴力绘在x轴的上方，表示对应截面上轴力的大小。负值轴力绘在x轴的下方。

在轴力图上，应标明轴力FN的大小和单位以及轴力的正负号。【例4-1】

一双压手铆机的活塞缸示意图。作用于活塞杆上的力分别为F=2.62kN，P1=1.3kN，P2=1.32kN。试求活塞杆上各段横截面上的轴力，并作轴力图。

解：（1）作活塞杆的受力图

活塞杆分别在A、B、C三处受轴向外力作用。（2）求轴力分别在每两个力之间取截面1-1和2-2，并以所取截面的左段杆为分析对象，则截面上的轴力等于截面左侧杆上所有轴向外力的代数和。

截面1-1：

截面2-2

：

负号表示轴力FN1、FN2为压力，与假设方向相反。（2）求轴力分别在每两个力之间取截面1-1和2-2，并以所取截面的左段杆为分析对象，则截面上的轴力等于截面左侧杆上所有轴向外力的代数和。

可见，与以截面2-2左段杆计算的结果相同。

若取截面2-2右段杆为研究对象，得

（3）画轴力图

熟练之后，各截面图均可不画，直接在受力图下方画轴力图即可。

2．拉压杆横截面上的正应力

杆件的强度不仅与内力有关，而且与截面的尺寸有关，即与内力在横截面上分布的密集程度（简称集度）有关。

在截面上某点处的应力——内力在截面上某点处的分布集度。

工程上常用应力来衡量构件受力的强弱程度。

正应力——轴力在横截面上的分布集度。

对于材料均匀连续的等截面直杆，其横截面上各点处的正应力相等。则计算式为

式中：A——横截面的面积。

正应力的正负号与轴力相对应：拉应力为正；压应力为负。

在国际单位制中，应力的单位是帕斯卡，用Pa（帕）表示，常用单位是MPa（兆帕）。1Pa=1N/m2，1kPa（千帕）=103Pa=1kN/m2，1Mpa=106Pa=1N/mm2，1GPa（吉帕）=109Pa。三、材料的力学性能

杆件在外力作用下发生变形，并随着外力的增加而增加，从而使所产生的内力随之增加，内力的增加超过材料承受的限度时，杆件将发生失效。

材料的力学性能——材料承受外力作用时，在强度和变形方面表现出的特性。

材料的力学性能是构件承载能力分析及选取材料的依据，由试验来测定。

常用材料可分为两大类：

塑性材料：以低碳钢为代表

脆性材料：以铸铁为代表 1．低碳钢的力学性能拉伸时σ-ε曲线压缩时σ-ε曲线

低碳钢的拉伸试验图：

纵坐标σ：应力σ=F/A，即拉（压）力F除以试件横截面积A；横坐标ε：

应变ε=△l/l，即试件工作段的伸长（缩短）量△l除以该段原长l。

应力应变图—σ-ε曲线：

（1）弹性阶段（OB段）

弹性极限σe——点B对应的应力值。

只产生弹性变形。即：材料受力后，变形随外力的增加而增加，若卸去外力，变形完全消失。

弹性阶段中的OA段为斜直线。即有σ

∝ε，令

E=tanα=σ/ε，则有

σ

=Eε

——拉、压虎克定律

式中：E——材料的弹性模量。

（1）弹性阶段（OB段）

比例极限σp——点A对应的应力值。

由于大部分材料的比例极限σp和弹性极限σe十分接近，常将σp和σe统称为弹性极限。

应力应变图—σ-ε曲线：

（2）屈服阶段（BC′段）

材料屈服时，构件几乎丧失抵抗变形的能力；产生塑性变形，即：卸去外力后变形不能完全消失。

此阶段曲线为近于水平的锯齿形，出现应力变化很小、应变显著增大的现象——材料的屈服或流动。

屈服极限σs——点C对应的应力值。是衡量材料强度的重要指标。

应力应变图—σ-ε曲线：

（3）强化阶段（C′D段）

强度极限σb——最高点D对应的应力值。是材料所能承受的最大应力，也是衡量材料强度的重要指标。

经过屈服阶段后，材料抵抗变形的能力又有恢复，出现应变随应力的增大而增加的现象——材料的强化。

应力应变图—σ-ε曲线：

（4）颈缩阶段（DE段）

强度极限σb——最高点D对应的应力值。是材料所能承受的最大应力，也是衡量材料强度的重要指标。

经过点D后，在试件的某一局部区域，出现横截面急剧缩小的现象——颈缩现象。

应力应变图—σ-ε曲线：

低碳钢压缩时的σ-ε曲线：

屈服极限以后，产生明显的塑性变形，并随着压力的增加，越压越扁，测不出其抗压强度。

材料压缩时的力学性能只有在屈服极限内与拉伸时重合。

可见，低碳钢拉伸和压缩时的E值和σs值基本相同。2．铸铁的力学性能

是一段微弯曲线。

整个曲线没有直线部分，没有屈服和颈缩现象，断裂时应力、应变都很小。

抗拉强度极限σb——铸铁拉断时的最大应力。是衡量铸铁抗拉强度的唯一指标。拉伸时σ-ε曲线铸铁的力学性能

铸铁压缩时的σ-ε曲线：

与其拉伸时的σ-ε曲线（虚线）相似。整个曲线没有直线段，无屈服极限，只有强度极限。

铸铁抗压强度极限高于其抗拉强度极限约2～4倍。故铸铁宜用作受压构件。压缩时σ-ε曲线

铸铁的力学性能

塑性材料和脆性材料的力学性能主要区别如下：

①塑性材料破坏时有较大的塑性变形，断裂前有些有明显的屈服现象；而脆性材料在变形很小时突然断裂，无屈服现象。

②由于塑性材料拉伸时的比例极限、屈服极限和弹性模量与压缩时相同，而塑性材料一般不允许达到屈服极限，因此，塑性材料抗拉和抗压的能力相同。而脆性材料抗压能力远远大于抗拉能力。

工程上用于衡量材料塑性的指标有伸长率（δ）和断面伸缩率（ψ）。

伸长率

式中：l1——试件拉断后工作段的长度；

l0——原工作段长度。

断面收缩率

式中：A0——试件原横截面面积；

A1——试件断裂处的横截面面积。

δ和ψ的数值越高，材料的塑性越大。

塑性材料——δ＞5%的材料。

如合金钢、铝合金、碳素钢和青铜等；

脆性材料

——δ＜5%的材料。

如灰铸铁、玻璃、陶瓷、混凝土和石料等。

几种材料的力学性能如教材表4－1所列。

3．许用应力和安全因素

由材料的力学性能可知：

塑性材料达到屈服极限σs时，发生塑性变形；

危险应力或极限应力σ°——材料丧失正常工作能力的应力。

脆性材料达到强度极限σb时，发生断裂。

对于塑性材料，σ°=σs；

对于脆性材料，σ°=σb。 3．许用应力和安全因素

工作应力——构件工作时由载荷引起的应力即

考虑材料、加工、载荷及工作条件等实际情况，构件的最大工作应力限制应在极限应力σ°以内，以保证构件具有适当的强度储备。 3．许用应力和安全因素

材料的许用应力[σ]——考虑了强度储备的极限应力

塑性材料的许用应力

脆性材料的许用应力

式中：ns——屈服极限的安全因数；

nb——强度极限的安全因数。3．许用应力和安全因素

安全因数的大小反映了强度储备的多少。

过大的安全因数，使许用应力过小，即强度储备过多，材料的利用率太低；

过小的安全因数，材料接近极限应力，构件工作的安全性差。

对于一般机械，

ns＝1.5~2.5；

nb＝2.0~3.5（或更大）。四、轴向拉伸（压缩）强度分析实例

为保证杆件安全工作，杆件应满足的拉、压强度条件是：

式中：FN和A——产生最大应力危险截面上的轴力和面积。

根据拉、压强度条件，可以解决拉、压杆三类强度计算问题：

（1）强度校核。

若已知杆件的尺寸、所受的载荷及材料的许用应力，验算杆件是否满足拉、压强度条件。

（2）确定截面尺寸。若已知杆件所受的载荷和材料的许用应力，则

可确定拉、压杆的截面尺寸。

（3）确定许可载荷。

若已知杆件的截面尺寸和许用应力，则FNmax

≤A[σ]

可求得杆件所能承受的最大轴力。再根据静力平衡条件进一步确定杆件所能承受的许可载荷。

在强度计算中，当工作应力略大于材料许用应力时，若其超过部分不超出许用应力值的5％，仍可认为构件满足强度要求。【例4-2】

某拉紧钢丝绳的张紧器所受的拉力为F=30kN；拉杆和套筒的材料均为Q235钢，屈服极限σs=235Mpa；拉杆螺纹M20其内径d1=17.29mm，其它尺寸如图所示。若不考虑螺纹旋合段轴力的变化，试校核张紧器的强度。解：（1）分析外力

取拉杆为分析对象，画出受力图。

取套筒为分析对象，画出受力图。

①暂不考虑拉杆端部A处的强度；

②螺纹副中的作用力用合力Q（或Q'、或Q"）代替，并分别作用于拉杆和套筒的B处和C处。

（2）分析内力

采用截面法求得拉杆和套筒上各横截面间的轴力FN=F=30kN。

画轴力图。

（3）分析危险截面

由轴力图可知，拉杆和套筒上各横截面间的轴力处处相等，此时，横截面积A越小，工作应力σ将越大。面积最小的横截面是危险截面，危险截面上有最大工作应力σmax。

对于拉杆，螺纹牙根处的截面面积最小，其面积为

对于套筒，内径为ф30mm处的截面面积最小，其面积为

由于A1<A2，所以拉杆螺纹牙根处的横截面为危险截面。

（4）确定许用应力

因Q235钢为塑性材料，其安全因数ns＝1.5~2.5，考虑钢丝绳的张紧器属较重要装置，取安全因数ns＝1.8，得

（5）校核强度

由教材式(4-3)得

所以张紧器满足强度要求。【例4-3】

一钢木结构的起吊架示意图，AB为木杆，其横截面面积A1=104mm2，许用应力[σ]1=7MPa；BC为钢杆，其横截面面积A2=600mm2，许用应力[σ]2=160MPa。试求最大允许载荷W。

解：（1）受力分析

取铰链B为分析对象，画受力图。图中：

FN1——木杆AB的轴；

FN2——钢杆BC的轴力。铰链B上各力构成平面汇交力系。

（2）求轴力

由铰链B的平衡条件可求得AB、BC两杆的轴力FN1、FN2与载荷W的关系，即由解得

由解得

（3）求最大允许载荷[W]由强度条件可得木杆的许可轴力为即

解得由强度条件可得钢杆的许可轴力为即

解得

为保证结构安全，铰链B处可吊起的最大允许载荷应取40.4kN和48kN中的较小值，即五、轴向拉伸（压缩）变形简介 1．变形与应变

对于轴向载荷作用下杆件，由试验表明：

杆件拉伸时，轴向尺寸增加，横向尺寸略有减小；

杆件压缩时，轴向尺寸减少，横向尺寸略有加大。等直杆的原长为l，横向尺寸为b。

在轴向拉力F作用下，纵向长度变为l1，横向尺寸变为b1。则

绝对变形不能表示其变形程度。常以单位原长的变形来度量杆的变形程度。

线应变——单位原长的变形。

即

可见：

①

线应变表示杆件的相对变形，无量纲。

②

拉伸时，△l＞0，△b＜0，因此ε＞0，ε′＜0；压缩时，反之。

2．泊松比

试验表明，当应力不超过某一限度时，横向线应变ε′和纵向线应变ε之间存在比例关系，而且符号相反，即式中：泊松比μ——比例常数。

泊松比无量纲，其值与材料有关，一般不超过0.5，即纵向线应变ε总比横向线应变ε′大。3．虎克定律

试验表明，当杆的正应力σ不超过比例限度时，应力与应变成正比，材料服从虎克定律，即

即：杆的绝对变形△l与轴力FN及杆长l成正比，而与横截面面积A成反比。则上式可写成由于

同一种材料的E值为常数，其量纲与应力相同，常用单位是GPa，即109Pa；

常数E——材料的拉压弹性模量。

分母EA——杆的抗拉（压）刚度。

表示杆件抵抗拉伸（压缩）变形能力的大小。在其它条件一样的情况下，EA越大，杆变形越小；反之，杆变形越大。

弹性模量E和泊松比μ都是材料的弹性常数，可由实验测定，几种常用材料的E和μ值见教材表4－2。【例4-4】

汽缸的缸体与缸盖用M12的螺栓联接，在装配时必需拧紧。已知，螺栓小径d=10.1mm，拧紧后在计算长度l=80mm内产生的总伸长为△l=0.03mm。螺栓材料的弹性模量E=210GPa。试计算螺栓杆横截面上的拉应力和螺栓联接拧紧时的预紧力。

解：

（1）求纵向线应变ε

螺栓受预紧力作用而被拉伸，其纵向线应变为

（2）求拉应力σ

由虎克定律可求出螺栓杆横截面上的拉应力为

（3）求预紧力Q0

螺栓联接拧紧时使螺栓受拉，使被联接件受压，螺栓杆横截面上产生与预紧力Q0等值的轴力。

解得

由六、压杆稳定性的概念

压杆只要满足压缩强度条件，就能保证正常工作。这一结论仅适合于短粗压杆。

当细长压杆所受的轴向压力远远小于压缩强度的许可值时，便已失去其原有的直线状态，突然变弯而丧失承载能力。

在细长直杆两端作用有一对等值、反向的轴向压力F，杆件处于平衡状态。

试验发现：

若施加一个不大的横向干扰力，则杆件变弯。

当轴向压力F＜Fcr时，若撤去横向干扰力，压杆将恢复到原来的直线平衡状态。

表明：压杆原来直线状态的平衡是稳定平衡。

试验发现：

当轴向压力F=Fcr时，若撤去横向干扰力，压杆不能恢复到原来的直线平衡状态，仍处于微弯状态。

表明：压杆原来直线状态的平衡是不稳定平衡。

压杆在不稳定平衡下，只要轴向压力F＞Fcr，立刻发生明显的弯曲变形，直至折断。

压杆失稳——压杆不能保持其原有直线平衡状态而突然变弯的现象。

临界压力Fcr——压杆处于由稳定平衡到不稳定平衡的临界状态所对应的轴向极限压力。

临界压力Fcr的大小表示了压杆稳定性的强弱。Fcr越大，稳定性越强，则压杆不易失稳；Fcr越小，稳定性越弱，则压杆易失稳。

对于压杆而言，短粗杆和细长杆的破坏性质是不同的。短粗杆是强度问题；细长杆则是稳定性问题。

存在稳定性问题的实例：

内燃机配气阀的顶杆千斤顶的丝杠

细长压杆的失稳常发生在其强度破坏之前，而且是瞬间发生的，所以更具危险性。解决压杆稳定问题的关键是提高临界压力Fcr。

加固端部约束；工程上提高压杆的稳定性的主要措施有：

减小压杆长度；

采用合理的截面形状。七、应力集中的概念

对轴向拉伸或压缩的等截面直杆，其横截面上的应力是均匀分布的。

实验结果和理论分析表明：

在杆件截面发生突然改变的局部区域内，如杆件上孔、槽、切口、螺纹、轴肩等处附近，应力将急剧增加。离开该区域，应力迅速减小并趋于平均。

应力集中——因截面突然改变而引起应力局部增高的现象。

截面改变越剧烈，应力集中越严重，局部区域出现的最大应力就越大。

应力集中系数α——截面突变的局部区域的最大应力与平均应力的比值，即

应力集中系数α表示了应力集中程度，α越大，应力集中越严重。

为减少应力集中程度，在截面发生突变处，应尽量缓和平滑。

例如，阶梯轴的轴肩处采用圆角过渡。

静载荷作用时，应力集中对塑性材料和脆性材料的影响不同：

对于塑性材料，随着外力的增加，截面上的应力将随着屈服区域的增大而逐渐趋于平均，相继达到屈服极限σs，从而限制了局部最大应力值σmax。

因此，对塑性材料制作的零件，可以不考虑应力集中的影响。

对于脆性材料，因材料无屈服阶段，当外力增加时，局部最大应力σmax将随之不断增大，直至到达强度极限σb时，孔和槽等边缘处产生裂纹，并很快扩展导致整个构件破坏。

对于如灰铸铁这类组织不均匀的脆性材料，由于其内部的不均匀性及缺陷，材料本身就具有很严重的应力集中，而截面尺寸的改变所引起应力集中，对零件承载能力的影响不明显。

在交变应力或冲击载荷作用下的零件，无论是塑性材料或是脆性材料，应力集中往往是零件破坏的根源，对零件的强度都有严重的影响。

对于组织均匀的脆性材料制作的零件，应力集中会使其承载能力大为降低。返回

一、剪切与挤压的概念第二节零件剪切与挤压变形时的

工作能力分析

二、剪切与挤压强度分析实例

一、剪切与挤压的概念 1．剪切的概念

剪切——杆件受到一对与其轴线方向垂直并且大小相等、方向相反、作用线相距很近的外力作用，在两外力间的截面沿外力作用方向发生相对错动的变形。剪板机剪切钢板

剪切面——发生相对错动的截面。铆钉联接

螺栓联接

单剪——只有一个剪切面的剪切；

双剪——有两个剪切面的剪切。

受剪杆件的分析：

螺栓所受的外力为分布力的合力。

剪力FQ——剪切面上的内力。

是分布内力的合力，可由截面法求得。

切应力τ——剪切面上分布剪力的集度。2．挤压的概念

机械中的联接件，如螺栓、键、销、铆钉等，在受剪切作用的同时，在联接件和被联接件接触面上互相压紧，产生局部压陷变形，甚至压溃破坏的现象——挤压。

挤压面——零件上产生挤压变形的表面。

挤压力Fjy——挤压面上的压力。

挤压应力σ

jy——在挤压面上由挤压力引起的应力。

只发生在构件接触的表面，一般分布不均匀。二、剪切与挤压强度分析实例1．剪切与挤压的实用计算

切应力在剪切面上的分布和挤压应力在挤压面上的分布均较复杂。

工程中通常采用近似的并能满足工程实际要求的实用计算。

在这种实用计算中，假设切应力和挤压应力均匀分布。

切应力

式中：FQ——剪切面上的剪力；

A——剪切面面积。

挤压应力

式中：Fjy——挤压面上的挤压力；

Ajy——挤压面的计算面积。

Ajy的确定：

当接触面为平面时，Ajy是实际接触面面积；

当接触面为半圆柱面时，Ajy取半圆柱面在直径平面上投影面积，即矩形ABCD的面积：Ajy=t·d。

剪切和挤压强度条件：

剪切强度条件

许用切应力[τ]和许用挤压应力[σjy]的值可查有关手册。

也可按经验公式近似确定：

塑性材料

[τ]=(0.6～0.8)[σ]；[σjy]=(1.7～2.0)[σ]

挤压强度条件

脆性材料

[τ]=(0.8～1.0)[σ]；[σjy]=(0.9～1.5)[σ]

其中：[σ]——材料的许用拉应力

注意：

挤压应力是联接件和被联接件之间的相互作用。当两者材料不同时，应选择其中许用挤压应力较低的材料进行挤压强度校核。

剪切与挤压强度条件解决三类问题：

剪切与挤压强度校核、确定截面尺寸、确定许可载荷。【例4-5】2．剪切与挤压的实用计算实例

已知：轴的直径d=60mm，所选键的尺寸b×h×l=18×11×90(mm)；传递的转矩M=1kN·m；键的材料为45钢，许用切应力[τ]=60MPa，许用挤压应力[σjy]=100Mpa。试校核键的强度。齿轮与轴用平键连接

解：（1）计算键所受的外力F

以键和轴一起作为分析对象，画受力图。

由对轴心O的力矩平衡方程

解得

（2）校核剪切强度

以键为分析对象，画受力图。

由截面法求得剪切面上的剪力为：

键的剪切面面积为：

剪切强度条件为：

故键的剪切强度足够。

（3）校核挤压强度

键工作表面的挤压力为

挤压面的面积为：

挤压强度条件为：

故键的挤压强度也足够。

【例4-6】

冲床的最大冲剪力F=300kN，将钢板冲出直径d=25mm的孔，若钢板材料的剪切强度极限为τb=360Mpa，试求所能冲剪钢板的最大厚度t。冲床冲剪钢板

解：

挤压面的面积为：

为使钢板冲出圆孔，钢板在最大冲剪力作用下所产生的切应力应大于其材料的剪切强度极限τb，即

解得

故取所能冲剪钢板的最大厚度为10mm。返回

一、平面弯曲的概念第三节零件弯曲变形时的工作能力分析

二、内力分析与应力分析

三、梁的弯曲强度分析实例

四、拉伸（压缩）与弯曲组合时的强度分析实例

五、弯曲刚度简介

六、提高零件弯曲强度和刚度的措施

一、平面弯曲的概念

弯曲——当杆件受到垂直于杆轴线的外力作用或受到位于轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线由直线成为曲线的变形。桥式起重机的大梁

横向力——垂直于杆轴线的外力

梁——以承受弯曲变形为主的杆件。火车轮轴固定在车床卡盘上的工件

工程上常见的梁，其横截面通常多有一纵向对称轴，该对称轴与梁的轴线x组成梁的纵向对称面。

所有外力、外力偶作用在梁的纵向对称面内，则梁的轴线在此平面内弯曲成一平面曲线——平面弯曲。

根据梁的支座形式的不同，工程实际中常见的梁分为三种：

简支梁：梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座，

外伸梁：带有外伸端的简支梁，

悬臂梁：梁的一端为固定支座，另一端为自由端，二、内力分析与应力分析1．剪力、弯矩和弯矩图

梁在外力作用下，横截面上产生的内力仍用截面法确定。

例如，桥式起重机的大梁，设起吊重物处在梁的正中位置，不考虑梁的自重，为求得梁的任一截面上的内力，将其简化成简支梁。

因梁在载荷F及支座反力FA、FB作用下保持平衡，可求得支座反力FA=FB=F/2。

取截面m-m左段时，左段仍保持平衡。左段上除了外力F、FA的作用外，左段的截面m-m上必受到右段的作用力，包括与截面相切的内力FQ和作用于纵向对称面上的内力偶M，它们与外力F、FA平衡。

剪力FQ——与截面相切的内力。弯矩——作用于纵向对称面上的内力偶M。由左段梁的平衡方程解得

推广到一般情形，其结论是：

截面上的剪力FQ等于该截面一侧梁上所有外力的代数和；

截面上的弯矩M等于该截面一侧梁上所有外力和外力偶对截面形心C的力矩代数和，

弯矩方程——表示弯矩随所取截面的位置x的变化而变化的方程。

一般情况下，梁的横截面上产生剪力FQ和弯矩M两种内力。但通常梁的跨度较大，剪力对梁的强度和刚度影响很小，可忽略不计，只需考虑弯矩对梁的作用。

当取截面左、右两段梁来计算弯矩M时，其值相等，但方向相反。通常使这两种计算所得弯矩M的符号一致。M的符号规定：

使梁在截面m-m处弯曲变形凹向上时，则该截面上的弯矩M为正值；

使梁在截面m-m处弯曲变形凹向下时，则该截面上的弯矩M为负值。

同样地，可用上述方法来确定外力和外力偶的代数符号。

弯矩图——表示弯矩随横截面位置变化规律的图形。以便确定弯矩的最大值及其产生的位置，弯矩图的构成：

横坐标x——沿梁轴线方向。表示横截面的位置。

纵坐标M——垂直于梁轴线方向。表示对应截面上弯矩的大小。

正弯矩绘在x轴的上方，负弯矩绘在x轴的下方。并标明弯矩的大小、单位、正负号。【例4-7】

桥式起重机横梁长l，起吊重物处在图示位置，其重量为W，不计梁的自重。试画出图示位置横梁的弯矩图，并指出最大弯矩所在截面的位置；当小车移至梁的何处时，最大弯矩有最大值。桥式起重机横梁（不计自重）解：（1）绘计算简图

横梁简化为简支梁，该梁在C处有起吊重力W，在两端A、B处有支座反力FA、FB，均为集中力。（2）求支座反力根据静力平衡方程求得（3）建立弯矩方程

梁上受力状况不同的AC段和BC段，其弯矩M随x变化的规律将不一样，应分别建立这两段的弯矩方程。设x1、x2分别表示AC段、BC段上任一截面位置。对截面左侧梁段建立弯矩方程，即AC段BC段（4）画弯矩图由弯矩方程可知，弯矩图为两条斜直线，其中：据此可画出横梁的弯矩图。

（5）确定弯矩的最大值

由弯矩图可见，集中力W作用的C点处截面有最大弯矩；当集中力W作用在梁的中点时，最大弯矩有最大值，即

扳手长为l，拧紧螺栓时，受力F作用。试画出扳手的弯矩图，并指出最大弯矩所在截面的位置。【例4-8】

扳手

解：（1）绘计算简图

螺栓拧紧后，扳手B端可简化为固定端，因而扳手可简化为悬臂梁。（2）建立弯矩方程设x表示扳手上任一截面位置。对截面左侧段建立弯矩方程，即（3）画弯矩图由弯矩方程可知，弯矩图为斜直线，其中：据此可画出横梁的弯矩图。由弯矩图可见，固定端B处的截面有最大弯矩，即

桥式起重机横梁的自重对其强度和刚度的影响往往不可忽略。若仅考虑横梁的自重，则横梁简化为受均布载荷作用的简支梁，其载荷集度为q，试画出横梁的弯矩图，并确定弯矩的最大值。【例4-9】

桥式起重机横梁（空载时）解：（1）求支座反力

根据静力平衡条件，并由载荷和结构的对称性，可的支座反力为（2）建立弯矩方程设x表示横梁上任一截面位置。对截面左侧梁段建立弯矩方程，即（3）画弯矩图

由弯矩方程可知，弯矩图为二次抛物线，通常可通过三个x值来大致确定其形状，即据此可画出横梁的弯矩图。

由弯矩图可知，横梁在中点处的截面有最大弯矩。其值为

某变速机构的滑移齿轮，受拨叉的推力F作用，如不计摩擦及滑移齿轮的自重，滑移齿轮对轴的作用可视为一个集中力偶Me。轴在Me作用下可简化为受集中力偶作用的简支梁，试画出轴的弯矩图，并指出最大弯矩所在截面的位置。【例4-10】

滑移齿轮轴解：（1）求支座反力

根据力偶的性质，支座反力FA、FB必形成一力偶与集中力偶Me平衡，并由力偶平衡方程求得FA、FB，即（2）建立弯矩方程因C点处有集中力偶，故弯矩需分段考虑。AC段BC段（3）画弯矩图因C点处有集中力偶，故弯矩需分段考虑。

由弯矩方程可知，截面C左右段轴的弯矩图均为斜直线，其中BC段AC段

据此可画出横梁的弯矩图。

由弯矩图可知，如b>a，则最大弯矩发生在集中力偶作用处右侧横截面上，即弯矩图变化规律归纳如下：

①一般情况下，梁的弯矩方程是x的连续函数，而且是分段的连续函数，即弯矩图上有转折点；转折点在集中力作用点、集中力偶处和均布载荷的始末端。

应根据外载荷的作用位置分段建立梁的弯矩方程，并画出弯矩图。弯矩图变化规律归纳如下：

②梁段上无均布载荷时，弯矩图一般为斜直线。梁段上有均布载荷时，弯矩图为二次抛物线，且载荷集度q向下时，弯矩图曲线凹向下；反之凹向上。③集中力作用处弯矩图出现尖点，发生转折。④集中力偶处弯矩图发生突变，突变的数值与集中力偶矩相同，集中力偶顺时针方向时，弯矩图向上突变；反之向下突变。

利用上述结论，可简便快捷地绘制出梁的弯矩图。2．纯弯曲时的正应力

纯弯曲——横截面上只有弯矩而无剪力的作用。即纯弯曲时梁的横截面上只有正应力，而不会有切应力。

由前所述，确定梁的强度和刚度时通常可忽略剪力对梁的作用，也就是将梁视作纯弯曲。梁的纯弯曲变形实验表明：

梁弯曲变形后，纵向纤维有伸长层，也有缩短层，说明横截面上有拉应力，也有压应力。

中性层——在伸长层和缩短层之间有一层纤维弯曲而长度不变，这一层纵向纤维为中性层。

中性轴——中性层与横截面的交线。它通过截面形心C，所有横截面仍保持平面，只是绕中性轴相对转动。

横截面上中性轴的一侧受拉、另一侧受压，正应力分布规律是：

横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴的距离成正比；

中性轴上的正应力等于零；

离中性轴最远点即上下边缘的正应力最大。梁的横截面上最大正应力σmax的计算公式为:式中：

M——横截面上的弯矩，N·mm；

ymax——横截面上离中性轴最远点到中性轴的距离，mm；

Iz——横截面对中性轴z的惯性矩，mm4。是与横截面形状和尺寸有关的几何量。为便于计算，令则式中：

Wz——梁的抗弯截面系数，mm3。 也是与横截面形状和尺寸有关的几何量。

可见，当弯矩M不变时，Wz越大，σmax越小。所以Wz是反映横截面抵抗弯曲破坏能力的一个几何量。常用截面的Iz、Wz计算公式见教材表4-3。

常用型钢的Iz（Iy）、Wz（Wy）值可从有关手册中查得。【例4-11】

图示为一矩形截面简支梁。已知：F=5kN，a=180mm，b=30mm，h=60mm；试问当截面竖放或横放时哪种抗弯能力较强。解：（1）求支座反力（2）画弯矩图（3）求最大正应力

竖放时的最大正应力σmax1为横放时的最大正应力σmax2为计算结果表明：

竖放时的σmax1小于横放时的σmax2，可见，截面竖放比横放的抗弯能力强。三、梁的弯曲强度分析实例

对于等截面梁，最大正应力产生在最大弯矩作用的截面上，此截面即为危险截面。

危险点——危险截面上离中性轴最远处，即截面对应边缘处。梁的弯曲强度条件为：式中：

[σ]——许用弯曲正应力。许用弯曲正应力[σ]的确定：

对于抗拉强度与抗压强度相等的材料，[σ]采用材料的许用拉（压）应力；当材料的抗拉强度与抗压强度不相同，或横截面相对中性轴不对称时，应分别计算抗拉强度和抗压强度。弯曲强度计算解决三类问题：弯曲强度校核、确定截面尺寸、确定许可载荷。【例4-12】

图示为一工字钢简支梁。已知：跨距l=6m；载荷F1=15kN，F2=21kN；钢材的许用弯曲应力[σ]=170MPa。试选择工字钢的型号。解：（1）求支座反力（2）画弯矩图由弯矩图可见，横截面C为危险截面。（3）计算所需的抗弯截面系数为（4）选择工字钢型号由机械工程手册，查热轧工字钢(GB/T706—1988)表得型号为20a的工字钢Wz=237cm3，略大于计算值，故采用型号为20a的工字钢。【例4-13】

已知：板长3a＝150mm，压板材料的许用弯曲应力[σ]＝140MPa。当工件受到最大压力F＝2.5kN时，试校核压板的强度。

螺旋压板夹紧装置分析：压板可简化为图示的外伸梁。

由梁的外伸部分BC可以直接求得截面B的弯矩，因此无需计算支座反力即可画出弯矩图。解：（1）画弯矩图可见，横截面B为危险截面。（2）校核压板的强度

根据教材表4-3所列矩形截面抗弯截面系数Wz的公式，可求得截面B的Wz为由弯曲强度条件可得：因为所以夹板满足强度要求。

四、拉伸（压缩）与弯曲组合时的强度分析实例拉伸（压缩）与弯曲组合变形在工程上是常见的。受载特点：①杆件同时受横向力和轴向力。轮齿受载特点：②载荷与杆件轴线平行，但不通过杆件截面形心。

立柱分析方法：

分解为两种基本变形：拉伸（压缩）和弯曲；

分别求出各自产生的正应力；

各自的正应力进行代数叠加，即得到危险截面的总应力。【例4-14】

已知：立柱截面面积A=15×103mm2

，对中性轴z的惯性矩Iz=53×106mm4；工作压力F=50kN，材料的许用拉应力[σ]l=40MPa，许用压应力[σ]y=120Mpa。试校核该压力机立柱的强度。解：（1）外力分析

压力机的工作压力F与立柱的轴线平行，但偏离立柱的截面形心，立柱受偏心拉伸，偏心距为压力机的铸铁机身（2）内力分析

取m-m截面上部为分析对象，截面m-m上的内力有：

轴力FN和弯矩M

根据平衡条件可求得：轴力FN、弯矩M方向如图所示。（3）应力分析

与轴力FN对应的拉应力σN均匀分布。（3）应力分析

与弯矩M对应的弯曲应力呈线性分布：中性轴z的左边为拉应力σwl，右边为压应力σwy。（3）应力分析危险点处应力叠加：截面左侧边缘点的拉应力σN和弯曲拉应力σwl叠加后仍为拉应力；

右侧边缘点的拉应力σN和弯曲压应力σwy叠加的结果是拉应力还是压应力，由两者数值的大小所决定。

但对于铸铁类脆性材料，由于受压能力远高于受拉能力，故通常使拉、压两种应力叠加后是压应力。（4）校核强度应使危险点的总应力不超过许用应力。左侧边缘点的应力为：右侧边缘点的应力为：计算结果表明，立柱的强度足够。五、弯曲刚度简介

工程上有一些梁，虽有足够的强度，但因变形过大而影响其正常工作。例如：

桥式起重机大梁，在移动被吊物体时，过大的弯曲变形会使电葫芦爬坡困难。

车床主轴，若产生过大的弯曲变形，将降低加工精度，影响齿轮啮合和轴承配合。车床主轴

许多情况下，必须将梁的弯曲变形限制在一定范围内，即梁应满足刚度条件。

悬臂梁AB受载后轴线由直线弯曲成一条光滑连续的平面曲线AB′。

在轴线上任取一截面形心C，弯曲变形后移到C′。

挠度y——截面形心C在垂直于原轴线方向的位移，mm。

转角θ——横截面相对于原来位置转过的角度，rad（弧度）。

梁的变形可用挠度y和转角θ

来度量。

在图示的坐标系中，向上的挠度y为正，反之为负；逆时针转向的转角θ为正，反之为负。

对于弯曲变形后会影响正常工作的梁，其刚度条件为：

式中：[y]——许用挠度；[θ]——许用转角。它们的具体数值可查有关手册。

梁的挠曲线方程——挠度y和转角θ与横截面位置x的函数关系表达式。由此可求得梁上任一截面的挠度y和转角θ。

但实际计算时可由有关手册直接查得单个载荷作用下梁某些截面的挠度y和转角θ计算公式，如教材表4-4所列。在教材表4-4计算公式中：EI——梁的抗弯刚度。在一定外力作用下，该乘积愈大，挠度和转角愈小，表示抵抗弯曲变形的能力愈强。

对于梁在多个载荷作用下的变形，可分别计算单个载荷的变形，然后采用叠加法求得所有载荷作用时的总变形。【例4-15】

桥式起重机大梁弯曲变形过大时，电葫芦爬坡困难，故需对其进行刚度计算。已知大梁采用型号为45a的工字钢，跨度l=9m，最大起吊重量W=60kN（包括电葫芦重量），弹性模量E=200GPa，许用挠度[y]=0.002l，试校核大梁的刚度。解：分析：因钢梁重量大，应考虑梁的自重，是均布载荷，由热轧工字钢(GB/T706—1988)表中查得其集度q＝80.42×9.8＝788

N/m，惯性矩Iz＝32200

cm4。当电葫芦移到梁的中点处时，其挠度最大。（1）用叠加法求挠度

梁在均布载荷q作用下的挠度yCq由教材表4-4可得：（1）用叠加法求挠度

梁在集中力F（=W）作用下的挠度yCF由教材表4-4可得：梁的实际挠度

yC=yCq+yCF=－15mm（2）校核梁的刚度计算许可挠度：所以梁的刚度足够。则六、提高零件弯曲强度和刚度的措施

提高零件的承载能力，即是使受力零件用尽可能少的材料，承受尽可能大的载荷，并安全可靠。目的：

在满足强度、刚度和稳定性的前提下，节省材料，降低零件的制造成本、并使零件材料的作用得到充分发挥。

影响梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力。使最大工作应力σmax尽可能小的途径：

①降低最大弯矩Mmax

②增大抗弯截面系数Wz。工程上常用的措施有：1．改善零件的受力状况（1）合理布置梁的支座

均布载荷q作用下的简支梁，画弯矩图。

均布载荷q作用下的外伸梁，画弯矩图。

最大弯矩Mmax的计算结果表明：

当支座向内移动0.2l时，外伸梁的承载能力可增加4倍。工程实例：龙门吊车主梁的支座布置

龙门吊车的主梁AB，其支承点略向中间移动，其目的：通过合理布置支座位置，以减小Mmax。（2）合理布置载荷

传动轴上的齿轮安装在跨距中点，画弯矩图。

传动轴上的齿轮安装在靠近轴承的位置，画弯矩图。

最大弯矩Mmax的计算结果表明：

齿轮安装在靠近轴承的位置时，最大弯矩Mmax将小很多。2．合理选择截面形状（1）选择比值Wz/A较大的截面形状

梁可能承受的最大弯矩Mmax与抗弯截面系数Wz成正比，虽然如此，但截面面积A也将随之增大（即用料增多），故只有比值Wz/A越大时才越有利。

可用比值Wz/A来衡量截面形状的合理性与经济性。几种常用截面的比值Wz/A见教材表4-5。由教材表4-5可见：工字钢或槽钢比矩形截面经济合理；矩形截面又比圆形截面经济合理。

对于一定截面面积A，可选择抗弯截面系数Wz尽可能大从而使比值Wz/A较大的合理截面。

由于正应力在中性轴上为零，离中性轴越远，正应力越大。为了充分利用材料，应使更多的材料分布在离中性轴较远处。工程结构中的构件常用空心截面以及工字形、槽形或箱形截面。（1）考虑不同材料的特性选择截面形状

对于塑性材料，宜采用圆形、矩形、工字形等中性轴对称的截面，从而使材料得以充分利用；

对于脆塑性材料，宜采用T形等中性轴偏于受拉一侧的截面，从而使最大拉应力比最大压应力小。3．采用变截面梁

在采用等截面梁时，只有在弯矩为最大值Mmax的截面上，最大应力才有可能接近许用应力，其余各截面上应力较低，材料未得到充分利用。

工程上常采用变截面梁，使梁的各横截面上的最大正应力都接近，形成近似的等强度梁。

摇臂钻床的摇臂

上述改善零件受力状况和合理选择截面形状的措施，也能有效地提高梁的弯曲刚度。

阶梯轴

叠板弹簧返回

一、扭转的概念第四节零件扭转变形时的工作能力分析

二、内力分析与应力分析

三、轴的扭转强度分析实例

四、弯扭组合时的强度分析实例

五、扭转刚度简介一、扭转的概念

扭转——杆件受到垂直于杆轴线的外力偶作用而发生横截面绕轴线相对转动的变形。轴——以承受扭转变形为主的杆件。一般为圆轴。汽车方向盘的操纵轴

攻制内螺纹的右旋丝锥

减速器的传动轴

扭转角——圆轴扭转时任意两横截面之间产生的相对转角φ。二、内力分析与应力分析1．外力偶矩的计算

工程中，作用于轴上的外力偶的力偶矩计算公式为式中：Me——外力偶矩，N·m；

P——功率，kW；

n——轴的转速，r/min。2．扭矩和扭矩图仍采用截面法分析轴在横截面上的内力。

圆轴在两端受到一对等值、反向的外力偶Me作用产生扭转并保持平衡。

取截面m-m一侧的左段为分析对象。

左段截面m-m上必存在一个内力偶Mn与外力偶Me平衡。

扭矩——内力偶Mn由左段轴的平衡方程求得推广一般情形，其结论是：

截面上的扭矩等于该截面一侧轴段上所有外力偶矩的代数和，即

当取左、右两段来计算扭矩Mn时，其值相等，但方向相反。扭矩Mn的符号按右手螺旋法则确定，并规定：

右手四指顺着扭矩的方向握住圆轴轴线，大拇指伸直时的指向与横截面的外法线方向一致时扭矩为正值；反之为负值。

于是，取左、右两段来计算，所得的扭矩Mn符号一致。扭矩Mn的符号按右手螺旋法则确定，并规定：

外力偶矩Me的符号按右手螺旋法则确定，其规定与扭矩Mn相反。即：

大拇指指向与横截面的外法线方向一致为负值，反之为正值。扭矩图的构成：横坐标x——沿圆轴轴线方向。表示横截面的位置。纵坐标Mn——垂直于圆轴轴线方向。表示对应截面上扭矩的大小。正值扭矩绘在x轴的上方，负值扭矩绘在x轴的下方。【例4-16】

已知转速n=300r/min，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B和C的输出功率PB=20kW，PC=30kW（不计摩擦损失）。试画该齿轮轴的扭矩图。若将主动轮A安装在轴的左端，试比较两种安装方式那一种合理。

齿轮轴

解：（1）计算外力偶矩Me

主动力偶MeA的方向与轴的转向一致；从动力偶MeB、MeC的方向与主动力偶MeA的方向相反。（2）计算各段的扭矩

根据外力偶矩的作用位置，将轴分为AB、AC两段，分别取截面1-1和截面2-2。轴的任一截面上的扭矩应等于该截面一侧轴段上所有外力偶的代数和，则AB段内的扭矩

Mn1=MeB=636.67N·mAC段内的扭矩

Mn2=MeB－MeA=(636.67－1591.67)N·m=－955N·m

（3）画扭矩图

由扭矩图可知，该齿轮轴的危险截面在AC段，其最大扭矩为：

|Mnmax|=|Mn2|=955N·m

（4）比较合理性

若将主动轮A安置在轴的左端。

由扭矩图可知，轴上最大扭矩在AB段，其大小为：|Mnmax|=|Mn1|=|MeA

|

=|－1591.67

|=1591.67N·m计算结果表明：

传动轴上主动轮和从动轮安置不同，轴所受的最大扭矩也就不同。显然，将主动轮A安装在两从动轮之间较合理。3．扭矩时的切应力实验结果和理论分析表明：圆轴扭转时，其横截面上只有切应力。切应力的分布规律是：

各点的切应力与横截面半径方向垂直，其大小与该点到圆心的距离成正比，圆心处的切应力等于零，圆周上的切应力最大，圆轴横截面上最大切应力的计算公式为：式中：τmax——截面上最大切应力，MPa；

Mn——截面上的扭矩，N·mm；

R——圆轴半径，mm；

Ip——横截面的极惯性矩，mm4。是与横截面形状和尺寸有关的几何量。为便于计算，令则式中：

Wn——轴的抗扭截面系数，mm3。也是与横截面形状和尺寸有关的几何量。

抗扭截面系数Wn反映横截面抵抗扭转破坏能力。当扭矩Mn不变时，Wn越大，τmax越小。常用截面的Ip、Wn计算公式见教材表4-6。三、轴的扭转强度分析实例

圆轴受扭时最大切应力τmax产生在危险截面的边缘各点处。式中：[τ]——许用扭转切应力，MPa。其值可查有关手册。圆轴的扭转强度条件为：一般情况下，[τ]可按下列经验公式近似确定：塑性材料[τ]=(0.5～0.6)[σ]脆性材料[τ]=(0.8～1.0)[σ]式中：[σ]——材料的许用拉应力，MPa。扭转强度计算可以解决三类问题：扭转强度校核确定截面尺寸确定许可载荷【例4-17】

一汽车的传动轴AB由45号无缝钢管制成，大径D=90mm，小径d=85mm，传递的最大转矩Memax=1500N·m，材料的许用切应力[τ]=60MPa。试求：（1）强度是否足够？（2）在强度不变时改用相同材料的实心轴，轴径应多大？（3）空心轴和实心轴重量比为多少？汽车的传动轴

解：（1）计算空心轴的扭转强度AB传动轴各截面的扭矩Mn相同，其大小为Mn=Memax=1500N·m

由教材表4-6中所列计算公式可求得抗扭截面系数Wn为：由扭转强度条件可得：所以AB传动轴的强度足够。（2）计算实心轴的直径

改用实心轴时，材料和扭矩相同，若要求强度不变，抗扭截面系数必定相等，即实心轴的直径为

Wn=29469mm3

（3）求空心轴和实心轴重量之比

当它们的材料和长度都相同时，重量之比即是它们的横截面面积之比，设空心轴横截面面积为A，实心轴横截面面积为A1，则可得即：空心轴的重量仅为实心轴重量的31%。

可见，在条件相同的情况下，采用空心轴可以节省材料，减轻重量，提高承载能力，所以在汽车、航空和船舶工业中采用较多。四、弯扭组合时的强度分析实例

弯扭组合变形——同时产生弯曲变形和扭转变形。机械中大多的转轴在载荷作用下产生弯扭组合变形。分析：带轮轴AB

作用在带轮轴上的外力：

电动机输入的外力偶为Me；

带轮两边的拉力分别为FT1、FT2，若将FT1、FT2平移至带轮轮心C，可得：合力FT=FT1+FT2和一个附加力偶MF。

带轮轴产生弯扭组合变形：弯曲变形——由横向力FT产生；扭转变形——由力偶Me和MF产生。画出轴的弯矩图。画出轴的扭矩图。由弯矩图和扭矩图可见：危险截面——内力最大的中间截面C处。

截面C上正应力σ和切应力τ分布：σ垂直于横截面；τ沿着横截面。

因此，不能通过两者代数叠加来求危险截面的总应力。

运用有关强度理论可推导出圆轴的弯扭组合强度条件为：式中：

σd——当量应力。圆轴在当量应力σd作用下的强度相当于正应力σ和切应力τ联合作用下的强度；

M和Mn——分别为圆轴危险截面上的弯矩和扭矩；

Wz——圆轴危险截面上的抗弯截面系数；

[σ]——圆轴材料的许用应力。如果轴上的横向力构成空间力系，则弯扭组合强度的计算步骤为：①

将每一个横向力分别向水平面和铅垂面分解，分别画出水平面内的弯矩图（MH图）和铅垂面内的弯矩图（MV图）；②

求合成弯矩M。合成弯矩M的计算公式为式中：MH、MV——水平面内、铅垂面内的弯矩值。③

将合成弯矩的最大值代入弯扭组合强度计算式即可求解。【例4-18】

传动轴传递的功率P=7.5kW，轴的转速n=100r/min，轴的直径d=60mm，各轴段长l=400mm。轴上装有C、D两个带轮，C轮上带的紧边和松边拉力分别为F1'和F1"（F1'＞F1"），其和F1=4.2kN，方向与水平面（xz平面）的z轴平行；D轮上带的紧边和松边拉力分别为F2'和F2"，其和F2=5.4kN，方向与垂直面（xy平面）的y轴平行。轴的材料许用应力[σ]=85MPa，轮轴自重不计，试校核轴的强度。

传动轴解：（1）分析轴的外力带轮传递的转矩为：

在C、D两处分别有等值反向的外力偶MeC、MeD，两外力偶矩为MeC=MeD=Me=0.7kN·m

在C处有水平面的横向力F1；在D处