单摆学案-高二年级上册物理人教版（2019）选择性必修第一册

第二章机械振动

第四节单摆

【知识梳理】

1.单摆的周期

(1)单摆振动的周期与摆球质量无关,在振幅较小时与振幅无关,但与摆长有关,摆长越

长，周期越大;

(2)周期公式

①提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的;

②公式：T=2$,即周期T与摆长/的二次方根成正比,与重力加速度g的二次方根成

反比,而与振幅、摆球质量无关。

2.单摆的受力特征

(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，/回=一机gsin夕=一等x=一近，负号表示

回复力方回与位移工的方向相反.

(2)向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向分力的合力充当向心力，尸向=Fr—mgcos夕

⑶两点说明

①当摆球在最高点时，/向=7~=0,FT=mgcos0.

22

②当摆球在最低点时，方向方向最大，Fr=mg+消，.

3.周期公式7=2q的两点说明

(1)/为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离.

(2)g为当地重力加速度.

【题型总结】

1.单摆周期公式应用

1.关于单摆，下列说法正确的是()

A.单摆做简谐运动的回复力是重力和摆线对摆球拉力的合力

B.单摆做简谐运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力

C.在最大位移处，摆球动能为零，摆线弹力为零

D.在平衡位置时，摆线弹力最大，摆球受合力为零

2.一同学在探究单摆的运动规律时，测得单摆50次全振动所用的时间为120s。已知当地

的重力力口速度大小g=9.80m/s2,/n9.8。则下列说法不正确的是（）

A.该单摆做简谐运动时，在速度增大的过程中回复力一定减小

B.该单摆的摆长约为1.44m

C.若把该单摆放在月球上，则其摆动周期变大

D.若把该单摆的摆长减小为原来的一半，则其振动的周期为3豆s

6

3.如图所示，置于地球表面上的一单摆在小振幅条件下摆动的周期为下列说法中正

确的是（）

A.单摆摆动过程，绳子的拉力始终大于摆球的重力

B.单摆摆动过程，绳子的拉力始终小于摆球的重力

C.小球所受重力和绳的拉力的合力提供单摆做简谐运动的回复力

D.将该单摆置于月球表面，其摆动周期为

4.小明在实验室做单摆实验得到如图甲所示的单摆振动情形，。是它的平衡位置，A、B

是摆球所能到达的左右最远位置，小明通过实验测得当地重力加速度为g=10m/s2,并且

根据实验情况绘制了单摆的振动图像如图乙所示，设图中单摆向右摆动为正方向，

A.根据图乙可知开始计时摆球在A点

B.此单摆的振动频率是2Hz

C.图中尸点向负方向振动

D.根据已知数据可以求得此单摆的摆长为2.0m

5.一根轻绳一端系一小球，另一端固定在。点，在。点有一个能测量绳的拉力大小的力传

感器，让小球绕0点在竖直平面内做简谐振动（类似单摆的运动），由传感器测出拉力尸

随时间，的变化图像如图所示，则下列判断正确的是（）

A.小球振动的周期为IsB.小球动能变化的周期为2s

C.小球速度变化的周期为3sD.小球重力势能变化的周期为4s

6.图甲是演示简谐运动图像的装置，它由一根较长的细线和较小的沙漏组成。当沙漏摆动

时，漏斗中的细沙均匀流出，匀速拉动沙漏正下方的木板，漏出的细沙在板上会形成一条

图甲所示的“沙线”。此装置可视为摆长为工的单摆，沙漏的运动可看作简谐运动。若已知

手拉木板做匀速运动的速度大小是v,图乙所示的一段木板的长度是s,当地的重力加速度

为g。下列说法正确的是（）

A.“沙线”上每处堆积的细沙是一样多的

B.可估算出这次实验所用沙摆对应的摆长乙=3二

4^-V

C.仅将手拉木板的速度增大为2v,木板上将得到如图丙所示的图样

D.仅增大沙摆的摆长，则木板上仍将得到与图乙完全相同的图样

7.两个摆长相同的甲乙单摆，摆球质量之比为4:1,在不同地域振动，当甲摆振动4次的

同时，乙摆恰振动5次，则（）

A.甲乙两摆的振动周期之比为4:5

B.甲乙两摆的振动周期之比为5:4

C.甲乙两摆所在地域重力加速度之比为16:25

D.甲乙两摆所在地域重力加速度之比为25:16

8.图为同一地点的单摆甲和单摆乙的振动图像，下列说法正确的是（）

A.单摆甲的振幅比单摆乙的大

B.单摆甲的周期大于单摆乙的周期

C.单摆甲的摆长等于单摆乙的摆长

D.Z=0.5s时单摆乙的速率大于单摆甲的速率

9.做简谐运动的单摆，若摆长变为原来的加倍，摆球经过平衡位置时的速度变为原来的“

倍，则单摆（）

B.周期变为原来的4倍

A.周期变为原来的«倍

71n

C.摆动的高度差变为原来的〃2倍D.摆动的高度差变为原来的而倍

2.时钟快慢调节

10.有一个摆钟，周期是2秒，若钟摆从最左边到右再从右到最左边计为一次摆动，则1

分钟内，摆钟摆动次，该钟摆的摆长约米；若摆钟走慢了，要把它调

准，应该怎样政变它的摆长？

答：_____________________________________________________

11.惠更斯利用摆的等时性原理制成了第一座摆钟。如图甲所示为日常生活中我们能见到

的一种摆钟，图乙为摆钟的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动。

在黄山山脚走时准确的摆钟移到黄山山顶（未做其他调整），摆钟摆动变慢了，下列说法正

确的是（）

摆杆

圆盘

螺母

乙

A.黄山山顶的重力加速度较小,若要调准摆钟可将螺母适当向下移动

B.黄山山顶的重力加速度较小，若要调准摆钟可将螺母适当向上移动

C.黄山山顶的重力加速度较大，若要调准摆钟可将螺母适当向下移动

D.黄山山顶的重力加速度较大,若要调准摆钟可将螺母适当向上移动

12.北京和深圳都是中国的一线城市，在地理位置上它们的经度基本上相同，但纬度相差

较大，北京地处北纬39.9度，深圳地处北纬22.6度。现把在北京调准的摆钟移到深圳（设

海拔高度基本相同），则摆钟的振动（）

A.变慢了，要使它恢复准确，应增加摆长

B.变慢了，要使它恢复准确，应缩短摆长

C.变快了，要使它恢复准确，应增加摆长

D.变快了，要使它恢复准确，应缩短摆长

13.在淄博走时准确的摆钟，被考察队员带到珠穆朗玛峰的顶端，则这个摆钟（）

A.变慢了，重新校准应减小摆长B.变慢了，重新校准应增大摆长

C.变快了，重新校准应减小摆长D.变快了，重新校准应增大摆长

3.等效单摆（等效摆长、等效重力加速度）

14.如图所示，小球在半径为R的光滑球面上的A、2之间作小角度的往返运动，则

（）

O

/\\

/R\

A.小球的质量越大，其振动的频率越大

B.球面半径R越大，小球振动的频率越小

C.04、之间夹角越小，小球振动的频率越小

D.将整个装置移至正在加速上升的电梯中，小球振动的频率减小

15.如图所示，光滑圆槽固定在水平面上，。点为圆心，C点为最低点。甲球从A点由静

止释放，同时从。点由静止释放乙球，甲球在A、2之间摆动，光滑圆槽的半径R远大于

甲球运动的弧长。甲球、乙球均可视为质点，当乙球运动到C点时，甲球（）

乙

A.在C点B.在B点C.在8、C之间D.在4C之间

16.如图所示，在水平面上固定一光滑圆弧形槽，。点是圆弧形槽的最低点.圆弧形槽的

半径远大于图中的弧长。两个质量不同、均可看作质点的小球A、B,从图中离O点远近

不同的位置同时由静止释放，下列说法正确的是（）

A.小球A先到达。点

B.小球B先到达。点出

C.两小球同时到达。点

D.因不确定两球的质量，所以无法判断谁先到达。点0

17.做单摆实验时，小球可能在水平面内做圆周运动形成圆锥摆。为避免单摆做圆锥摆引

起的误差，可采用双线摆代替单摆来改进实验装置。如图所示，两根线的一端都系在小球

的同一点，另一端分别固定在天花板上，两根线的长度均为/、与竖直方向的夹角均为仇

小球的直径为％重力加速度为g。现将小球垂直纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个

很小的角度后由静止释放，若不计空气阻力，下列说法正确的是（）

A.若单摆做圆锥摆运动，其做圆锥摆运动的周期小于单摆的周期

B.这个双线摆的摆长为/+'A

ICOS6T——

这个双线摆的周期为2万2

D.图中双线摆的。角越小越好

E.小球宜采用密度大的铅球或者铁球

18.如图所示，三根长度均为的绳//、12、〃共同系住一密度均匀的小球相，球的直径为

d（d«lo）,绳b、〃与天花板的夹角a=30。。则：

（1）若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期。为多少？

（2）若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期乃又为多少？

19.如图所示，三根细线于O点处打结，A、8两端固定在同一水平面上相距为L的两点

上，使AOB成直角三角形，ZBAO=30\已知OC线长是L下端C点系着一个小球（忽

略小球半径），下面说法正确的是（）

A.让小球在纸面内摆动，周期T=2%

让小球在垂直纸面方向摆动，周期7=2巴俘

B.

V2g

C.让小球在纸面内摆动，周期7=2巴修

V2g

D.让小球在垂直纸面内摆动，周期T=

20.“单摆”是一种理想化模型，如图所示，为/轻绳下端拴着一个可视为质点的小球，上

端固定放在倾角为。的光滑斜面上，这个装置也可以等效为“单摆”，当摆球在斜面所在的

平面内做小摆角振动时的周期为（）

21.如图所示，将摆长为L的单摆放在一升降机中，若升降机以加速度a向上匀加速运

动,当地的重力加速度为g,则单摆的摆动周期为（）

A.

C.

22.一个单摆挂在电梯内，发现单摆的周期增大为原来的2倍，可见电梯在做加速度运

动，加速度2为（）

A.方向向上，大小为日B,方向向上，大小为当

24

C.方向向下，大小为与D.方向向下，大小为学

44

23.如图所示为相同的小球（可看作质点）构成的单摆，所有的绳子长度都相同，在不同

的条件下的周期分别4、T…L，关于周期大小关系的判断，正确的是（）

A.T1>T2>Ti>T4B.T4<Tl=T3<T2

C.TQT'f"D.zy<?;

24.如图所示，几个摆长相同的单摆，它们在不同条件下的周期分别为人、刀、13、T4,

关于周期大小关系的判断，正确的是（）

八

a

图3图4

B.7]<(<4<7；

C.工<5=4<4D.—TH

25.如图所示，房顶上固定一根长2.5m的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下，细线下端系了一个

小球（可视为质点），打开窗子，让小球在直于窗子的竖直平面内小幅摆动，窗上沿到房顶

的高度为L6m,不计空气阻力，g取lOm/s?,则小球完成一次全振动的时间为（）

A.0.27TSB.0.4%sC.0.6TOD.0.8^s

26.如图所示，长度为乙的轻绳上端固定在。点，下端系一小球（小球可以看成质点）。

在。点正下方的P点固定一颗小钉子。现将小球拉到点A处，轻绳被拉直，然后由静止释

放小球。点B是小球运动的最低位置，点C（图中未标出）是小球能够到达的左方最高位

置。已知点A与点2之间的高度差为〃，h<L.A、B、P、O在同一竖直平面内。小球第

一次从A点到B点所用时间为％,小球第一次从B点到C点所用时间为々，已知4=2tl，

。4、PC与之间的夹角很小。则0P的长度为（）

4455

27.如图，长为/的细绳下方悬挂一小球外绳的另一端固定在天花板上O点处，在。点

3

正下方:/的。处有一固定细铁钉.将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度（约

为2。）后由静止释放，并从释放时开始计时.当小球。摆至最低位置时，细绳会受到铁钉

的阻挡.设小球相对于其平衡位置的水平位移为无，向右为正.下列图像中，能描述小球

在开始一个周期内的x-t关系的是.

28.某同学利用频闪照相的方法研究单摆的运动过程，将摆球从左侧最高点A由静止释放

同时开始拍摄，每隔相同时间曝光一次，得到的照片如图所示.已知。为悬点，C为最低

点,。、C之间的。点有一可挡住摆线的钉子。对照片进行分析可知在摆球从A经C到3

的过程中（）

A.摆球经过C点前后瞬间角速度大小不变

B.摆球经过C点后瞬间绳中拉力变大

C.摆球经过C点后瞬间向心加速度不变

D.摆球在A、8两点受到摆线的拉力大小相等

29.某小组利用频闪照相的方法研究单摆的运动过程，即用在同一张底片上多次曝光的方

法，在远处从与单摆摆动平面垂直的视角拍摄单摆在摆动过程中的多个位置的照片。从摆

球离开左侧最高点4时开始，每隔相同时间曝光一次，得到了一张记录摆球从A位置由静

止运动到右侧最高点8的照片，如图所示，其中摆球运动到最低点O时摆线被一把刻度尺

挡住。对照片进行分析可知（）

A.A和B位置等高，说明摆球在运动过程中机械能守恒

B.摆球在A点的所受合力大小大于在2点的合力

C.摆球经过。点前后瞬间加速度大小不变

D.摆球经过O点前后瞬间角速度大小不变

E.摆球从A点到O点的过程中重力做功的功率，等于摆球从O点到B点的过程中克服重

力做功的功率

F.在。点附近摆球相邻位置的间隔较大，说明其在O点附近相邻位置间的运动时间较长

G.小球在A点受绳的拉力大小小于其在2点受绳的拉力

30.有一摆长为L的单摆，其悬点正下方某处有一小钉，摆球经过平衡位置向左摆动时，

摆线的上部被小钉挡住，使摆长发生变化。现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M

运动到左边最高点N的频闪照片如图所示（悬点与小钉未被摄入）。P为摆动中的最低点，

已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点间的距离为（）

D.无法确定

4.单摆与天体运动结合

31.在地球上一个周期为1s的单摆被宇航员带到了一个未知星球，发现这个单摆的周期

成为2s,那么这个星球的表面重力加速度是地球表面重力加速度的关系为（）

A.四分之一B.一半C.两倍D.4倍

32.已知地球半径为R,一单摆在山脚下（处于海平面高度）的周期为T,将该单摆移到

高为〃的山顶，其周期T'变为（）

33.2021年5月15日，中国自主研发的火星探测器“天问一号”成功着陆火星。已知在火

星表面一摆长为L的单摆完成“次全振动所用的时间为t,探测器在离开火星表面返回

时，在离火星表面高度为h的圆轨道以速度v绕其运行一周所用时间为兀已知引力常量

为G,火星可视为匀质球体，则火星的密度为（）

.6//L6/L6n27t2L

A.—--------------B.----7C.—z--------------D.--------

22

Gt\vT-2^h）GTG广（vT-2兀h）GTvt

34.假如宇航员在月球上测得摆长为/的单摆做小振幅振动的周期为T,将月球视为密度

均匀、半径为r的球体，则月球的密度为（）

7il341-167rl3兀1

A.-------7B.-----7C.-------7D.--------7

3GrT2GrT23GrT216GrT2

35.一只单摆，在第一个星球表面上的振动周期为人，在第二个星球表面上的振动周期为

心。若这两个星球的质量之比Mi：知2=4:1,半径之比尺：&=2:1,则工：心等于（）

A.1:1B.2:1C.4:1D.8:1

36.在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同点，进一步推

测未知现象的特性和规律。法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引问题时，曾将扭秤的

振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系。已知单摆摆

长为/,引力常量为G,地球的质量为摆球到地心的距离为r,则单摆振动周期T与距

离r的关系式为（）

37.单摆在不同高度处做简谐运动的周期是不同的。摆长为乙的单摆，在海平面处做简谐

运动的周期为T。；在海拔高度为九的高山山顶做简谐运动的周期为4；在运行轨道高度为

也的空间站做简谐运动的周期为右。地球可视为半径为R质量为M的均匀球体，万有引

力常量为G。则下列说法正确的是（）

D.T2=2zr（R+/z,）

38.如图所示，在细绳一端拴上一个小球，另一端固定在悬点。上，组成摆长为L的单

摆。若某星球的半径为地球半径的星球的质量为地球质量的!，地球表面的重力加速

z9

度为g。

（1）求该星球表面的重力加速度大小；

（2）将单摆系统置于该星球表面，求单摆完成10个全振动所需的时间。

//////////////

39.地球表面周期是2s的单摆叫做秒摆。取地球表面的重力加速度g=10m/s2,K2=10O

（1）求秒摆的摆长；

（2）已知月球上的自由落体加速度为：g，=1.6m/s2,求地球上的秒摆在月球表面的振动周

期。

【答案解析】

L【答案】B

【解析】

AB.单摆做简谐运动的回复力由重力沿摆球运动轨迹切向的分力提供，A错误B正确;

C.在最大位移处，重力势能最大，摆球速度为零，所以动能为零，但是摆线弹力不为

零，C错误；

D.但在平衡位置处，小球处于超重状态，摆线弹力最大，摆球受到的合外力提供向心

力，合力不为零，D错误。

故选B。

2.【答案】D

【解析】

A.单摆的速度越大距平衡位置越近回复力越小，A正确，不符合题意;

B.单摆的周期为

T=-

n

解得

T=2.4s

由公式

解得

/=1.44m

B正确，不符合题意；

C.由公式

月球上的重力加速度较小所以周期变大，c正确，不符合题意;

D.把摆长减小为原来的一半，则

D错误，符合题意。

故选D。

3.【答案】D

【解析】

AB.在最高点时，绳的拉力等于重力的一个分力，此时绳子的拉力小于重力；在最低点的

时候绳的拉力和重力共同提供向心力

F—mg=ma

可得

F=ma+mg

故AB错误；

C.小球所受重力和绳的拉力的合力的切向分力提供单摆做简谐运动的回复力，径向分力

提供向心力，故c错误；

D.月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，根据单摆周期公式T=可知

将该单摆置于月球表面，其摆动周期为及，故D正确。

故选D。

4.【答案】AC

【解析】

A.由于向右摆动为正方向，可知开始计时摆球在A点，A正确；

B.由图乙可知，振动周期为2s,因此振动频率是0.5Hz,B错误；

C.图中P点是摆球从正的最大位移处向平衡位置振动，即向负方向振动，C正确；

D.根据单摆的振动周期公式

可求的单摆的摆长

Z=lm

D错误。

故选AC„

5.【答案】B

【解析】

A.因为在最低点时，传感器拉力最大，最高点时，传感器拉力最小，由图像可知，U0时

刻小球处在最低点，？=2s时小球再次处于最低点，所以小球振动周期为4s,故A错误；

BD.由于动能、重力势能均是标量，故单摆一个周期内它们发生了两个周期，即小球动能

变化的周期和重力势能变化的周期均为2s,故B正确，D错误；

C.由于速度是矢量，所以单摆振动一个周期小球速度变化了一个周期，故小球速度变化

的周期为4s,故C错误。

故选B。

6.【答案】C

【解析】

A.在沙漏摆动的速度小时堆积的细砂多，沙漏摆动速度大时堆积的细砂少，故A错误;

B.沙摆的周期为

T=2=H

v2v

由单摆周期公式

L

T=2万

g

解得沙摆对应的摆长

gs2

L=

16^2V2

故B错误；

C.沙摆的周期不变，仅将手拉木板的速度增大为2v,在沙摆一个周期内木板运动的位移

是原来的2倍，故C正确；

D.仅增大沙摆的摆长，则沙摆的周期变大，则木板上仍将得到与图乙不相同的图样，图

象比图乙的少，故D错误。

故选C。

7.【答案】BC

【解析】

AB.当甲摆振动4次的同时，乙摆振动5次，故甲、乙两摆振动频率之比为4：5,甲乙

两摆的周期比5：4.,故A错误；B正确;

CD.根据

T=2兀

g

甲乙两摆所在地域重力加速度之比为16:25,故C正确，D错误。

故选BCo

8.【答案】AC

【解析】

A.单摆甲的振幅10cm比单摆乙的振幅7cm大，A正确;

B.单摆甲的周期等于单摆乙的周期，周期都是2.0s,B错误;

C.根据T=2乃J],周期T相等，g相同，单摆甲的摆长等于单摆乙的摆长，C正确；

D./=0.5s时，甲的位移等于零，在平衡位置，速度最大；单摆乙的位移为负最大，在最大

位移处，速度等于零，所以单摆甲速率大于单摆乙的速率，D错误。

故选AC。

9.【答案】C

【解析】

AB.由单摆周期公式T=2万可知，当摆长变为原来的加倍时，周期为

T==际T

周期变为原来的赤倍，AB错误;

CD.从平衡位置到最高点应用动能定理可得

12

—mgh=0-—mv

解得

所以当摆球经过平衡位置时的速度变为原来的〃倍时，摆动的高度差变为原来的〃2倍，C

正确，D错误。

故选C。

10.【答案】301摆钟慢了，可以调短它的摆长

【解析】

口]摆钟周期是2秒，则一分钟摆钟摆动30次。

⑵摆长用公式算

T=2兀

g

得

/=lm

[3]在地球上，单摆的摆动的频率和摆长有关，摆长短频率快，摆长长，则频率慢。摆钟走

慢，则说明周期T偏大，为了让周期变小，可以调短钟摆的摆长。

n.【答案】B

【解析】

由题意可知摆钟由黄山山脚移到黄山山顶时周期变大，根据单摆周期公式

L

T=2TI

g

可知山顶的重力加速度较小，为调准摆钟，使摆钟的周期适当变短，需要适当增大摆长,

应将螺母适当向上移动。

故选B。

12.【答案】B

【解析】

北京的重力加速度大于深圳的重力加速度，则把在北京调准的摆钟移到深圳，根据

L

7=2万

g

可知，周期变大，则摆钟的振动变慢了；要使它恢复准确，应缩短摆长。

故选B。

13.【答案】A

【解析】

根据单摆周期公式

7

在淄博走时准确的摆钟，被考查队员带到珠穆朗玛峰的顶端，重力加速度g变小，周期T

变大，所以摆钟变慢了，为了使T变回原来的值，需要重新校准，应减小摆长心

故选A„

14.【答案】B

【解析】

ABC.由于小球在半径为R的光滑球面上的A、8之间作小角度的往返运动，所以小球的

运动可以视为简谐运动，小球振动周期

则小球振动的频率为

T2兀7R

可见小球振动的频率只与g和R有关，在同一地点R越大，小球振动的频率越小，小球振

动的频率与。4、之间夹角无关，AC错误，B正确；

D.将整个装置移至正在加速上升的电梯中，小球处于超重状态，其等效重力加速度大于

g,则小球振动的频率减小，D错误。

故选B。

15.【答案】D

【解析】

对于乙球落到C点，根据自由落体运动规律有

解得

对于甲球运动到C点，做简谐运动，其运动周期为

甲球第一次到达点C时运动;周期，则

t乙<而

当乙球运动到C点时，甲球在A、C之间，D正确，ABC错误。

故选D。

16.【答案】C

【解析】

小球的运动为单摆模型，由单摆的周期公式

可知其周期取决于摆长和重力加速度大小，与质量和振幅无关，两小球同时到达O点的时

间是周期的上,同时到达。点。

故选C。

17.【答案】ACE

【解析】

A.若为圆锥摆时，则

mgtan0-m(—)21sin0

解得

/cos6

7=2万

g

小于单摆的周期

选项A正确;

B.这个双线摆的摆长为

L=lcos6-\--

2

选项B错误;

C.这个双线摆的周期为

.八d

ICOS8T——

L2

T=2TT

gg

选项C正确;

D.图中双线摆的8角太小的话，摆动起来越不稳定，选项D错误;

E.小球宜采用密度大的铅球或者铁球，以减小空气阻力的影响，选项E正确。

故选ACEo

18.【答案】(1)2万国土(2)2万泾包

V2gV2g

【解析】

(1)小球在纸面内做小角度的左右摆动，相当于以。'为悬点做简谐运动，摆长为

…d

l=lo~^—

2

振动的周期为

32飞=2兀

(2)小球做垂直于纸面的小角度摆动，相当于以。为悬点做简谐运动，摆长为

Z-/o+Zosina+—

振动周期为

72=2兀JL=2%ln+Z„sino+-八

0°2=2兀

ug

19.【答案】AD

【解析】

当小球在纸面内做小角度的振动时，圆心时。点，摆长为L,故周期为

当小球在垂直纸面方向做小角度振动时，圆心在墙壁上且在0正上方，摆长为

故周期为

故选AD。

20.【答案】C

【解析】

在斜面上，根据牛顿第二定律可知，沿斜面向下的加速度为。=gsin6,所以单摆的周期为

ABD错误C正确.

21.【答案】D

【解析】

单摆的平衡位置在竖直位置，若摆球相对升降机静止，则摆球受重力mg和绳的拉力F,

根据牛顿第二定律有

F—mg=ma

此时摆球的视重

mg'=F=mCg+a)

所以单摆的等效重力加速度

,F.、

g=—=（g+。）

m

因而单摆的周期为

L

T=2%

g+a

故D正确，ABC错误。

故选D。

22.【答案】D

【解析】

由7=2巴［可知，周期增大为原来的2倍.等效重力加速度g'=?.设绳子拉力为E由

\g4

F-mg^ma,F=mg',上式联立可得“=-芈，则大小为学，方向向下.综上分析，D

44

正确.

23.【答案】C

【解析】

设单摆摆长均为L根据单摆的周期公式可得

£>式=丁3>72

故选C。

24.【答案】D

【解析】

根据周期公式

可知单摆的周期与振幅和摆球质量无关，与摆长和重力加速度有关。题图1中沿斜面的加

速度为

q=gsin。

所以周期

L

Z=2n,

gsin。

题图2中摆球所受的库仑力始终沿摆线方向，回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供,

故摆球的等效重力加速度为

a2=g

所以周期

题图3中的周期

题图4中的等效重力加速度为

a4=g+a

所以周期

故7]><=n>7；,故ABC错误，D正确。

故选D。

25.【答案】D

【解析】

小球做小幅摆动，可认为是做简谐运动，根据单摆周期公式可知，小球在墙体右侧摆动一

次所用时间为

%=3=兀-=O.57ts

2打

小球在墙体左侧摆动一次所用时间为

比心=0.3兀s

g

所以小球完成一次全振动的时间为

1=彳+=0.8jts

故选D。

26.【答案】B

【解析】

由于。4、PC与之间的夹角很小，所以小球从A点到B点和从B点到C点的运动都可

以看作是单摆运动，根据单摆周期公式7=2》［有

tx=2t2

所以

13

PB=-L,OP=L-PB=-L

44

选项ACD错误，B正确。

故选B。

27.【答案】A

【解析】

由得：丁尸2兀*,72=2兀，=式卷=如,

故BD错误；

x=2/•sin—,x=2Z-sin—=2—-sin—=--sin—

2224222

2C17si.n—e4人s.in」a

土=_____2_=_2_

xi.e.%

2一•sin—sin'

222

由能量守恒定律可知，小球先后摆起得最大高度相同，故l-lcosOi=--------cos0-,

44

..0,

0°4sin—

根据数学规律可得：sinM=2sin?故&=—系=2,即第一次振幅是第二次振幅得2

22%豆/

2

倍,故A正确，C错误.

28.【答案】B

【解析】

A.摆球经过C点前后线速度不变，但半径发生了变化，根据。=；可知，角速度发生了变

化，故A错误；

B.在C点根据牛顿第二定律有

TV

1-mg=m—

r

可得绳上拉力

7=mg+m—

r

摆球经过。点后运动半径变小，则绳中拉力变大，故B正确；

C.根据。=正可知，摆球经过C点后瞬间线速度大小不变，运动半径变小，向心加速度

r

变大，故c错误；

D.摆球在A、8两点速度都为零，摆线与竖直方向的夹角不同，受到摆线的拉力为

F=mgcos0,因此大小不相等，故D错误。

故选B。

29.【答案】A

【解析】

A.A和B位置等高，说明摆球在运动过程中机械能守恒，A正确；

B.在A点处所受合力大小

FA=mgsin久

而在B点处所受合力大小

居=mgsin%

其中“、为是轨迹的切线与水平方向夹角，由于A、3两点高度相同，因此

/A(1-COS6>A)=ZB(1-COS6>B)

由于

，A>4

可得

“<%

因此

'FA、<F'B

B错误;

C.摆球经过o点前后瞬间速度大小不变，根据

可知经过。点后，运动半径减小，因此加速度变大，c错误；

D.根据

v

O-——

R

因此经过O点后半径变小角速度变大，D错误；

F.在。点附近摆球相邻位置的间隔较大，说明其在。点附近相邻位置间的运动速度较

大，时间间隔相等，F错误；

G.小球在A点受到拉力为

品=mgcos0A

小球在2点受到拉力为

TB=mgcos

由于

因此

TA>TB

G错误。

故选Ao

30.【答案】C

【解析】

设每相邻两次闪光的时间间隔为t,则摆长为L时单摆摆动的周期为

工=4x4r=16f

摆长为2/时单摆摆动的周期为

T,=4x2?=8?

所以

Ti：72=2：1

又因为

故可得

L'=-L

4

所以小钉与悬点间的距离为

3

=L-L'=-L

S4

故选C。

31.【答案】A

【解析】

根据

则

故选Ao

32.【答案】C

【解析】

设单摆的摆长为/,地球的质量为根据万有引力定律等于重力，在海平面上满足

根g=G铲

在山顶上满足

所以海平面的重力加速度和高度为h山顶上的重力加速度之比为

g(R+/Q2

g'一R2

根据单摆的周期公式

可知，在海平面有

7=27

在山顶上有

「二2$

联立解得

T,=^±AT

R

故选c。

33.【答案】A

【解析】

根据单摆的周期公式得

工=2%,

几Ng

根据黄金代换式

—Mm

mg=G-

根据圆周运动得

2%（H+/z）

'—T

根据密度公式

4.

M=p-7iR3