一元二次方程、不等式课件-2025届高三数学一轮复习

第一章集合、常用逻辑用语、不等式第5课时一元二次方程、不等式考试要求能从实际情景中抽象出一元二次不等式.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.链接教材夯基固本第5课时一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

提醒：解集的端点是二次函数的零点，也是对应一元二次方程的根．判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集___________________Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集____________________{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}∅∅

√

√

××二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P53练习T1改编)不等式(x－1)(x－3)>0的解集为(

)A．{x|x<1}

B．{x|x>3}

C．{x|x<1或x>3}

D．{x|1<x<3}C

[由方程(x－1)(x－3)＝0，可得方程的两根为x1＝1，x2＝3，结合一元二次不等式的解法，可得不等式(x－1)(x－3)>0的解集为{x|x<1或x>3}，故选C.]

3．(人教A版必修第一册P58复习参考题2T6改编)若不等式ax2＋ax＋a＋3≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．

{a|a≥0}[1，5)典例精研核心考点第5课时一元二次方程、不等式

(－∞，4)∪[8，＋∞){x|－2≤x<－1或2<x≤3}名师点评

解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式的解集为R或∅)．(3)求：求出对应的一元二次方程的根(解集的端点对应方程的根)．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．

考点二含参数的一元二次不等式的解法[典例2]解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．

[拓展变式]在本例中，把“a>0”改成“a∈R”，解不等式．

名师点评

解含参数的一元二次不等式的步骤[跟进训练]2．解关于x的不等式x2＋ax＋1＜0(a∈R)．

考点三一元二次不等式恒成立问题[典例3]

(1)若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，2]

B．(－∞，－2)C．(－2，2)

D．(－2，2](2)若不等式ax2－x＋a>0对任意的x∈(1，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为___________．

(3)若∀a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0恒成立，则实数x的取值范围为_________________．

[拓展变式]本例(2)变为：若x∈[m，m＋1]时，满足x2＋mx－1<0，求实数m的取值范围．

名师点评恒成立问题求参数的取值范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的取值范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别