初中数学竞赛专家讲座：与圆有关的几何问题

目录

第1讲圆的性质........................................................................2

第2讲图形的旋转与翻滚..............................................................10

第3讲转化灵活的圆中角...............................................................19

第4讲与圆有关的计算.................................................................25

第5讲直线与圆.......................................................................32

第6讲圆与圆.........................................................................38

第7讲圆哥定理.......................................................................46

第8讲三角形的心....................................................................53

第9讲四点共圆.......................................................................59

第10讲几何定值......................................................................66

第11讲几何最值......................................................................74

1

第1讲圆的性质

范例精讲

例1如图1-1所示，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半

径为（）

图1-1

A/5

A.V2D.-------

2i。・平

例2如图1-2所示，正方形ABC。内接于。。，点P在劣弧A3上，连接。尸，交AC于点0,若

QP=QO,则”的值为（

)

QA

图1-2

A.26-1B.2A/3C.0D.V3+2

例3如图1-3所示，梯形ABCD的两条对角线相交于点K,分别以梯形的两腰为直径各作一圆,

现知点K位于这两个圆之外，求证：由点K向这两个圆所作的切线长度相等.

图1-3

例4如图1-4所示，A8是。。的直径，是。。的切线，0c平行于弦AD过点。作。E_L43

2

于点E,连接AC,与。E交于点P.问：EP与是否相等？证明你的结论.

图1-4

例5如图1-5所示，四边形ABC。的四顶点在同一圆上，另一圆的圆心。在边A2上，且与其余三

边相切，求证：AD+BC=AB.

图1-5

例6设NA是△ABC中最小的内角，点2和点C将这个三角形的外接圆分成两段弧，设U是落在

不含A的那段弧上且不同于8和C的一个点，线段和AC的垂直平分线交线段AU于V和W,

直线8v和CW相交于T,求证：AU=TB+TC.

图1-6

例7如图1-7所示，点尸为。。外一点，过点P作。。的两条切线，切点分别为A,B.过点

A作P8的平行线，交。。于点C.连接PC,交。。于点E；连接AE,并延长AE交尸8于点K,求

证：PE-AC=CE-KB.

3

p

图1-7

赛题训练

1.如图1-8所示，点A在半径为20的圆。上，以。4为一条对角线作矩形02AC,设直线BC交圆

O于。，E两点，若OC=12,则线段CE,8。的长度差是

2.已知。。的半径为R,C,。是直径4B同侧圆周上的两点，AC的度数为96°,8。的度数为

36°,动点尸在A8上，则CP+尸。的最小值为.

3.给定正七边形4友…47,求证：——

A4AAAAt

4.如图1-9所示，在中心为。的圆周上有点A,B.点P在劣弧AB上，点0与P关于直线。1对

称，点R与P关于直线。2对称，P是线段AR与2。的交点，求证：点尸与P关于直线AB对称.

图1-9

4

5.如图1-10所示，A,B,C,。顺次在。。上，AB=BD,8M_LAC于求证：AM=DC+CM.

图1-10

6.如图1-11所示，四边形ABCD外接圆。。的半径为2,对角线AC与8。的交点为E,又知AE=EC,

AB=-j2AE,且加）=2百，求四边形的面积.

图1-11

7.如图1-12所示，。。中两条互相垂直的弦AB和的弦心距分别是3和2,它们将。。分为四

部分：Si，S2,S3,S4,求（Si+N）-（S2+S4）.

C

图1-12

8.已知弦CD垂直于。。的直径AB,工为垂足，弦AE平分半径OC于H,如图1-13所示，求证:

弦DE平分弦BC于M.

图1-13

5

9.已知圆周被其上两定点A,8（A不同于8）分为两段弧，试指出弧上的动点P在指定弧的哪个

位置时，B4+PB最大？证明你的结论并求出最大值.

10.如图1-14所示，OC通过原点，并与坐标轴分别交于A,D两点.已知/。54=30°,点。的

坐标为（。，2）,求点A,C的坐标.

图1-14

11.如图1-15所示，周长为28的长方形ABC。，以A为圆心，AO为半径画弧交AB于4,以8为

圆心，24为半径画弧交8C于4,以此类推，即依次以C,D,A,8为圆心，用同样的方法画出

弧，分别得交点4,A4,A5,As，点4与点C重合，求长方形的长和宽.

图1-15

12.如图1-16所示，以△ACB的边8C为直径作半圆，与AB,AC分别交于点D和E,过。，E作

BC的垂线，垂足分别为RG,线段。G,EF交于M,求证：AM1BC.

图1-16

13.如图1-17所示，在圆周内部有一凸四边形，其边的延长线交圆周于点4,A2,BI，&,Ci,C2,

Di，D2,求证：若4出2=392=（?1£>2=。的2,则由直线A1A2,BB,C1C2,P。所围成的四边形是圆

6

内接四边形.

图1-17

14.如图1-18所示，AB是。。的一条弦，C是劣弧A3上的一个动点（点C与点A,8及AB的中

点均不重合），作直径CD,交A8于点尸.作CE_LA8于E,于尸.设DF-CE=a,则a值是

否随点C的移动而改变？若不改变，请加以证明；若改变，请说明理由.

图1-18

15.如图1-19所示，圆内接六边形4BC。）满足AB=CD=ER且对角线AD,BE,CF相交于

点。，设与CE的交点为P.求证:

⑴空=必

EDEC

CPAC2

(2)—=

PECE.2

图1-19

16.如图1-20所示，。。是△A8C的外接圆，O为劣弧BC的中点，〃为劣弧A8的中点，连

接CH交48于E,连接AD交CH于点G,延长CH到点M,使MH=HG,延长DA到K,使AK=AG,

CA的延长线交MK于点R求证：

7

(1)NMGK=/MKG.

(2)ME=MF.

图1-20

17.如图1-21所示，在以。为圆心的圆中，弦C£＞垂直于直径A8,垂足为H,弦BE与半径OC相

交于点R且。尸=FC,弦。E与弦AC相交于点G.

(1)求证：AG=GC.

(2)若AG=百，AH：AB=］：3,求△COG的面积与△BOE的面积.

图1-21

18.如图1-22所示，四边形A2C£＞为正方形，。。过正方形的顶点A和对角线的交点尸，分别交

AB,A。于点P,E.

(1)求证：DE=AF.

(2)若。。的半径为走，AB=V2+1,求出的值.

2ED

图1-22

19.如图1-23所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,1),8为y轴负半轴上的动点，以

线段A8为边作菱形A8C。(允许在y轴的任意一侧)，使其对角线的交点/恰好落在无轴上，设点

D的横坐标为x,纵坐标为y.

8

（1）求y关于尤的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.

（2）设P是（1）中函数图像上的动点，Q（0,力是定点，如果存在一条平行于无轴的直线/,使

得/被以线段PQ为直径的圆截得的弦长始终为定值，求实数f的取值范围.

图1-23

20.已知直线/与。。交于不同的两点E,R是。。的直径，CAL,DBLI,垂足分别为A,B.若

AB=7,BD-AC=1,AE=1.试问：在线段A3上是否存在点P,使得以点P,A,C为顶点的三角形与

点P,B,。为顶点的三角形相似？若存在,求出AP的长；若不存在，请说明理由.

9

第2讲图形的旋转与翻滚

赛点归纳

例1如图2-1所示，尸是等边△ABC内部一点，NAPB,ZBPC,NCB4的大小之比是5：6：7,

则以B4,PB,PC为边的三角形的三个角的大小（从小到大）之比是（）

图2-1

A.2：3：4B.3：4：5C.4：5：6D.不确定

例2如图2-2所示，在等腰放△ACB的斜边A8上取两点M使NMCN=45°,记

BN=n,则以线段无，加，〃为边长的三角形的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.随x,m,“的变化而

例3如图2-3所示，正方形ABC。内一动点E到A,B,C三点的距离之和的最小值为虚+遥,

求此正方形的边长.

图2-3

10

例4如图2-5所示，圆紧贴着全长为30厘米、有直角弯的直线从一端滚动到另一端(没有离开也

没有滑动)，在圆周上设一个定点P,点P在圆开始滚动时接触到直线，当圆停止滚动时也正好接触

到直线，而圆在开始滚动后到停止前点尸没有再接触直线.问：圆的半径是多少厘米？(设圆周率

为3.14,除不尽时，四舍五入保留小数点后两位.如有多种答案请全部写出.)

例5如图2-7所示，在△ABC中，ZA的平分线为AD,M为8C的中点,求证:BE=CF=-

2

(A8+AC).

图2-7

例6如图2-8(1)所示，点。为等边AABC的内心，直线机过点。，过A,B,C三点分别作直

线机的垂线，垂足分别为点。，E,F.

当直线机与平行时，如图2-8(1)所示，易证8E+CF=AD.

当直线机绕点。旋转到与不平行时，在图2-8(2)、图2-8(3)所示这两种情况下，上述

结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段ADBE,CF之间又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想,不需证明.

⑴

11

例7如图2-9所示，△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,。是△ABC内一点，点。到AABC

各边的距离都等于1.将△ABC绕点。顺时针旋转45°,得△ASG，两三角形公共部分为多边形

KLMNPQ.

(1)求证：△AK3△BMN,都是等腰直角三角形.

(2)求△ABC与△ASG公共部分的面积.

图2-9

赛题训练

1.如图2-10所示，在四边形ABC。中，AD=DC,ZADC=ZABC=9Q°,DELAB于E.若四边形

ABCD的面积为8,则。E的长为()

A.2B.2忘C.3D.372

2.如图2-11所示，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形A8C。的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,

-1),C(-2,-1),D(-1,1).y轴上一点尸(0,2)绕点A旋转180°得点B，点Pi绕点8旋转

180°得点尸2,点P2绕点C旋转180°得到尸3,点尸3绕点。旋转180°得点为……重复操作依次得

至！J尸1,尸2,…，尸2010,则点22010的坐标是()

A.(2010,2)B.(2010,-2)C.(2012,-2)D.(0,2)

3.如图2-12所示，△ABC的边长为6,8,10,一个以点尸为圆心且半径为1的圆在其内部滚动，

且总是与△A2C的边相切.当点P第一次回到它原来的位置时，点P走过的长度是()

A.10B.12C.14D.15

4.在一个圆形时钟的表面，表示秒针，表示分针(。为两针的旋转中心).若现在时间恰好

是12点整，则经过秒钟后，的面积第一次达到最大.

5.如图2-13所示，在四边形A8CZ)中，ZA=ZC=90°,AB=AD.若这个四边形的面积为12,则

BC+CD=.

12

段BA绕点B顺时针旋转90。得到线段&V,则点4的坐标是

7.如图2-15所示，在五边形ABCDE中，BC=4,CD=4-AB,AE=DE=6,AE1AB,DEYCD,则此

五边形的面积为.

8.1个圆做滚动运动如图2-16所示，它从A位置开始，滚过与它相同的其他6个圆的上部，到达B

位置，则该圆共滚过__________圈.

图2-16

9.设正△ABC的边长为a,将AABC绕它的中心（正△ABC外接圆的圆心）旋转60°得到对应的

△A'B'C,则A,8两点间的距离为.

10.已知。是正△ABC内的一点，NAOB,ZBOC,NAOC的角度之比为6：5：4,则在以04,

OB,0c为边的三角形中，此三角形所对的角度之比为.

11.已知正方形ABCD的边长为1,P,。是其内两点，且NB4Q=/尸CQ=45°,求SAMB+SAPC°+SA

QAD的值.

13

12.如图2-17所示，在放△ABC中，ZBAC=60°,AB=2AC,点P在△ABC内，且E4=JLPB=5,

PC=2,求△ABC的面积.

13.如图2-18所示，在矩形A3CZ）中，BC=6厘米，48=10厘米，AC和BD是对角线.图中的阴影

部分以8为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（万取3.14.）

14.如图2-19所示，在六边形AC1BA1CB1中，ACi=ABi，BC^BAi，CAi=CBi，ZA+ZB+ZC=ZAi+

求证：ZVIBC的面积是六边形ACiBACBi的面积的一半.

15.如图2-20所示，ZC=90°,在放△ABC中，ZA=30°,在△△ABC中，ZC4'B'=45°，点

A,B分别在线段AC,B1C±.将△ANC绕直角顶点C顺时针旋转一个锐角。时，边A3分别交

AB,AC于点尸，Q,且△AP。为等腰三角形，求锐角。的度数.

14

16.如图2-21所示，等边△AB2的边长a=也5+12陋,点P是△ABC内一点，MP^+PB^PC2,

若PC=5,求抬，尸3的长.

图2-21

17.如图2-22所示，等腰梯形MNPQ的上底长为2,腰长为3,一个底角为60°,正方形ABC。的

边长为1,它的一边在上，且顶点A与M重合，现将正方形A8CZ）在梯形的外面沿边MN,

NP,尸。进行翻滚，翻滚到有一个顶点与。重合即停止滚动.

图2-22

（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图.

（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNP。的三边MN,NP,PQ所围成的图

形的面积S.

15

18.如图2-23所示，。。沿着凸〃边形A1AM3…的外侧(圆和边相切)作无滑动地滚动一周

后回到原来的位置.

(1)当。。和凸w边形的周长相等时，求证：。。自身转动了两圈.

(2)当。。的周长是a,凸w边形的周长是6时，请写出此时。。自身转动的圈数.

19.如图2-24(1)所示，小慧同学把一个正三角形纸片(即△048)放在直线/i上，边与直线

/i重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°,此时点。运动到了点5处，点8

运动到了点Bi处；小慧又将三角形纸片4。向绕点Bi按顺时针方向旋转120°,此时点A运动到了

点4处，点。1运动到了点仍处(即顶点。经过上述两次旋转到达仍处).

小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点。的运动轨迹是两段圆弧，即和

002,顶点。所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线/i围成的图形面积等

于扇形AOOi、△AOiBi和扇形81。1。2的面积之和.

小慧进行类比研究：如图2-24(2)所示，她把边长为1的正方形纸片0ABe放在直线L上，

OA边与直线L重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90。，此时点。运动到了点

Oi处(即点B处)，点C运动到了点Ci处，点8运动到了点Bi处；小慧又将正方形纸片AO1G81

绕顶点S按顺时针方向旋转90。……按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：

问题①：若正方形纸片0ABe按上述方法经过3次旋转，求顶点。经过的路程，并求顶点。在

此运动过程中所形成的轨迹与直线h围成的图形面积；若正方形纸片0nBe按上述方法经过5次旋

转，求顶点。经过的路程.

16

问题②：正方形纸片。板按上述方法经过多少次旋转，顶点。经过的路程是"1万？

20.如图2-25(1)至(5)所示，。。均作无滑动地滚动，。01,。。2,。。3，。。4均表示。。与

线段或相切于端点时刻的位置，。。的周长为C.

阅读理解

(1)如图2-25(1)所示，。。从。。1的位置出发，沿A8滚动到。。2的位置，当A8=c时.。

。恰好自转1周.

(2)如图2-25(2)所示，N4BC相邻的补角是,。。在/ABC外部沿4RC滚动，在点

B处,必须由。。1的位置旋转到。。2的位置，。。绕点B旋转的角/。/。2="°,。。在点2处自

实践应用

(1)在阅读理解的(1)中，若AB=2c,则。。自转周；若AB=/,则。。自转周.在

阅读理解的(2)中，若NA8C=120°,则。。在点3处自转周；若/ABC=60°,则。

。在点B处自转周.

(2)如图2-25(3)所示，ZABC=90°,AB=BC=-c.。。从。01的位置出发，在NABC外

2

部沿4B-C滚动到。。4的位置，。。自转周.

拓展联想

(1)如图2-25(4)所示，△ABC的周长为/,。。从与AB相切于点。的位置出发，在△ABC

外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与相切于点。的位置，。。自转了多少周？请说明

理由.

17

(2)如图2-25(5)所示，多边形的周长为I,QO从与某边相切于点D的位置出发，在多边

形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点。的位置，直接写出。。自转的周数.

18

第3讲转化灵活的圆中角

范例精讲

例1已知点/是锐角aABC的内心，Al,Bl,C1分别是点/关于边BC,CA,A8的对称点.若点B

在△AbBiG的外接圆上，则N4BC等于（）

图3-1

A.30°B.45°C.60°D.90°

例2已知。是AABC的边AB上的一点，使得AB=3AD,P是△ABC外接圆上一点，使得

.PB占4/土

ZADP^ZACB,求r——的值.

PD

例3如图3-3所示，凸四边形A8CD的对角线AC_LB。，作垂足E关于AB,BC,CD,D4的对称

点尸，Q,R,S,求证：P,Q,R,S四点共圆.

例4如图3-4所示，设/是△ACB的内心，并设△ABC的内切圆与三边BC,CA,48分别相切于

点K,L,M.过B点平行于VK的直线分别交直线LW及LK于点R和S,求证：NR/S是锐角.

19

图3-4

例5如图3-5所示，以△ABC的边AB为直径画圆，与边AC交于与边交于N,已知△ABC

的面积是△CMN的面积的4倍，△ABC中有一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，求△ABC

的三个内角的度数.

图3-5

例6如图3-6所示，AB,AC,AD是。。中的三条弦，点E在上，且求证:

(1)ZCAD=2ZDBE.

(2)AD^-AB^BDDC.

图3-6

赛题训练

1.如图3-8所示，的直径等于等边AABC的边长，等腰△ABC的周长与AABC的周长相同,

且8c与。A相切，那么()

20

BL-------------

图3-8

A.ZB'AC'>120°B.ZB'AC'=120°

C.ZB'AC<12Q°D./8ZC与120°的大小关系不确定

2.如图3-9所示，AB为半圆。的直径，C为半圆上一点，/AOC=60°,点尸在的延长线上，

且PB=BO=3cm.连接PC交半圆于点。，过P作PE±PA交AD的延长线于点E,则PE=cm.

3.如图3-10所示，在△ABC中，ZB=36°,ZACB=128°,NCAB的平分线交BC于M,AABC

的外接圆的切线⑷V交3C的延长线于N,则△A7WW的最小角等于.

4.如图3-11所示，4AM3…4是一个正九边形，AiA2=a,44=6，则44的值为.

N

4A,

图3-9图3-10图3-11

5.已知。。的半径为R,C,£＞是直径A8同侧圆周上的两点，劣弧AC的度数为96°,的度数

为36°,动点P在4B上，贝UCP+尸。的最小值为.

6.如图3-12所示，设N是正九边形，。为其外接圆的圆心，尸。和。R是N的两相邻边，A为PQ

的中点，而B为垂直于QR的圆半径的中点，试求4?与AB的夹角.

给

图3-12

7.如图3-13所示，。。的两条半径OA与互相垂直，C为AmB上的一点，1.AB2+OB-=BC2,

求/OAC的度数.

21

B

8.如图3-14所示，四边形ABC。外接圆。。的半径为2,对角线AC与3。的交点为E,AE=EC,

AB=42,且2£>=26，求四边形ABC。的面积.

9.如图3-15所示，在平行四边形ABCA中，E为对角线8。上一点，且满足/ECD=/ACB,AC的

延长线与△ABD的外接圆交于点尸，求证：ZDFE=ZAFB.

10.如图3-16所示，在。。中，弦CZ）垂直于直径A2,点M为OC的中点，AM的延长线交。。于

点E,DE交BC于点、N,求证：BN=CN.

11.延长给定线段A8至。，8。的长度可任意选定，如图3-17所示，以AO为直径作一个半圆，令

H为它的圆心，G是半圆上一点，使得NA8G是锐角，作£/平行于BG,其中E点使得EH七。=后产,

22

连接出，作BT平行于小，7在半圆上，求证：ZTBG=-ZABG.

3

图3-17

12.如图3-18所示，直径与正AABC的高相等的圆与A8和8C边相切于点。和E,与AC边相交

于点尸和G,求/QEF的度数.

图3-18

13.如图3-19所示，尸，。为锐角△ABC的边BC上的两个不同的点，△A8P和△AC。的外接圆圆

心分别为。1和Q，试判断BOi的延长线与C02的延长线的交点D是否可能在△ABC的外接圆上.请

说明理由.

14.如图3-20所示，直线与。。相交于E,F,所为。。的直径，S.AE=EF=FB,直线AP与

的半径OO垂直于。，求证：ZADE=ZPDB.

23

15.如图3-21所示，半圆圆心为O,直径为AB,一直线交半圆周于点C,D,交A8于点M

AC<MD),设K是△AOC与△DOB的外接圆除点。外的另一交点，求证：NMKO=90°.

图3-21

16.设凸四边形ABCQ的对角线AC,8。的交点为过点M作的平行线分别交AB,C。于E,

F,交BC的延长线于点O,P为以0为圆心.为半径的圆上一点，如图3-22所示,求证：Z

OPF=ZOEP.

图3-22

24

第4讲与圆有关的计算

范例精讲

例1如图4-1所示，。。的半径为2,。。内的点尸到圆心。的距离为1.过点尸的弦A3与劣弧

组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为（）

图4-1

A.二+括B.例+若C.生-有D.包-坦

3333

例2如图4-2所示，0O是RtAABC的内切圆，切点为Q,尸,E,若AF,BE的长度是方程x2-13x+30=0

的两个根，则△ABC的面积是.

图4-2

例3已知直角三角形的边长均为整数，周长为30,求它的外接圆的面积.

例4如图4-3所示，在放△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,其中。5,002,…，。。〃为a

个（〃22）相等的圆，。01与。。2相外切，。。2与。。3相外切，…，。。““与。。”相外切，。。1，

。。2，…，。0“都与A8相切，且。。1与AC相切，。0“与BC相切，求这些等圆的半径r（用”

表示）.

图4-3

25

例5要将三个边长为1cm的正方形放在一个圆碟内，要求这三个正方形不能某部分在碟边以外,

且不能重叠，试问：圆碟的半径至少是多少？

例6如图4-5所示，。。的直径的长是关于x的二次方程炉+2(h2)x+k=Q(左是整数)的最大整

数根.尸是。。外一点，过点尸作。。的切线B4和割线P2C,其中A为切点，点、B,C是割线P2C

与。。的交点，若以，PB,PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求以2+PB2+PC2的值.

图4-5

例7如图4-6所示，在平面直角坐标系中，与x轴相切于点A(-2,0),与y轴交于2,C两

4

点，013的延长线交x轴于点。(―，0),连接AB.

3

(1)求证：ZABOi=ZABO.

(2)设E为优弧AC的中点，连接AC,BE交于点、F,请探求8E•BF的值.

(3)过A,8两点作。&与y轴的正半轴交于点M，与8。的延长线交于点N.如图4-7所示，当

。仍的大小变化时，给出下列两个结论：①的值不变；②BM+8N的值不变.其中有且只有

一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确,证明正确的结论并算出定值.

赛题训练

26

1.房屋地基的周界是正六边形，其周长为P米，面积为S平方米，在距地基周界5米之内的范围内

开辟花园，那么花园连同地基共占地的平方米数为（）

A.S+5pB.S+5p+^^-C.S+5p+25/D.万[光+§]

2.如图4-10所示,若每个圆的直径是4,则阴影区域的面积是（)

A.4—7TB.16-7TC.16—4)D.16—16万

3.如图4-11所示,圆锥的母线。4=6,底面圆的半径为2,一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面

一周又回到点A处，则小虫所走的最短距离为（）

A.12B.41C.672D.6A

4.如图4-12所示，在箭头形的多边形中，ZA,ZC,ZE,NP是直角，BC=FG=5,CD=FE=20,

DE=10,且AB=AG,则多边形的面积最接近于（）

D.300

图4-12

5.如图4-13所示，。01与。。2外切于点A，两圆的一条外公切线与。5相切于点8,若A8与两

圆的另一条外公切线平行，则。。1与。。2的半径之比是（）

A.2：5B.1：2C.1：3D.2：3

6.如图4-14所示，A3为半圆。的直径，C为半圆上一点，且NCQ4=60°.设扇形AOC,ACOB,

弓形8相。的面积分别为Si，S2,S3,则它们之间的大小关系是（）

A.Si<S2<S3B.S2<Si<S3C.Sl<S3<S2D.S3<S2<Si

图4-14

7.如图4-15所示，边长为1的正△ABC,分别以A,B,C为圆心，1为半径作圆，则这三个圆所

覆盖的图形面积为（）

27

图4-15

A.—+A/3B.--73C.—-2A/3D.3万-g

222

8.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸放在桌面上，使它们两两外切，若要用一个大圆形纸片

把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于.

9.某工件的形状如图4-16所示，圆弧2C的度数为60°,4B=6cm,点B与点C的距离等于A8,

ZBAC=30°,则此工件的面积为.

10.如图4-17所示，一条螺旋线按以下方式生成：△。。2。3是等边三角形，边长为1，曲线。3人，

A1A2，4汹3分别为以。2,。3为圆心，。1。3，OM1，03A2为半径的圆弧，曲线。3A1A2A3称为螺

旋线绕。1旋转一圈，然后又以O1为圆心，。区3为半径画圆弧，交。2。1的延长线于4……假设此

螺旋线共绕。旋转2圈，则此螺旋线的长度与圆周率乃的比值为.

11.如图4-18所示，扇形048的半径为2,NAOB为直角，M是以。3为直径的半圆的圆心，MP

//OA,与半圆相交于N点，则图中阴影部分的面积为.

图4-16图4-17图4-18

12.如图