高等数学第五章定积分及其应用

一定积分的概念二定积分的简单性质三定积分的计算四定积分的应用五广义积分和Γ函数章定积分及其应用2021/5/91定积分的演示背景来源——面积的计算！矩形的面积定义为两直角边长度的乘积？一般图形的面积是什么

我们可以用大大小小的矩形将图形不断填充，但闪烁部分永远不可能恰好为矩形，这些“边角余料”无外乎是右图所示的“典型图形”（必要时可旋转）“典型图形”面积的计算问题就产生了定积分2021/5/925.1.1两个实际问题1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积5.1.1定积分的概念2021/5/93解决步骤:1)

分割.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

近似.在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得机动目录上页下页返回结束2021/5/943)求和.4)取极限.令则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束2021/5/95│││││││││││定积分的演示1、分割

将[a，b]分割为n个小区间2、取介点

在每个小区间上任取一点ξi3、局部以直代曲

每个小区间上的曲线y=f(x)用直线段y=f(ξi)代替4、作和：S∆=yx2021/5/96定积分的演示1、分割

将[a，b]分割为n个小区间2、取介点

在每个小区间上任取一点ξi3、局部以直代曲

每个小区间上的曲线y=f(x)用直线段y=f(ξi)代替4、作和：S∆=5、取极限

abyx2021/5/972.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)分割.将它分成在每个小段上物体经2)近似.得已知速度机动目录上页下页返回结束n

个小段过的路程为2021/5/983)求和.4)取极限.上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”

所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限机动目录上页下页返回结束2021/5/995.1.2定积分概念任一种分法任取总趋于确定的极限

I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称

f(x)在[a,b]上可积

.记作机动目录上页下页返回结束2021/5/910积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即机动目录上页下页返回结束2021/5/9112021/5/9122021/5/9132021/5/914定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值机动目录上页下页返回结束2021/5/915定理1.可积的充分条件:例1.

利用定义计算定积分解:将[0,1]n

等分,分点为取机动目录上页下页返回结束2021/5/916注目录上页下页返回结束2021/5/917[注]

利用得两端分别相加,得即2021/5/918例2.

用定积分表示下列极限:解:机动目录上页下页返回结束2021/5/919说明:机动目录上页下页返回结束根据定积分定义可得如下近似计算方法:将[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)2021/5/920(梯形公式)为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森机动目录上页下页返回结束公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.2021/5/921性质1常数因子可提到积分号外性质2函数代数和的积分等于它们积分的代数和。5.2定积分的简单性质2021/5/922性质3若在区间[a,b]上f(x)≡K，则性质4定积分的区间可加性若c是[a,b]内的任一点，则2021/5/923当a,

b,c

的相对位置任意时,例如则有机动目录上页下页返回结束2021/5/924性质5如果在区间[a,b]上，f(x)≤g(x)，则性质6设在区间[a,b]上（a<b），函数f(x)的最大值和最小值分别是M

和m，则2021/5/925性质7积分中值定理定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点使或可写作称为函数f(x)在[a,b]上的平均值2021/5/9262021/5/927例1.

试证:证:

设则在上,有即故即机动目录上页下页返回结束2021/5/928例2.

计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解:

已知自由落体速度为故所求平均速度机动目录上页下页返回结束2021/5/929内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理机动目录上页下页返回结束连续函数在区间上的平均值公式2021/5/930一、引例在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.5.3定积分的计算2021/5/931则积分上限函数证:则有机动目录上页下页返回结束定理1.

若5.3.1牛顿–

莱布尼兹公式2021/5/932说明:1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.机动目录上页下页返回结束2021/5/933例1.

求解:原式说明目录上页下页返回结束例2.确定常数a,b,c

的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得2021/5/934例3.

证明在内为单调递增函数.证:只要证机动目录上页下页返回结束2021/5/935(牛顿-莱布尼兹公式)

机动目录上页下页返回结束证:根据定理1,故因此得记作定理2.函数,则2021/5/936例1.

计算解:例2.

计算正弦曲线的面积.解:机动目录上页下页返回结束2021/5/937例3.

汽车以每小时36

km的速度行驶,速停车,解:

设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度机动目录上页下页返回结束车到停车走了多少距离?2021/5/938内容小结则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼兹公式2.变限积分求导公式公式目录上页下页返回结束2021/5/939备用题1.设求2021/5/940二、定积分的分部积分法不定积分机动目录上页下页返回结束一、定积分的换元法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法5.3.2定积分的换元法和分部积分法

第五章2021/5/941定理2（定积分的换元公式）设函数f(x)在区间[a,b]上连续；函数在上单值且有连续导数；当时，有，且则2021/5/942例1.

计算解:

令则∴原式=机动目录上页下页返回结束且2021/5/943例2.

计算解:

令则∴原式=机动目录上页下页返回结束且2021/5/944例3.证:(1)若(2)若偶倍奇零机动目录上页下页返回结束2021/5/945定理3（定积分的分部积分公式）设函数u(x),v(x)在[a,b]上有连续导数，则2021/5/946例4.

计算解:原式=机动目录上页下页返回结束2021/5/9471.

设求解:(分部积分)机动目录上页下页返回结束2021/5/948解：2.右端试证分部积分积分再次分部积分=左端机动目录上页下页返回结束2021/5/949

解

f(x)在区间[-1,2]上不连续。利用定积分性质4，把在区间[-1,2]上的积分分成两个区间[-1,0]和[0,2]上的积分。

3

计算其中

注意在积分中，相当于定义f(0)=1，而题中f(0)=0，这并不会改变定积分的值。实际上可以证明，改变被积函数在有限个点上的值都不会改变定积分的值。2021/5/950

解方程x2－2x－3=0有两个实根－1和3，根据一元二次不等式的判别，函数x2－2x－3=0在[-2,3]上分为两部分，在[-2,-1]取正值，在[-1,3]上取负值，所以

4

计算于是2021/5/9515设求解2021/5/952解我们有根据定积分的分部积分法，可得6已知f(π)＝2，求f(0).2021/5/953根据已知条件，得2＋f(0)＝5所以所以f(0)＝32021/5/954用定积分概念解决实际问题的四个步骤：

5.3定积分的应用2021/5/955定积分应用的微元法：

2021/5/956微元法中微元的两点说明：

2021/5/957直角坐标情形一、平面图形的面积A用微元法建立曲边梯形面积A的计算公式：仿此可得（图1）的面积：Ayx=f(y)（图2）的面积：（图1）（图2）（图3）的面积：xy=f(x)（图3）另解选为积分变量例1.

计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解:

由得交点5.4.1平面图形的面积1直角坐标系中平面图形的面积2021/5/962例2.

计算抛物线与直线的面积.解:

由得交点所围图形为简便计算,选取

y

作积分变量,则有机动目录上页下页返回结束2021/5/963解先求两曲线的交点。例3.求椭圆解:

利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b

时得圆面积公式机动目录上页下页返回结束2021/5/965曲边扇形面积元素曲边扇形的面积公式3.极坐标方程的情形解由对称性知，总面积=第一象限部分面积的4倍。对应

从0变例4.计算阿基米德螺线解:机动目录上页下页返回结束到2

所围图形面积.2021/5/968例5.计算心形线所围图形的面积.解:(利用对称性)心形线目录上页下页返回结束2021/5/969心形线(外摆线的一种)即

尖点:

面积:

弧长:参数的几何意义2021/5/970例6.

计算心形线与圆所围图形的面积.解:

利用对称性,所求面积机动目录上页下页返回结束2021/5/971例6.

求双纽线所围图形面积.解:

利用对称性,则所求面积为思考:用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积.机动目录上页下页返回结束答案:2021/5/972

旋转体——由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体．这条直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、体积1.旋转体的体积5.4.2旋转体的体积2021/5/9742021/5/975xyo旋转体的体积公式解另解例7.

计算由椭圆所围图形绕x

轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:

利用直角坐标方程则(利用对称性)机动目录上页下页返回结束2021/5/9805.4.3变力作功

2021/5/9812021/5/9822021/5/9832021/5/984二、无界函数的广义积分常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的广义积分机动目录上页下页返回结束广义积分5.6广义积分和Γ函数

第五章2021/5/9855.6.1广义积分引例.

曲线和直线及

x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为1连续函数在无限区间上的积分2021/5/986定义1.

设若存在,则称此极限为

f(x)在区间的广义积分,记作这时称广义积分收敛

;如果上述极限不存在,就称广义积分发散

.类似地,若则定义机动目录上页下页返回结束2021/5/987则定义(c

为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.并非不定型,说明:

上述定义中若出现机动目录上页下页返回结束它表明该广义积分发散.2021/5/988引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:机动目录上页下页返回结束2021/5/989例1.

计算广义积分解:机动目录上页下页返回结束思考:分析:原积分发散!注意:

对广义积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.2021/5/990例2.

证明第一类p

积分证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1

时发散.因此,当p>1

时,反常积分收敛,其值为当p≤1

时,反常积分发散.机动目录上页下页返回结束2021/5/991例2.

计算广义积分解:机动目录上页下页返回结束2021/5/9922、暇积分——无界函数的积分引例:曲线所围成的与

x轴,y

轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为机动目录上页下页返回结束2021/5/993定义2.

设而在点a

的右邻域内无界,存在,这时称暇积分收敛;如果上述极限不存在,就称暇积分发散.类似地,若而在b

的左邻域内无界,若极限数f(x)在（a,b]上的暇积分,记作则定义机动目录上页下页返回结束则称此极限为函2021/5/994而在点

c

的无界点常称邻域内无界,为瑕点

.机动目录上页下页返回结束则定义2021/5/995下述解法是否正确:,∴积分收敛例3.

计算暇积分解:

显然瑕点为

a,所以原式机动目录上页下页返回结束例4.

讨论暇积分的收敛性.解:所以暇积分发散.2021/5/996备用题

试证,并求其值.解:令机动目录上页下页返回结束2021/5/997机动目录上页下页返回结束2021/5/9985.6.2、函数1.定义2021/5/9992.性质(1)递推公式机动目录上页下页返回结束证:(分部积分)注意到:2021/5/9100(2)机动目录上页下页返回结束2021/5/9101习题课一、与定积分概念有关的问题的解法机动目录上页下页返回结束二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题

第五章2021/5/9102一、与定积分概念有关的问题的解法1.