高等数学 第六章定积分的应用习题课

章定积分应用习题课2021/5/91一、定积分应用的类型1．几何应用

平面图形的面积特殊立体的体积平面曲线弧长旋转体的体积平行截面面积为已知立体的体积2．物理应用

变力作功水压力引力2021/5/92二、构造微元的基本思想及解题步骤1.构造微元的基本思想无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须是无穷小量之间的代替。将局部

上所对应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成定积分．2021/5/932.在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤：

①选取适当的坐标系；三、典型例题1.几何应用

定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元素、体积元素和弧长元素。③在

上求出微元解析式④把所求的量表示成定积分

②确定积分变量和变化范围；2021/5/94【例1】求由所围成图形的面积。

分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形如图所示。如果取为积分变量,则

设区间所对应的曲边梯形面积为则面积元素

就是在

上以“以直代曲”所形成的矩形面积。解：(1)确定积分变量和积分区间：的交点为和,取为积分变量,则由于曲线

和2021/5/95（2）求微元：任取

如果将图形上方直线的纵坐标记为,将图形下方抛物线的纵坐标记为,那么，就是区间所对应的矩形的面积。因此（3）求定积分：所求的几何图形的面积表示为计算上面的积分得：

2021/5/96分析：在直角坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图

【例2】*求位于曲线下方，该曲线过原点的切线

的左方以及轴上方之间的图形的面积。

所示。如果取为积分变量，则设区间所对应的曲边梯形就是在上“以直代曲”所形成的矩形面积。

面积为

则面积元素2021/5/97考虑到当和

时上所对应曲边梯形不同，所以，相对应矩形面积的表达式也不同，因此微元

应该分别去求.

解：（1）确定积分变量和积分区间：设切点的坐标为

则过原点且与相切的切线方程为：

由得的坐标为.故得到切线方程为.

所以选取为积分变量,.（2）求微元：任取

,则当时,那么面积元素

就是区间所对应的矩形的面积，2021/5/98（3）求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：解上面的积分得：即当时,那么面积元素

就是区间所当对应的矩形的面积，即2021/5/99【例3】求由摆线,

的一拱与轴所围成图形的面积.分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，设区间所对应的曲边梯形面积为

则面积元素就是在上“以直代曲”

所形成的矩形面积。

如果取

为积分变量,则.2021/5/910解:(1)确定积分变量和积分区间：选取

为积分变量，(2)求微元：,,那么面积元素就是区间

所对应的矩形的面积，即.

(3)求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：2021/5/911【例4】求曲线围成的图形的面积.

分析：在极坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图所示。所对应的曲边扇形的面积为

所求图形的面积

则面积元素就是用区间

所对应的扇形面积代替曲边扇形的面积

面积因为曲线关于轴对称，所以只须考虑第一象限中的情况.取

为积分变量,则设区间2021/5/912解：(1)确定积分变量和积分区间:取为积分变量，

(2)求微元：任取

则面积元素就是区间

所对应的扇形面积,(3)求定积分：第一象限图形的面积表示为则所求的几何面积为

2021/5/913【例5】设由曲线，及围成平面图形

绕轴,轴旋转而成的旋转体的体积。分析：此题为求解旋转体体积的问题，绕

轴旋转时，取为积分变量;绕轴旋转时,取为积分变量。设区间对

或对或所对应的曲边梯形为

是以直代曲所形成的矩形为则绕

轴、轴旋转而成的旋

转体的体积微元就是矩形分别绕

轴、轴旋转而成的体积.2021/5/914解:(一)求绕轴旋转而成的旋转体的体积

（1）确定积分变量和积分区间：绕

轴旋转如图,旋转体体积元素是对应的矩形绕轴所得的旋转体的体积，即

（2）求微元：对取为积分变量,则2021/5/915（3）求定积分：绕轴旋转而成的旋转体的体积表示为计算积分得：（1）确定积分变量和积分区间：绕轴旋转如图,

取为积分变量,则(二)求绕

轴旋转而成的旋转体的体积2021/5/916（2）求微元：对旋转体的体积元素

是对应的矩形绕

轴所得的旋转体体积,即（3）求定积分：绕轴所得的旋转体的体积表示为

2021/5/917计算积分得:通过例5，同样可求出绕平行于轴和平行于

轴的直线旋转而成的旋转体的体积，见例6。2021/5/918对设区间

所对应的曲边梯形为

旋转而成的旋转体的体积。

【例6】设由曲线

及围成平面图形试求平面图形

绕直线旋转而成的旋转体的体积。的旋转体的体积微元就是矩形分别绕直线

分析：此题为求解旋转体体积的问题，因为直线

以直代曲所形成的矩形为

则绕直线旋转而成平行于轴,所以绕直线

旋转时,取积分变量。2021/5/919解:(1)确定积分变量和积分区间：(2)求微元：对

轴所得的旋转体的体积，即

取

为积分变量,则绕直线旋转如图，旋转体的体积元素是对应的矩形绕

2021/5/920计算积分得：(3)求定积分：绕轴旋转而成的旋转体的体积表示为2021/5/921

【例7】计算底面是半径为2的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积。分析：此题为平行截面面积为已知的立体的体积。若选择积分变量为

,如果能求出平面

所截立体的截面面积那么，

所对应的体积元素为.

建立如图所示的坐标系，解:(1)确定积分变量和积分区间：则底圆方程为

取为积分变量,所以2021/5/922

（2）求微元：因为过点的截面为等边三角形（如图），其边长为高为所以截面积为

因此,对所对应的体积元素为

（3）求定积分：所求立体的体积为2021/5/923【例8】计算半立方抛物线了被抛物线

截得的一段弧的长度。分析：所给定的曲线弧如图所示。

对把区间上

所对应的曲线段长用切线段长

代替，则得到弧长的微元

的解析式.取积分变量为则取为积分变量,则解:(1)确定积分变量和积分区间：计算两曲线的交点的横坐标得2021/5/924(2)求微元：

区间所对应的曲线段长用切线段长

来代替,得弧长元素由于从而(3)求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得2021/5/925【例9】求星形线的全长.分析：曲线为参数方程，由于星形线关于

轴都对称所以只须考虑第一象限中的情况。取参数

为积分变量，

对把区间

上所对应的曲线段长用切线段长

代替,则得到曲线弧长的微元

的解析式。

解:(1)确定积分变量和积分区间:取参数为积分变量,2021/5/926

(2)求微元：把区间

上所对应的曲线弧长用切线段长

代替,得弧长元微元

(3)求定积分：所求的曲线弧长可表示成定积分计算得则所求曲线弧长为

2021/5/927注：若曲线用极坐标的形式表出，也可转化为直角坐标来做，但积分时要注意积分上下限的确定。

以上例1-9给出了定积分在求几何图形面积，旋转体体积，截面面积为已知的立体的体积和曲线弧长方面的应用。下面的例10给出了定积分的综合应用。【例10】*设曲线与交于点过坐标原点

和点的直线与曲线围成一平面图形，

问为何值时,

该图形绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积最大？最大体积是多少？2021/5/928分析：此题为定积分应用的最值问题，首先应先求出交点

的方程与曲线围成一平面图形绕轴旋转一周所得到的旋转体的体积可看成直线绕轴旋转一周所得旋转体的体积减去曲线绕轴旋转一周所得旋转体的体积,见图,最后求驻点，即可得.解：求交点：

,的坐标，确定的范围,

然后求出直线的方程,直线解得2021/5/929直线方程为直线

与曲线围成一平面图形绕

轴旋转一周所得到的旋转体的体积为2021/5/930令得为唯一驻点.所以，当时旋转体的体积最大2.物理应用

定积分的物理应用包括作功、水压力和引力等问题。本节仅给出作功、水压力和引力问题的例子。重点强调应用元素法如何确定功元素、水压力元素和引力元素。特别指出的是，在应用定积分解决物理应用方面的问题时，选取合适的坐标系，有利于积分式的简化，从而实现计算简单。2021/5/931【例11】将半径为的半球形水池内注满水,若将满池水

全部抽出，需作多少功？分析：吸水作功是水的重力在作功问题，此问题可理解成将水一层一层吸出的。取坐标原点在水平面，

轴铅直向下如果设

所对应的薄层的体积为

那么在上以直代曲，便得体积元素

从而得到重力作功的功元素

解:(1)确定积分变量和积分区间：建立如图所示的坐标系.2021/5/932则半圆的方程为

取为积分变量,则(2)求微元:对把区间

所对应的薄层的体积用圆柱体体积代替,得到

由于将这一薄层水吸出是这一薄层水的重力在作功，设水的比重为所以功的元素为(3)求定积分：将满池水全部抽出所作的功为2021/5/933【例12】一底为8厘米，高为6厘米的等腰三角形片，铅直沉入水中，顶在上，底在下，底与水平面平行，顶距水面3厘米，求每面所受的压力。分析：由于水压力等于受力面积乘以压强。如果取如图所示的坐标系，压力可理解水深处的压强乘上受力面积.的矩形面积代替,所以