高等数学 洛必达法则

三、其他未定式二、型未定式一、型未定式第二节机动目录上页下页返回结束洛必达法则

第三章2021/5/91微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限

转化(或型)本节研究:洛必达法则洛必达目录上页下页返回结束2021/5/92一、存在(或为)定理1.型未定式(洛必达法则)机动目录上页下页返回结束2021/5/93(

在x,a

之间)证:无妨假设在指出的邻域内任取则在以x,a为端点的区间上满足柯故定理条件:西定理条件,机动目录上页下页返回结束存在(或为)2021/5/94推论1.定理1中换为之一,推论2.若理1条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.洛必达法则定理1目录上页下页返回结束2021/5/95例1.求解:原式注意:

不是未定式不能用洛必达法则!机动目录上页下页返回结束2021/5/96例2.求解:原式思考:

如何求

(n

为正整数)?机动目录上页下页返回结束2021/5/97二、型未定式存在(或为∞)定理2.证:仅就极限存在的情形加以证明.(洛必达法则)机动目录上页下页返回结束2021/5/981)的情形从而机动目录上页下页返回结束2021/5/992)的情形.取常数可用1)中结论机动目录上页下页返回结束2021/5/9103)时,结论仍然成立.(证明略)说明:

定理中换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.定理2目录上页下页返回结束2021/5/911例3.

求解:原式例4.求解:

(1)n

为正整数的情形.原式机动目录上页下页返回结束2021/5/912例4.求(2)

n

不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正整数

k,使当x>1

时,机动目录上页下页返回结束2021/5/913例3.例4.说明:1)

例3,例4表明时,后者比前者趋于更快.例如,而用洛必达法则2)

在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.机动目录上页下页返回结束2021/5/9143)若例如,极限不存在机动目录上页下页返回结束2021/5/915三、其他未定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例5.求解:

原式机动目录上页下页返回结束2021/5/916解:原式例6.求机动目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化2021/5/917例7.

求解:

利用例5例5目录上页下页返回结束通分转化取倒数转化取对数转化2021/5/918例8.求解:注意到～原式机动目录上页下页返回结束2021/5/919例9.求分析:

为用洛必达法则,必须改求法1用洛必达法则但对本题用此法计算很繁!法2～原式例3目录上页下页返回结束2021/5/920内容小结洛必达法则令取对数机动目录上页下页返回结束2021/5/921思考与练习1.设是未定式极限,如果不存在,是否的极限也不存在?举例说明.极限说明目录上页下页返回结束原式～分析:2021/5/922分析:3.原式～～机动目录上页下页返回结束2021/5/923则4.求解:令原式机动目录上页下页返回结束2021/5/924作业P1371(6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),4第三节目录上页下页返回结束2021/5/925洛必达(1661–1704)法国数学家,他著有《无穷小分析》(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命名为“洛必达法的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降线”问题,在他去世后的1720年出版了他的关于圆锥曲线的书.则”.他在15岁时就解决了帕斯卡提出机动目录上页下页返回结束2021/5/926求下列极限:解:备用题机动目录上页下页返回结束2021/5/9