高中数学解题思维训练

思

维

训

练

2021/5/91

数学教学的目的在于培养学生的思维能力。要做到这一点，首先要培养学生良好的思维品质。

事实上，良好的思维品质往往包括以下几个方面：思维的变通性、思维的反思性、思维的严密性和思维的发散性。

培养良好思维品质的途径是进行有素的训练。本教程将结合中学数学教学的实际情况，着重进行这方面的训练。2021/5/92第一讲数学思维变通性训练1.思维变通性概念在数学教学中，思维变通性表现为：能善于根据题设中的具体情况，提出新的构想和解题方案。它体现学生在智力活动中灵活程度上的差异，是数学思维的重要品质之一。数学问题千变万化，要想既快又准的解决好数学问题，用一套固定的方案，是行不通的，必须视其具体情况，灵活确定解题方案。也就是说，必须具有思维的变通性，根据数学思维变通性的主要体现，本课程将着重进行以下几个方面的训练：2021/5/93小资料：

《怎样解题》G.波利亚

第一：你必须弄清问题弄清问题：未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？把条件的各部分分开。你能否把它们写下来？第二：找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题，你应该最终得出一个求解的计划。

拟订计划：你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？第三：实现你的计划实现计划：实现你的求解计划，检验每一步骤。你能否清楚地看出这一步骤是否正确的？你能否证明这一步骤是正确的？第四：验证所得的解回顾：你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出来？你能不能把这个结果或方法用于其它的问题？2021/5/94（1）善于观察

做一道数学题，大致上有：审题、想题、解题三大段。&

在审题时要细心观察。解数学题首先要弄清题意。即：正确地感知题目中出现的主要概念，分清什么是已知，什么是求（证）。&

在想题时要重视“特殊”的已知条件。在探索解题思路时，往往会感到有些“特殊”的已知条件用不上，因而思路也找不出来。有时虽然思路找出来了，但如果注意到了已知条件中的某些“特殊性”，往往可以发现有更为简便的思路存在。&

观察法解题有些问题，思索的过程只可意会，难以言传，因此只好用观察法求解。即：先根据观察、猜想应用什么样的解，然后进行直接验证。2021/5/952021/5/96分类考察讨论：在些数学题，解题的复杂性，主要在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能情形。对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化。有些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去中间环节而构成的。因此，从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重要途径。

2021/5/97

联想是转化问题的桥梁。稍具难度的问题和基础知识之间的联系都是不明显的、间接的、复杂的。因而，怎样解题，解题的速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，作出相应的联想，找到突破口，不断深入。

2021/5/982021/5/99

数学家波利亚在《怎样解题》中说过，数学解题是命题的连续变换。可见解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么，怎样转化呢？概括讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。因此，在解数学题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。（3）善于进行问题转化2021/5/910有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太容易入手。这时，不妨简化题中某些已知条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化问题。这样简单化了的问题，对于解答原题，常常能起到穿针引线的作用。2021/5/9112．思维训练：（1）观察能力的训练

虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。

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数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或问题）之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。

数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形（点、线、面、体），构造算法，构造多项式，构造方程（组），构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学模型等等。2021/5/914

有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题意增添了困难，常常会由于题目的抽象性和复杂性，使正常的思维难以进行到底。对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，有助于抽象内容形象化，复杂关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索。有些涉及数量关系的题目，用代数方法求解，道路崎岖曲折，计算量偏大。这时，不妨借助图形直观，给题中有关数量以恰当的几何分析，拓宽解题思路，找出简捷、合理的解题途径。

2021/5/9152021/5/9162021/5/9172021/5/9182021/5/9192021/5/9202021/5/921讲评：

我们解题时，常会遇到这样的情形：根据命题的条件和结论，按常规方法去解题，过程会十分冗繁，有时甚至难以入手。如果能转换一个角度来考虑，则可以把它变更为我们熟悉而又易于解的问题。2021/5/9222021/5/9232021/5/924点评：正与反的转化有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思路受阻，例如，当我们研究一种运算的逆运算时可以转化为它的正运算；在解决有关反函数问题时，可以转化为它的反函数来求解。所谓“正反转化”还意味着，如果命题的结论非此即彼时，转化结论，从而推出矛盾，使问题得以解决。2021/5/9252021/5/926第二讲

数学思维反思性训练

1.

概述

数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程，不盲从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法，它和创造性思维密切相关。通过本讲训练，加强学生思维的严密性培养他们的创造性思维。

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养成验算的习惯，可以有效地增强思维反思性。如：在解无理方程、无理不等式；对数方程、对数不等式时，由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化，这样就有可能产生增根或失根，因此必须进行检验，舍弃增根，找回失根。2021/5/9332021/5/9342021/5/935第三讲数学思维严密性训练1．概述在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严谨现象，主要表现在以下几个方面：（1）

概念模糊概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误。（2）

判断错误判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误。例如，“函数是一个减函数”就是一个错误判断。（3）

推理错误理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严谨。2021/5/9362021/5/9372021/5/9382021/5/9392021/5/9402021/5/9412021/5/942注意充分条件、必要条件、充要条件在解题中的运用我们知道：如果A成立，那么B成立，即，则A称是B的充分条件。如果B成立，那么A成立，即，则称B是A的必要条件。如果A、B可以相互推出，则称是的充分必要条件。充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条件的点的轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题中的作用不同，稍用疏忽，就会出错。2021/5/9432021/5/944·P·C(3,0)yxO图3－2－1MN2021/5/9452021/5/9462021/5/9472021/5/9482021/5/9492021/5/9502021/5/951第四讲数学思维发散性训练1．

概述数学思维发散性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。2021/5/9522021/5/9532021/5/9542021/5/9552